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1、1微分方程 第十章第十章 积分问题 微分方程问题 推广 第1页/共26页2引例引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:(C为任意常数)由 得 C=1,因此所求曲线方程为由 得切线斜率为 2x,求该曲线的方程.一、引例第2页/共26页3引例引例2.列车在平直路上以列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,由已知得由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求 s=s(t).第3页
2、/共26页41.微分方程:含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.二、微分方程的基本概念二、微分方程的基本概念实质:联系自变量,未知函数及其导数的式子.区别:与以往学习的代数方程的区别是:代数方程是含未知数的等式,微分方程是含未知函数及其导数的等式.常微分方程:所含未知函数是一元函数.偏微分方程注:本章只讨论常微分方程分类2.微分方程的阶:方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.第4页/共26页5三、微分方程的主要问题-求方程的解 使方程成为恒等式的函数.通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.特解1.微分方程的解 通解中的任意常数被确定后的解.引例2引例1 通解:特解:第
3、5页/共26页6 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件(或初值条件):2.定解条件 过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.第6页/共26页73.解的几何意义解:积分曲线.特解:微分方程的一条积分曲线.通解:积分曲线族.引例2引例1 通解:特解:第7页/共26页8例例1.验证函数验证函数是微分方程的解,的特解.解:这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初
4、始条件 第8页/共26页9第二节 一阶微分方程1.可分离变量的微分方程两边积分,得 第9页/共26页10(2)解法:为微分方程的解.这种解法叫分离变量法1.分离变量:2.两边积分分离变量法步骤分离变量法步骤:1.1.分离变量分离变量;2.2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.第10页/共26页11例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C 为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解 y=0)第11页/共26页12注意:例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得 C=1,(C 为任意常数)故所求特解为第12页/共
5、26页13求所满足的微分方程.例3.已知曲线上点 P(x,y)处的法线与 x 轴交点为 Q解:如图所示,设所求曲线的方程为y=f(x).令 Y=0,得 Q 点的横坐标即则点 P(x,y)处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分,第13页/共26页14练习:解法 1 分离变量即(C 0 )解法 2故有两边积分(C 为任意常数)所求通解:两边积分得第14页/共26页152.齐次微分方程(1)定义:形如的方程叫做齐次方程.(2)解法:-变量代换法令令代入原方程得:代入原方程得:即即则则即即求此可分离变量方程的解,求此可分离变量方程的解,并回代并回代第15页/共26页16例例1 1 求解微分方程求解
6、微分方程故微分方程的解为故微分方程的解为解解 原方程可变为:原方程可变为:即即则则即即第16页/共26页17例例1 1 求解微分方程求解微分方程微分方程的解为微分方程的解为另解另解原方程可变为:原方程可变为:即即即即则则即即第17页/共26页18例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了.第18页/共26页19例例3 3 求解微分方程求解微分方程解解则则于是于是即即分离变量得分离变量得积分得积分得将将代入上面式子得:代入上面式子得:注意:注意:的方程可用的方程可用将其化为将其化为可分离变量的
7、方程可分离变量的方程.代换,代换,形如形如第19页/共26页20例4 已知曲线积分与路径无关,其中求由确定的隐函数解:因积分与路径无关,故有即因此有第20页/共26页21内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程解;阶;通解;特解 y=x 及 y=C 分离变量法步骤分离变量法步骤:1.1.分离变量分离变量;2.2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.第21页/共26页22的微分方程解法:作变量代换3.齐次方程第22页/共26页23备用题备用题解答:如图xyo第23页/共26页24xyo两边同时对 求导积分得:所以所求曲线为:第24页/共26页25思考题解两边同时对 求导第25页/共26页26谢谢您的观看!第26页/共26页