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1、第四章第四章 微分方程微分方程 积分问题积分问题 微分方程问题微分方程问题 推广推广 第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、问题的提出一、问题的提出二、微分方程的定义二、微分方程的定义解解一、引例一、引例例例1 一曲线通过点一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程求这曲线的方程.设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式则有如下关系式:将将 x=1,y=2 代入上式，解得代入上式，解得:C=1,故所求曲线方程为故所求曲线方程为解解例例2 列车在平直的线路上以列车在平直的线路上
2、以20米米/秒的速度行驶秒的速度行驶,当当 制动时列车获得加速度制动时列车获得加速度 米米/秒秒2,问开始制动后多少问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？多少路程？设列车在制动后设列车在制动后 t 秒行驶了秒行驶了s=s(t)米米,则有如下关系式则有如下关系式:代入条件后知代入条件后知开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需列车在这段时间内行驶了列车在这段时间内行驶了 1、微分方程定义微分方程定义例例实质实质:联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数(或微分或微分)
3、之间的关系式之间的关系式.二、微分方程的二、微分方程的基本概念基本概念注意注意:在一个微分方程中在一个微分方程中,自变量自变量,未知函数可以未知函数可以不出现不出现,但未知函数的导数但未知函数的导数(或微分或微分)一定要出现一定要出现.凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程.（differential equation）2、微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数最高阶导数的阶数称为称为微分方程的阶微分方程的阶.例例:指出下列各微分方程的阶指出下列各微分方程的阶代入微分方程能使方程成为恒等式的函数
4、称为代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解微分方程的解.3、微分方程的解微分方程的解 引例引例2引例引例1 4、微分方程的解的分类微分方程的解的分类1)若微分方程的解中含有若微分方程的解中含有独立的独立的任意常数的个任意常数的个数与微分方程的阶数相同数与微分方程的阶数相同,则称这解为微分方程则称这解为微分方程的的通解通解(general solution).).2)用一些条件确定通解中任意常数而得到的用一些条件确定通解中任意常数而得到的解称为微分方程的解称为微分方程的特解特解(particular solution).).引例引例2引例引例1 通解通解特解特解特解的图象特解的图象
5、:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.通解的图象通解的图象:积分曲线族积分曲线族.3)用来确定微分方程通解中的任意常数的值的用来确定微分方程通解中的任意常数的值的称为定解条件称为定解条件.一阶一阶微分方程微分方程:二阶二阶微分方程微分方程:定解条件通常也称为定解条件通常也称为初值条件初值条件(initial condition).引例引例2引例引例1 (或初始条件或初始条件)过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.5 5、初值问题初值问题(Cauchy 问题问题)求微分方程满足初始条件的解的问
6、题求微分方程满足初始条件的解的问题.解解所求特解为所求特解为思考题思考题(A)通解通解；(B)解，但不是通解解，但不是通解；(C)特解特解；(D)解，但不一定是通解解，但不一定是通解.(A)通解通解；(B)解，但不是通解解，但不是通解；(C)特解特解；(D)解，但不一定是通解解，但不一定是通解.4、已知曲线上点已知曲线上点 P(x,y)处的法线与处的法线与 x 轴交点为轴交点为 Q 且线段且线段 PQ 被被 y 轴平分轴平分,求所满足的微分方程求所满足的微分方程.4、已知曲线上点已知曲线上点 P(x,y)处的法线与处的法线与 x 轴交点为轴交点为 Q 且线段且线段 PQ 被被 y 轴平分轴平分,求所满足的微分方程求所满足的微分方程.解解 如图所示如图所示,令令 Y=0,得得 Q 点的横坐标点的横坐标即即点点 P(x,y)处的法线方程为处的法线方程为补充补充:微分方程的初等解法微分方程的初等解法:初等积分法初等积分法.求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)微分方程微分方程;微分方程的阶微分方程的阶;微分方程的解微分方程的解;通解通解;初始条件初始条件;特解特解;初值问题初值问题;积分曲线积分曲线;三、小结三、小结练习练习3212