《中考数学频考点突破--锐角三角函数.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学频考点突破--锐角三角函数.docx（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、中考数学频考点突破-锐角三角函数1教育部颁布的基础教育课程改革纲要要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45，已知山坡AB的坡度 i=1：3 ， AB=10 米， AE=21 米（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： 21.41 ， 31.73 ， sin5345 ， cos5335 ， tan5343 ） （1）求点B距水平地面AE的高度；（2）若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符
2、合要求，并说明理由.2如图，AD是ABC的中线，tanB= 13 ，cosC= 22 ，AC= 2 求： （1）BC的长； （2）sinADC的值 3如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km以轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60方向，且与灯塔C相距12km（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由（参考数据： 2 1.4， 3 1.7）4如图，AB是O的直径，PA切O于点A
3、，PO交O于点C，连接BC，P=B （1）求P的度数； （2）连接PB，若O的半径为a，写出求PBC面积的思路 5如图，是住宅区内的两幢楼，它们的高 AB=CD=30m ，两楼间的距离 AC=30m ，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况 （1）当太阳光与水平线的夹角为 30 角时，求甲楼的影子在乙楼上有多高（答案可用根号表示）； （2）若要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上，此时太阳与水平线的夹角为多少度？ 6化简： （1）9 （ 12 ）0+2sin30 （2）x+1x1 xx+1 7如图，我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将奉校的办学理念做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示）该
4、中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60，沿坡面AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45已知山坡AB的坡度为i=1： 3 ，AB=10米，AE=15米（i=1： 3 是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平而AE的高度BH；（2）求宣传牌CD的高度（结果精确到0.1米参考数据： 2 1.414， 3 1.732）8如图， AB 为 O 直径，D为 O 上一点， BCCD 于点C，交 O 于点E， CD 与 BA 的延长线交于点F， BD 平分 ABC . （1）求证： CD 是 O 的切线； （2）若 AB=10，CE=1 ，求 CD 和 DF 的长
5、. 9如图，已知O是以AB为直径的ABC的外接圆，过点A作O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E.（1）求证：DAC=DCE； （2）若AB=2，sinD= 13 ，求AE的长. 10校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使CAD=30 ，CBD=60 （1）求AB的长(精确到0.1米，参考数据： 31.73，21.41 )；（2）已知本路段对校车限速为40千米小时，若测得某辆校车从
6、A到B用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由 11如图，PA，PB是O的两条切线，切点分别为A，B，OP交AB于点C，OP=13，sinAPC= 513 （1）求O的半径； （2）求弦AB的长 12根据题意解答 （1）计算：| 2 |+（3）0+（ 12 ）12cos45 （2）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是2，求方程的另一个根 13如图，四边形ABCD内接于O，点O在AB上，BCCD，过点C作O的切线，分别交AB，AD的延长线于点E，F.（1）求证：AFEF； （2）若cosDAB 34 ，BE1，则线段AD的长是 . 14如图，在RtABC中，C=90，AC=8，
7、sin A= 35（1）求AB的长; （2）若点E在RtABC的直角边上，点F在斜边AB上，当CFEABC时，求CE的长. 15如图海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁，海轮以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东58方向上，航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东26方向上（1）求灯塔P到点B的距离； （2）如果海轮不改变航线由B继续向东航行，通过计算估计海轮有没有触礁的危险？ 16“低碳环保，你我同行”近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便图是公共自行车的实物图，图是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=30cm，DF=20cm，
8、AF=25cm，FDAE于点D，座杆CE=15cm，且EAB=75 （1）求AD的长； （2）求点E到AB的距离（参考数据：sin750.97，cos750.26，tan753.73） 答案解析部分1【答案】（1）解：过 B 作 BGDE 于G， BHAE 于H， RtABH 中， i=tanBAH=13 ，BAH=30 ，BH=12AB=5 米点 B 距水平地面 AE 的距离为5米.（2）解：由（1）得： BH=5 ， AH=53 ， BGDE 于G， BHAE 于H，AED90，四边形BHEG是矩形，BGHE即 BG=AH+AE=53+21 ，在 RtBGC 中， CBG=45 ，CG=B
9、G=53+21 .在 RtADE 中， DAE=53 ， AE=21 ，DE=AEtan53=43AE=4321=28 .CD=CG+GEDE=26+53286.7m7m .答：广告牌CD高符合要求.【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）过B作BGDE于G，BHAE于H，根据坡度可得BAH=30，然后根据含30角的直角三角形的性质就可得到BH；（2）由（1）得BH=5，AH=53，易得四边形BHEG是矩形，则BGHE，求出BG，进而得到CG，在RtADE中，应用三角函数的概念可得DE，进而可求得CD.2【答案】（1）解：过点A作AEBC于点E， cosC= 22 ，C=45，在Rt
10、ACE中，CE=ACcosC=1，AE=CE=1，在RtABE中，tanB= 13 ，即 AEBE = 13 ，BE=3AE=3，BC=BE+CE=4（2）解：AD是ABC的中线， CD= 12 BC=2，DE=CDCE=1，AEBC，DE=AE，ADC=45，sinADC= 22 【知识点】解直角三角形【解析】【分析】（1）过点A作AEBC于点E，根据cosC= 22 ，求出C=45，求出AE=CE=1，根据tanB= 13 ，求出BE的长即可；（2）根据AD是ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案 3【答案】（1）解：延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE海岸线l于点E，过点A
11、作AFl于F，如图所示BEC=AFC=90，EBC=60，CAF=30，ECB=30，ACF=60，BCA=90，BC=12，AB=36 4060 =24，AB=2BC，BAC=30，ABC=60，ABC=BDC+BCD=60，BDC=BCD=30，BD=BC=12，时间t= 1236 = 13 小时=20分钟，轮船照此速度与航向航向，上午11：00到达海岸线（2）BD=BC，BECD，DE=EC，在RtBEC中，BC=12，BCE=30，BE=6，EC=6 3 10.2，CD=20.4，2020.421.5，轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头【知识点】解直角三角形的应用方向角问题【解析】【分
12、析】（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE海岸线l于点E，过点A作AFl于F，首先证明ABC是直角三角形，再证明BAC=30，再求出BD的长即可角问题（2）求出CD的长度，和CN、CM比较即可解决问题本题考查方向角、解直角三角形等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，由数量关系推出BAC=30，属于中考常考题型4【答案】（1）解：PA切O于点A， PAAB，P+POA=90POA=B+OCB，P+B+OCB=90，OB=OC，B=OCB又P=B，P=B=OCBP=30；（2）解： 在RtPAO中，APO=30，OA=a，PA= 3AO=3a ，PBC面积是 12 PAAB= 12
13、3 a（a+a）= 3 a2【知识点】切线的性质；解直角三角形【解析】【分析】（1）根据切线的性质求出PAB=90，求出P=B=OCB，即可得出答案；（2）解直角三角形求出AP，根据三角形面积公式求出即可 5【答案】（1）解：如图，延长 OB 交 DC 于 E ，作 EFAB ，交 AB 于 F ， 在 RtBEF 中，EF=AC=30m ， FEB=30 ，BE=2BF设 BF=x ，则 BE=2x ，根据勾股定理知， BE2=BF2+EF2 ,(2x)2=x2+302 ，x=103 ，（负值舍去）， x=103因此， EC=30103(m)（2）解：当甲幢楼的影子刚好落在点 C 处时， A
14、BC 为等腰三角形， 因此，当太阳光与水平线夹角为 45 时，甲楼的影子刚才不落在乙楼的墙上【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）如图所示作出辅助线，在 RtBEF 中运用勾股定理列出方程解答即可；（2）当甲幢楼的影子刚好落在点 C 处时，可得 ABC 为等腰三角形，从而得出太阳光与水平线夹角6【答案】（1）解：原式=31+2 12=31+1=3（2）解：原式= (x+1)2(x+1)(x1) x(x1)(x+1)(x1)= x2+2x+1x2+x(x+1)(x1)= 3x+1(x+1)(x1)【知识点】实数的运算；分式的加减法；0指数幂的运算性质；特殊角的三角函数值【解析】【分析
15、】（1）由二次根式的化简、零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值，即可将原式化简，继而求得答案；（2）首先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可，注意运算结果需化为最简 7【答案】（1）解：在RtABH中，tanBAH= BHAH =i= 13 = 33 BAH=30，BH=ABsinBAH=10sin30=10 12 =5答：点B距水平面AE的高度BH是5米；（2）解：在RtABH中，AH=ABcosBAH=10cos30=5 3 ，在RtADE中，tanDAE= DEAE ，即tan60= DE15 ，DE=15 3 ，如图，过点B作BFCE，垂足为F，BF=AH+AE=5 3
16、+15，DF=DEEF=DEBH=15 3 5，在RtBCF中，C=90CBF=9045=45，C=CBF=45，CF=BF=5 3 +15，CD=CFDF=5 3 +15（15 3 5）=2010 3 20101.7322.7（米），答：广告牌CD的高度约为2.7米【知识点】解直角三角形的应用仰角俯角问题【解析】【分析】（1）在RtABH中，由tanBAH= BHAH =i= 13 = 33 得到BAH=30，于是得到结果BH=ABsinBAH=10sin30=10 12 =5；（2）在RtABH中，AH=ABcosBAH=10cos30=5 3 ，在RtADE中，tanDAE= DEAE
17、，即tan60= DE15 ，得到DE=15 3 ，如图，过点B作BFCE，垂足为F，求出BF=AH+AE=5 3 +15，于是得到DF=DEEF=DEBH=15 3 5，在RtBCF中，C=90CBF=9045=45，求得C=CBF=45，得出CF=BF=5 3 +15，即可求得结果8【答案】（1）证明：如图，连接 OD ，则 OB=OD ， OBD=ODB ，BD 平分 ABC ，OBD=CBD ，ODB=CBD ，OD/BC ，BCCD ，ODCD ，又 OD 是 O 的半径，CD 是 O 的切线；（2）解：如图，连接 OD，OE，DE ，过点 D 作 DGOE 于点 G ， AB=10
18、 ，OD=OE=12AB=5 ，ODE=OED ，OD/BC ，ODE=CED ，OED=CED ，DGOE，BCCD ，CD=GD （角平分线的性质），在 RtDEG 和 RtDEC 中， GD=CDDE=DE ，RtDEGRtDEC(HL) ，GE=CE=1 ，OG=OEGE=4 ，在 RtODG 中， GD=OD2OG2=5242=3 ，CD=GD=3 ，由圆周角定理得： FOE=2ABC ，即 FOD+DOE=2ABC ，OD/BC ，FOD=ABC ，FOD+DOE=2FOD ，解得 FOD=DOE ，在 RtODG 中， tanDOE=GDOG=34 ，tanFOD=tanDOE=
19、34 ，在 RtDOF 中， DF=ODtanFOD=534=154 .【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形【解析】【分析】（1）连接 OD ，根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可得ODB=CBD，可证OD/BC，利用平行线的性质可得ODCD，根据切线的判定定理即证；（2）连接 OD，OE，DE ，过点 D 作 DGOE 于点 G ，先求出OD=OE=12AB=5，证明RtDEGRtDEC(HL) ，可得GE=CE=1 ，从而求出OG=OEGE=4， 在 RtODG 中 利用勾股定理求出GD=3，由角平分线的性质可得CD=GD=3，由圆
20、周角定理及平行线的性质可求出FOD=DOE，从而可得tanFOD=tanDOE=GDOG=34，利用 DF=ODtanFOD求出结论即可.9【答案】（1）解：AD是圆O的切线，DAB=90. AB是圆O的直径，ACB=90.DAC+CAB=90，CAB+ABC=90，DAC=B.OC=OB，B=OCB.又DCE=OCB，DAC=DCE.（2）解：AB=2，AO=1. sinD= 13 ，OD=3，DC=2.在RtDAO中，由勾股定理得AD= OD2OA2 = 22 .DAC=DCE，D=D，DECDCA，DCAD=DEDC ，即 222=ED2 .解得：DE= 2 ，AE=ADDE= 2 .【
21、知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）由切线的性质可知DAB=90，由直角所对的圆周为90可知ACB=90，根据同角的余角相等可知DAC=B，然后由等腰三角形的性质可知B=OCB，由对顶角的性质可知DCE=OCB，故此可知DAC=DCE；（2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD= 22 ，由DAC=DCE，D=D可知DECDCA，故此可得到DC2=DEAD，故此可求得DE= 2 ，于是可求得AE= 2 .10【答案】（1）解：由题意得， 在RtADC中， AD=CDtan30 =2133=213 ，在RtBDC中，
22、 BD=CDtan60=213=73 ，AB=ADBD= 21373=143141.73=24.2224.2 （米）（2）解：汽车从A到B用时2秒，速度为24.22=12.1（米/秒）， 12.1米/秒=43.56千米/小时，该车速度为43.56千米/小时43.56千米/小时大于40千米/小时，此校车在AB路段超速【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）分别再RtADC和RtBDC中，利用正切函数，即可求出AD与BD的长，从而求出AB的长；（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆车的速度，比较与40千米每小时的大小即可确定是否超速。11【答案】（1）解：PA，PB是O的两条切线， OA
23、P=90，sinAPC= OAOP = 513 ，OP=13，OA=5，即所求半径为5（2）解：RtOAP中，AP=12， PA，PB是O的两条切线，PA=PB，APO=BPO，PCAB由S四边形OAPB=SOAP+SOBP，得 12 OPAB=OAAP，AB= 251213 = 12013【知识点】切线的性质；解直角三角形【解析】【分析】（1）由题意可推出OAAP，即可推出OA的长度，即半径的长度；（2）根据题意和（1）的结论，即可推出PA=PB，APO=BPO，AC=BC= 12 AB，可以推出AC的长度，即可推出AB的长度 12【答案】（1）解：原式= 2 +1+22 22 ， = 2
24、+1+2 2 ，=3（2）解：将x=2代入x2+（k+3）x+k=0中，42（k+3）+k=0， 解得：k=2将k代入原方程得：x2+x2=（x1）（x+2）=0，解得：x1=2，x2=1方程的另一个根为1【知识点】实数的运算；0指数幂的运算性质；负整数指数幂的运算性质；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系；特殊角的三角函数值【解析】【分析】（1）将| 2 |= 2 、（3）0=1、（ 12 ）1=2、cos45= 22 代入原式，再根据实数的运算即可得出结论；（2）将x=2代入原方程解出k值，再将k值代入原方程利用因式分解法解一元二次方程即可得出方程的另一个根 13【答案】（1）证
25、明：如图，连接OC CDBCCD BC12OAOC2OCA1OCAOCAFEF为切线OCEFAFEF；（2）92【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：（2）OCAFCOEDABcosCOE=cosDAB=34设OCr在 RtOCE 中， cosCOE=OCOE ，即 rr+1 34解得r3AB=2OC=2r=6如图，连接BDAB为直径ADB=90在 RtADB 中， cosDAB=ADAB ，即 AD6=34解得 AD=92故答案为： 92 .【分析】（1）如图，连接OC，先根据圆周角定理得出12，再根据等腰三角形的性质得出2O
26、CA，从而可得1OCA，然后根据平行线的判定可得OCAF，最后根据圆的切线的性质得OCEF，从而得到AFEF；（2）先利用OCAF得到COEDAB，在 RtOCE 中，设OCr，利用余弦的定义得到 rr+1 34 ，解得r3，如图，连接BD，根据圆周角定理得到 ADB=90 ，然后根据余弦的定义即可计算出AD的长.14【答案】（1）解：在RtABC中，C=90，sin A= 35 ， 设BC=3x，AB=5x，则 AC=AB2BC2=(5x)2(3x)2=4x ，AC=8，4x=8，解得：x=2，AB=5x=52=10（2）解：分两种情况： 当点E在AB上时，CFEABC，如图FEC=BCA=
27、90，ECF=CAB，AE=CE（等腰三角形三线合一）AC=8，CE=4；当点E在BC上时，CFEABC，如图ECF=CAB， CEAC=CFAB ，CAB+ACF=ECF+ACF=90，CFAB，CF= 6810 =4.8，CE=CFABAC =4.8 45 = 9625【知识点】相似三角形的性质；解直角三角形【解析】【分析】（1）由在RtABC中，C=90，sin A= 35 ，可设设BC=3x，AB=5x，求得AC=4x，进而求出AB的值；（2）当CFEABC时，分两种情况：当点E在AB上，当点E在BC上，分别求出CE的长，即可.15【答案】（1）解：如图，过P作PDAB交AB的延长线于
28、点D， AB18 4060 12（海里），设PDx， 在RtPBD中，PBD64，BD PDsin64 x2.05 ， 在RtADC中，CAB32，AD PDsin32 x0.62 ， ABADBD，x0.62 x2.05 12， 解得：x10.67，PD10.67，PBPDsin5410.670.818.63海里，灯塔P到点B的距离为8.63海里（2）解：由（1）求得PD10.678， 海轮不改变航线由B继续向东航行，没有触礁的危险【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）过P作PDAB，解直角三角形求得PB的长；（2）解直角三角形得到PD的长，与8海里比较大小即可16【答案】（1）解：在RtADF中，由勾股定理得， AD= AF2FD2 = 252202 =15（cm）（2）解：AE=AD+CD+EC=15+30+15=60（cm）， 如图，过点E作EHAB于H，在RtAEH中，sinEAH= EHAE ，则EH=AEsinEAH=ABsin75600.97=58.2（cm）答：点E到AB的距离为58.2 cm【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AD的长；（2）作EHAB于H，求出AE的长，根据正弦的概念求出点E到车架AB的距离 学科网（北京）股份有限公司