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1、2022-2023 学年九年级数学上册第二次月考测试题（附答案）一、单选题（满分 40 分）1若在同一平面直角坐标系中，作 y3x2，yx22，y2x2+1 的图象，则它们（）A都关于 y 轴对称 B开口方向相同 C都经过原点 D互相可以通过平移得到 2小明将如图两水平线 L1、L2的其中一条当成 x 轴，且向右为正方向；两条直线 L3、L4的其中一条当成 y 轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出二次函数 yax22a2x+1的图象，则（）AL1为 x 轴，L3为 y 轴 BL2为 x 轴，L3为 y 轴 CL1为 x 轴，L4为 y 轴 DL2为 x 轴，L4为 y 轴 3若直线 yb（
2、b 为实数）与函数 y|x24x+3|的图象至少有三个公共点，则实数 b 的取值范围是（）A0b1 B1b0 C1b3 D1b2 4如图，在ABC 中，C90，AB10cm，BC8cm，点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以1cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动（点 Q 运动到点 B停止），在运动过程中，四边形 PABQ 的面积最小值为（）A19cm2 B16cm2 C15cm2 D12cm2 5已知反比例函数 y的图象如图所示，则二次函数 yax22x 和一次函数 ybx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD 6如图，在 R
3、tABC 中，ACB90，ACBC4，CDAB，垂足为 D，E 为 BC 的中点，AE 与 CD 交于点 F，则 DF 的长为（）A B C D 7如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO，点 B（10，8），点 D 在 BC 边上，连接 AD，把ABD 沿 AD 折叠，使点 B 恰好落在 OC 边上点 E 处，反比例函数 y（k0）的图象经过点 D，则 k 的值为（）A20 B30 C40 D48 8若点（1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数 y（k0）的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是（）Ay1y2y3 By3y2y1 Cy1y3y2 Dy2y3y1 9 如图，P 是
4、线段 AB 的黄金分割点（PBPA），四边形 ABCD、四边形 PBEF 都是正方形，且面积分别为 S1、S2，四边形 APMD、四边形 APFN 都是矩形，且面积分别为 S3、S4，下列说法正确的是（）As2s1 Bs2s3 Cs3s4 Ds4 10如图，在正方形 ABCD 中，AB4，动点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 AB 运动，同时动点 N 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 ADDCCB 运动，当点 N 运动到点 B 时，点 M，N 同时停止运动设AMN 的面积为 y，运动时间为 x（s），则下列图象能大致反映 y 与 x 之间函数关系的是（
5、）A B C D 二、填空题（满分20 分）11抛物线 yx2（b2）x+3b 的顶点在 y 轴上，则 b 的值为 12如图，在平面直角坐标系中，函数 y（x0）与 yx1 的图象交于点 P（a，b），则代数式的值为 13若二次函数 yx2+mx 在1x2 时的最大值为 3，那么 m 的值是 14在OAB 中，OAOB，点 C 在直线 AB 上，BC3AC，点 E 为 OA 边的中点，连接OC，射线 BE 交 OC 于点 G，则的值为 三、解答题（满分 90 分）15如果，试求 k 的值 16如图，在ABC 中，AD 平分BAC，求证：17某服装商店计划销售一种男士衬衫，已知销售 x 件这种男
6、士衬衫的成本每件 m（元），售价每件 n（元），且 m，n 与 x 的关系分别为 mx+70，nx+120（x 为正整数）（1）若该商店某日销售这种男士衬衫的利润为 600 元，求当日销售量；（2）求可获得的最大日利润 18已知二次函数 ymx22（m+1）x+4（m 为常数，且 m0）（1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点；（2）不论 m 为何值，该函数的图象都会经过两个定点，求两个定点的坐标 19如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为 y，从加热开始计算的时间为 x 分钟据了解，该材料在加热过程中温度 y 与时间 x 成一次函数关系已知该材料在加
7、热前的温度为 4，加热一段时间使材料温度达到 28时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度 y 与时间 x 成反比例函数关系，已知第 12 分钟时，材料温度是 14（1）分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函数关系式（写出 x 的取值范围）；（2）根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？20设二次函数 y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当 a2c，b2d，且开口方向相同时，则称 y1是 y2的“反倍顶二次函数”（1）请写出二次函数 yx2+x+1 的一个“反倍顶二次函数
8、”；（2）已知关于 x 的二次函数 y1x2+nx 和二次函数 y2x22nx+1，若函数 y1恰是 y1+y2的“反倍顶二次函数”，求 n 的值 21如图，反比例函数（k0）与一次函数 y2x+b 的图象在第一象限交于 A（1，3）、B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请直接写出满足 y1y2的取值范围；（3）若 Q 为 y 轴上的一点，使 QA+QB 最小，求点 Q 的坐标 22阅读理解：如图 1，点 C 将线段 AB 分成两部分，若，则点 C 为线段 AB 的黄金分割点 某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，而给出“黄金分割线”的定义：直线
9、l将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1、S2，如果，那么称直线 l 为该图形的黄金分割线 问题解决：如图 2，在ABC 中，若点 D 是 AB 的黄金分割点（1）研究小组猜想：直线 CD 是ABC 的黄金分割线，你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组探究发现：过点 C 作直线交 AB 于 E，过 D 作 DFCE，交 AC 于 F，连接 EF（如图 3），则直线 EF 也是ABC 的黄金分割线请你说明理由 23如图，已知抛物线 yax2+bx+5 与 x 轴交于 A（1，0），B（5，0）两点（点 A 在点 B的左
10、侧），与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）点 D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 C，B 不重合），过点 D 作 DFx 轴于点 F，交直线 BC 于点 E，连接 BD，直线 BC 能否把BDF 分成面积之比为 2：3 的两部分？若能，请求出点 D 的坐标；若不能，请说明理由（3）若 M 为抛物线对称轴上一动点，使得MBC 为直角三角形，请直接写出点 M 的坐标 参考答案 一、单选题（满分 40 分）1解：观察三个二次函数解析式可知，一次项系数都为 0，故对称轴 x0，对称轴为 y 轴，都关于 y 轴对称 故选：A 2解：抛物线的开口向下，a0，抛物线与 y 轴的负半轴相交
11、，L2为 x 轴，L4为 y 轴 故选：D 3解：当 x24x+30 时，x1 或 x3，当 x1 或 x3 时，x24x+30，即：y|x24x+3|，函数值大于 0，当 1x3 时，1x24x+30，即：y|x2+4x3|，函数最大值为 1，故符合条件的实数 b 的取值范围是 0b1 故选：A 4解：（方法一）在 RtABC 中，C90，AB10cm，BC8cm，AC6cm 设运动时间为 ts（0t4），则 PC（6t）cm，CQ2tcm，S四边形PABQSABCSCPQACBCPCCQ68（6t）2tt26t+24（t3）2+15 10，当 t3 时，四边形 PABQ 的面积取最小值，最
12、小值为 15cm2（方法二）S四边形PABQ+SCPQSABC，当CPQ 的面积最大时，四边形 PABQ 的面积最小 在 RtABC 中，C90，AB10cm，BC8cm，AC6cm 设运动时间为 ts（0t4），则 PC（6t）cm，CQ2tcm，SCPQPCCQ（6t）2tt2+6t（t3）2+9 10，当 t3 时，CPQ 的面积取最大值，最大值为 9cm2，四边形 PABQ 的面积最小值为68915（cm2）故选：C 5解：当 x0 时，yax22x0，即抛物线 yax22x 经过原点，故 A 错误；反比例函数 y的图象在第一、三象限，ab0，即 a、b 同号，当 a0 时，抛物线 y
13、ax22x 的对称轴 x0，对称轴在 y 轴左边，故 D 错误；当 a0 时，b0，直线 ybx+a 经过第二、三、四象限，故 B 错误，C 正确 故选：C 6解：连接 DE，如图所示：在 RtABC 中，ACB90，ACBC4，ABAC4，CDAB，ADBD，CDAB2，E 为 BC 的中点，DE 是ABC 的中位线，DEAC，DEAC2，DEFCAF，DFCD，故选：C 7解：ABD 沿 AD 折叠，使点 B 恰好落在 OC 边上点 E 处，点 B（10，8），AEAB10，DEBD，AO8，AE10，OE6，CE1064，设点 D 的坐标是（10，b），则 CDb，DE8b，CD2+CE
14、2DE2，b2+42（8b）2，解得 b3，点 D 的坐标是（10，3），反比例函数的图象经过点 D，k10330，故选：B 8解：k0，在每个象限内，y 随 x 值的增大而增大，当 x1 时，y10，23，y2y3y1 故选：C 9解：根据黄金分割得出：PBAB，设 ABx，PBx，PA（1）x，S1x2，S2xx，S3（1）xx，S4（1）xx，故 A 错误；1，即 S2S3，故 B 正确；，故 C 错误；2，故 D 错误；故选：B 10解：当点 N 在 AD 上时，即 0 x2 AMx，AN2x，此时二次项系数大于 0，该部分函数图象开口向上，当点 N 在 DC 上时，即 2x4，此时底
15、边 AMx，高 AD4，y2x，该部分图象为直线段，当点 N 在 CB 上时，即 4x6 时，此时底边 AMx，高 BN122x，y，10，该部分函数图象开口向下，故选：B 二、填空题（满分 20 分）11解：根据题意，把解析式转化为顶点形式为：yx2（b2）x+3b（x）2+3b（）2，顶点坐标为（，3b（）2），顶点在 y 轴上，0，b2 12解：函数 y（x0）与 yx1 的图象交于点 P（a，b），2ab1，ba1，ab，ba1，2 故答案为2 13解：yx2+mx，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为 x，当1，即 m2 时，当 x1 时，函数最大值为 3，1m3，解得：m4；当2，即
16、m4 时，当 x2 时，函数最大值为 3，4+2m3，解得：m（舍去）当12，即2m4 时，当 x时，函数最大值为 3，+3，解得 m2或 m2（舍去），综上所述，m4 或 m2，故答案为4 或 2 14解：如图 1，点 C 在线段 AB 上，过 E 作 EFAB 交 OC 于 F，点 E 为 OA 边的中点，EFAB，OFCF，EFAC，BC3AC，BC6EF，EFAB，CG6FG，FCOF7FG，OGOF+FG8FG，；如图 2，点 C 在线段 BA 的延长线上，过 E 作 EDBC 交 OC 于 D，点 E 为 OA 边的中点，EDBC，ODCD，DEAC，即 AC2DE，BC3AC，B
17、C6DE，EDBC，CG6DG，CDOD5DG，OGODDG4DG，；故答案为：或 三、解答题（满分 90 分）15解：，a（b+c+d）k，b（a+c+d）k，c（a+b+d）k，d（a+b+c）k，+得，a+b+c+dk（3a+3b+3c+3d），当 a+b+c+d0 时，b+c+da，a（b+c+d）k，aak k1，当 a+b+c+d0 时，两边同时除以 a+b+c+d 得，3k1，k 故答案为：k1 或 16证明：过点 B 作 BEAC，交 AD 的延长线于点 E，如图 1 所示 BEAC，ECAD BDECDA，BDECDA，AD 平分BAC，BADCAD，BADE，ABBE，17
18、解：（1）根据题意得，x（nm）600，即 x（x+120+x70）600，解得：x120，x230，答：该商店某日销售这种男士衬衫的利润为 600 元，当日销售量为 20 件或 30 件；（2）设可获得的日利润为 y 元，根据题意得，yx（x+120+x70），yx2+50 x（x25）2+625，答：可获得的最大日利润为 625 元 18（1）证明：令 y0，即 mx22（m+1）x+40，b24ac2（m+1）24m44m28m+44（m1）20，方程总有实数根，该函数的图象与 x 轴总有公共点；（2）解：ymx22（m+1）x+4（x2）（mx2）因为该函数的图象都会经过两个定点，所以
19、当 x0 时，y4，当 x20，即 x2 时，y0，所以该函数图象始终过定点（0，4）、（2，0）19解：（1）设停止加热过程中对应的函数解析式为 y，点（12，14）在该函数的图象上，14，得 k168，停止加热过程中对应的函数解析式为 y，当 y28 时，28，得 x6，当 y4 时，4，得 x42，停止加热过程中对应的函数解析式为 y（6x42），设该材料加热过程中对应的函数解析式为 yax+b，点（0，4）、（6，28）在该函数的图象上，得，该材料加热过程中对应的函数解析式为 y4x+4（0 x6）；（2）将 y12 代入 y4x+4 中，124x+4，得 x2，将 y12 代入 y中
20、，12，得 x14，14212（分钟），答：对该材料进行特殊处理的时间为 12 分钟 20解：（1）yx2+x+1，y（x+）2+，二次函数 yx2+x+1 的顶点坐标为（，），二次函数 yx2+x+1 的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（1，），反倍顶二次函数的解析式为 y（x1）2x22x；（2）y1x2+nx（x+）2，顶点坐标为（，），y1+y2x2+nx+x22nx+12x2nx+12（x）2+1，顶点坐标为（，1），由于函数 y1恰是 y1+y2的“反倍顶二次函数”，则2（1），解得：n2 21解：（1）反比例函数（k0）与一次函数 y2x+b 的图象在第一象限交于 A（1，3）
21、、B（3，1）两点 3，31+b，k3，b4，反比例函数和一次函数的表达式分别为 y，yx+4；（2）由图象可得：满足 y1y2的取值范围是 1x3 或 x0（3）A（1，3），A 关于 y 轴的对称点 A的坐标为（1，3），设直线 AB 的解析式为 ymx+n，解得，直线 AB 的解析式为 yx+，令 x0，则 y，Q（0，）22解：（1）直线 CD 是ABC 的黄金分割线理由如下：点 D 是 AB 的黄金分割点，直线 CD 是ABC 的黄金分割线；（2）三角形的中线把 AB 分成相等的两条线段，即 ADBD，1，三角形的中线不是该三角形的黄金分割线；（3）DFCE，SFDESFDC，SDE
22、CSFEC，SAEFSADC，S四边形BEFCSBDC，直线 EF 是ABC 的黄金分割线 23解：（1）将 A（1，0），B（5，0）代入 yax2+bx+5，得：，解得，则抛物线解析式为 yx2+4x+5；（2）能 设直线 BC 的解析式为 ykx+m，把 C（0，5），B（5，0）代入得，解得，所以直线 BC 的解析式为 yx+5，设 D（x，x2+4x+5），则 E（x，x+5），F（x，0），（0 x5），DEx2+4x+5（x+5）x2+5x，EFx+5，当 DE：EF2：3 时，SBDE：SBEF2：3，即（x2+5x）：（x+5）2：3，整理得 3x217x+100，解得 x1
23、，x25（舍去），此时 D 点坐标为（，）；当 DE：EF3：2 时，SBDE：SBEF3：2，即（x2+5x）：（x+5）3：2，整理得 2x213x+150，解得 x1，x25（舍去），此时 D 点坐标为（，）；综上所述，当点 D 的坐标为（，）或（，）时，直线 BC 把BDF 分成面积之比为 2：3 的两部分；（3）抛物线的对称轴为直线 x2，如图，设 M（2，t），B（5，0），C（0，5），BC252+5250，MC222+（t5）2t210t+29，MB2（25）2+t2t2+9，当 BC2+MC2MB2时，BCM 为直角三角形，BCM90，即 50+t210t+29t2+9，解得 t7，此时 M 点的坐标为（2，7）；当 BC2+MB2MC2时，BCM 为直角三角形，CBM90，即 50+t2+9t210t+29，解得 t3，此时 M 点的坐标为（2，3）；当 MC2+MB2BC2时，BCM 为直角三角形，CMB90，即 t210t+29+t2+950，解得 t16，t21，此时 M 点的坐标为（2，6）或（2，1），综上所述，满足条件的 M 点的坐标为（2，7），（2，3），（2，6），（2，1）