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1、2022-2023 学年九年级数学上册第二次月考测试题（附答案）一、选择题（满分 30 分）1围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有 4000 多年的历史.2017 年 5 月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人 AlphaGo 进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A B C D 2如图，O 是等边ABC 的内切圆，分别切 AB，BC，AC 于点 E，F，D，P 是上一点，则EPF 的度数是（）A65 B60 C58 D50 3已知抛物线 yx2+bx+c 的系数满足 2bc5，则这条抛物线一定经过点（）A（1，2）B（2，1）C（2，1）D（
2、2，1）4如图，H 是平行四边形 ABCD 的边 AD 上一点，且 AHDH，BH 与 AC 相交于点 K，那么 AK：KC 等于（）A1：1 B1：2 C1：3 D1：4 5抛物线 yax2+2ax+a2+a 的顶点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 6如图，OA 是O 的半径，以 OA 为直径的C 与O 的弦 AB 相交于点 D，则 AD 与 BD的大小关系（）AADBD BADBD CADBD D无法判断 7如图，一次函数 y1kx+b（k0）的图象与反比例函数 y2（m 为常数且 m0）的图象都经过 A（1，2），B（2，1），结合图象，则不等式 kxb 的解集是（
3、）Ax1 B1x0 Cx1 或 0 x2 D1x0 或 x2 8 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x0）的图象和矩形 ABCD 在第一象限，AD 平行于 x 轴，且 AB2，AD4，点 A 的坐标为（2，6）将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离 a 的值为（）Aa2.5 Ba3 Ca2 Da3.5 9如图，点 P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 上的一个动点，过点 P 垂直于 AC 的直线交菱形ABCD 的边于 M、N 两点设 AC2，BD1，APx，CMN 的面积为 y，则 y 关于 x的函数图象大致形状是（）A B C D 10如图，AB
4、 是O 的直径，M、N 是（异于 A、B）上两点，C 是上一动点，ACB的角平分线交O 于点 D，BAC 的平分线交 CD 于点 E 当点 C 从点 M 运动到点 N 时，则 C、E 两点的运动路径长的比是（）A B C D 二、填空题（满分 12 分）11以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是 12如图，已知直线 yx+1 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，ABCD 的顶点 C、D在双曲线 y（k0）上，若 C 点的横坐标为 1，则 k 的值为 13如图，在每个小正方形的边长为 1 个单位的网格中，点 A，B，C，D 均是格点（网
5、格线的交点）且都在以 AC 为直径的O 上，AC 和 BD 交于点 E，则 BE 长为 14在平面直角坐标系 xOy 中，A（2，3），B（1，0），抛物线的解析式为 yax2+bx+3 （1）若此抛物线经过 A，B 两点，则 ab ；（2）若此抛物线经过点A，且与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 三、解答题（满分 78 分）15用配方法将二次函数 y2x2+4x1 的解析式化为 ya（x+m）2+k 的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴 16如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点分别为 A（3，4），B（4，2），C（2，1）（1）请画出ABC 绕原点 O 逆时针
6、旋转 90后得到的A1B1C1（点 A，B，C 的对应点分别为点 A1，B1，C1）；（2）画出点 A 在旋转的过程中所经过的路线，并求点 A 所经过的路线的长 17如图，DEBC，EFCG，AD：AB1：3，AE3（1）求 EC 的值；（2）求证：ADAGAFAB 18如图，直线 MN 交O 于 A，B 两点，AC 是直径，AD 平分CAM 交O 于 D，过 D作 DEMN 于 E（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 DE6，AE，求O 的半径 19如图是 8 个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是 1 和 2，每个台阶凸出的角的顶点记作 Tm（m 为 18 的整数）函数的图象为曲线 L
7、（1）若 L 过点 T1，则 k ；（2）若 L 过点 T4，则它必定还过另一点 Tm，则 m ；（3）若曲线 L 使得 T1T8这些点分布在它的两侧，每侧各 4 个点，求出所有满足条件的整数 k 20某工厂设计了一款产品，成本为每件 20 元投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数的关系，其中 20 x40（1）根据表格求 y 关于 x 的函数解析式；销售量 y（件）30 20 10 销售单价 x（元）25 30 35 （2）设销售这种产品每天的利润为 W（元），求 W 关于销售单价 x 之间的函数解析式并求当销售单价定为多少元时，每天
8、的利润最大？最大利润是多少元？21 如图，ABC 为等边三角形，点 P 是线段 AC 上动点（点 P 不与 A，C 重合），连接 BP，过点 A 作直线 BP 的垂线段，垂足为点 D，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 60得到线段AE，连接 DB，CE（1）求证：BDCE；（2）取 BC 的中点记为 F，求证：F、D、E 三点共线 22 已知反比例函数和一次函数 y2x+b，其中一次函数的图象经过点 A（1，3）和 B（1，m）反比例函数图象经过点 B（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；（2）若直线交 x 轴于 C，交 y 轴于 D，点 P 为反比例函数的图象上一点，过 P 作 y
9、 轴的平行线交直线 CD 于 E，过 P 作 x 轴的平行线交直线 CD 于 F，请问：在该反比例函数图象上是否存在点 P，使PFEOCD？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 23从多边形的一个顶点引出两条射线形成一个角，这个角的两边与多边形的两边相交，该多边形在这个角的内部的部分与角的两边围成的图形称为该角对这个图形的“投射图形”（1）【特例感知】如图 1，EAF 与正方形 ABCD 的边 BC、CD 分别交于点 E、点 F，此时EAF 对正方形 ABCD 的“投射图形”就是四边形 AECF；若此时 CE+CF 是一个定值，则四边形 AECF 的面积 （填“会”或“不会”）发生变
10、化（2）【迁移尝试】如图 2，菱形 ABCD 中，AB2，D120，E、F 分别是边 BC、CD 上的动点，若EAF 对菱形 ABCD 的“投射图形”四边形 AECF 的面积为，求CE+CF 的值（3）【深入感悟】如图 3，矩形 ABCD 中，AB3，AD4，EAF 的两边分别与 BC、CD 交于点 E、点 F，若EAF45，CF2，求EAF 对矩形 ABCD 的“投射图形”四边形 AECF 的面积（4）【综合运用】如图 4，在平行四边形 ABCD 中，AB4，AD6，B45，点E 是 BC 边上的一个动点，AEF 的外接圆过点 C，且与 DC 边交于点 F，此时EAF 对平行四边形 ABCD
11、 的“投射图形”为四边形 AECF，当 EF 取最小值时，CE+CF 的值为 参考答案 一、选择题（满分 30 分）1解：选项 B、C、D 的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形 选项 A 的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180后与原来的图形重合，所以是中心对称图形 故选：A 2解：如图，连接 OE，OF O 是ABC 的内切圆，E，F 是切点，OEAB，OFBC，OEBOFB90，ABC 是等边三角形，B60，EOF120，EPFEOF60，故选：B 3解：由 2bc5，得 c2b5，yx2+bx+cx2+bx+2b5x
12、2+（x+2）b5 故当 x+20，即 x2 时，y1，抛物线一定经过点（2，1）故选：B 4解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC，AHHD，AHADBC，ADBC，AHKCBK，故选：C 5解：yax2+2ax+a2+aa（x+1）+a2，抛物线的顶点坐标为（1，a2），a0，抛物线 yax2+2ax+a2+a 的顶点位于第二象限 故选：B 6解：如图，连接 OD，OA 为C 的直径，ADO90，ODAB，ADBD 故选：B 7解：由函数图象可知，当一次函数 y1kx+b（k0）的图象在反比例函数 y2（m 为常数且 m0）的图象上方时，x 的取值范围是：x1 或 0 x2
13、，不等式 kxb 的解集是 x1 或 0 x2，故选：C 8解：平移后只能 A、C 同时落在反比例函数图象上，平移后 A（2，6a），C（6，4a），a2（6a）6（4a），a3，故选：B 9解：（1）当 0 x1 时，如图 1，在菱形 ABCD 中，AC2，BD1，AO1，且 ACBD；MNAC，MNBD；AMNABD，即，MNx，yCPMN（0 x1），0，函数图象开口向下；（2）当 1x2，如图 2，同理证得，CDBCNM，即，MN2x，yCPMN（2x）（2x），0，函数图象开口向上；综上，答案 A 的图象大致符合；故选：A 10解：如图，连接 EB设 OAr AB 是直径，ACB90
14、，E 是ACB 的内心，AEB135，作等腰 RtADB，ADDB，ADB90，则点 E 在以 D 为圆心 DA 为半径的弧上运动，运动轨迹是，点 C 的运动轨迹是，MON2GDF，设GDF，则MON2 故选：A 二、填空题（满分 12 分）11解：如图 1，OC2，ODOC1；如图 2，OB2，OEBE，OE2+BE22OE2OB24，OE；如图 3，OA2，ADOA1，OD，则该三角形的三边分别为：1，（1）2+（）2（）2，该三角形是直角三角形，该三角形的面积是：1，故答案为：12解：把 x0 代入 yx+1 得：y1，即点 B 的坐标为（0，1），把 y0 代入 yx+1 得：x+10
15、，解得：x4，即点 A 的坐标为（4，0），点 A 和点 B 的横坐标之差为 404，纵坐标之差为 011，设点 C 的纵坐标为 m，则点 C 的坐标为（1，m），四边形 ABCD 为平行四边形，点 D 的坐标为（5，m1），点 C 和点 D 在双曲线 y（k0）上，km5（m1），解得：k，故答案为：13解：连接 BC、AD，如图：由 勾 股 定 理 可 得：，BC 3，由圆的性质可得：DAEDBC，ADEBCE，ADEBCE，即，又，解得，故答案为：14解：（1）将（2，3），（1，0）代入 yax2+bx+3 得，解得，ab1 故答案为：1（2）将（2，3）代入 yax2+bx+3 得
16、34a2b+3，4a2b0，b2a，yax2+2ax+3，1，抛物线对称轴为直线 x1，将 x1 代入 yax2+2ax+3 得 ya+3，抛物线顶点坐标为（1，a+3），设直线 AB 解析式为 ykx+b，将（2，3），（1，0）代入 ykx+b 得，解得，yx+1，令 ax2+2ax+3x+1，整理得 ax2+（2a+1）x+20，（2a+1）28a（2a1）2，a时，抛物线与直线相切，如图，当 a 增大时，抛物线顶点向下移动，抛物线开口变小，符合题意，a 当 a0 时，抛物线开口向下，当抛物线经过点 B 时，由（1）可得 a1，如图，当 a 减小时，抛物线顶点向上移动，开口变小，符合题意
17、，a1，故答案为：a或 a1 三、解答题（满分 78 分）15解：二次函数 y2x2+4x12（x1）2+1，该函数图象的开口向下，顶点坐标为（1，1），对称轴为直线 x1 16解：（1）如图，A1B1C1为所作；（2）如图，弧 AA1即为点 A 经过的路线，点 A 所经过的路径长 17（1）解：DEBC，又，AE3，解得 AC9，ECACAE936；（2）证明：DEBC，EFCG，ADAGAFAB 18（1）证明：连接 OD，OAOD，OADODA，AD 平分CAM，OADDAE，ODADAE，DOMN，DEMN，DEOD，D 在O 上，DE 是O 的切线；（2）解：AED90，DE6，AE
18、2，AD4，连接 CD，AC 是O 的直径，ADCAED90，CADDAE，ACDADE，AC8，O 的半径是 4 19解：（1）由图象可知 T1（16，1）又函数（x0）的图象经过 T1，即 k16，故答案为：16；（2）由图象可知 T1（16，1）、T2（14，2）、T3（12，3）、T4（10，4）、T5（8，5）、T6（6，6）、T7（4，7）、T8（2，8），L 过点 T4，k10440，观察 T1T8发现 T5符合题意，即 m5，故答案为：5；（3）T1T8横纵坐标积分别为：16，28，36，40，40，36，28，16，要使这 8 个点为于 L 的两侧，每次各四个点，k 必须满足
19、36k28，k 可取共 7 个整数值，为35、34、33、32、31、30、29 20解：（1）设一次函数的解析式为 ykx+b（k0），把 x25、y30；x30、y2 代入 ykx+b 得：，解得，y 关于 x 的函数解析式为 y2x+80；（2）根据题意得：Wy（x20）（x20）（2x+80）2x2+120 x1600 2（x30）2+200，20，当 x30 时，W 取最大值 200，答：W 关于销售单价 x 的函数解析式为 W2x2+120 x1600，当销售单价定为 30 元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是 200 元 21（1）证明：线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 60
20、得到线段 AE，ADE 是等边三角形，在等边ABC 和等边ADE 中，ABAC，ADAE，BACDAE60，BADCAE，在BAD 和CAE 中，BADCAE（SAS），BDCE（2）如图，过点 C 作 CGBP 交 ED 的延长线于点 G，ED 的延长线交 BC 于 K，ADE60，ADB90，BDK30，CGBP，GBDK30，由（1）可知，BDCE，CEABDA，ADBP，BDA90，CEA90，AED60，CED30G，CECG，BDCG，在BDK 和CGK 中，BDKCGK（AAS），BKKC，K 点与 F 点重合，F、D、E 三点共线 22解：（1）将 A、B 两点代入一次函数解析
21、式，可得：，解得，即：y2x1，B（1，1）将 B（1，1）代入得，解得 k2，即；（2）不存在，理由如下：设点，由题意可得：，即，将 xt 代入得，即，将代入得，即，PFEOCD，即，化简可得：t2t+10，判别式：b24ac12430，t2t+10 无实根，不存在点 P 使得PFEOCD 23解：（1）连接 AC，如图：四边形 AECF 的面积ACG 面积+ACF 面积（CE+CF），CE+CF、AB 为定值，四边形 AECF 的面积不会改变，故答案为：不会（2）连接 AC，过点 A 作 AMBC 交 CB 延长线于点 M，过点 A 作 ANCD 交 CD 延长线于点 N，由题意可得：AB
22、MADN60，ABBC2 BM1，解得：CE+CF2（3）在 BC 上取点 G 使得 BGAB，连接 AG，过点 G 作 GHAG 交 AE 延长线于点 H，作 HIBC，连接 AC，如图：由题意可得：BAGBGA45，DF1，AG3，BAE+EAG45，HIIG，EAF45，BAE+DAF45，EAGDAF，又DAGH90，ADFAGH，解得，又HG2HI2+IG2，又ABEHIE，解得 则（4）如图，设AEF 的外接圆的圆心为点 O，半径为 r，连接 OA、OE、OF、EF，四边形 ABCD 是平行四边形，B+BCD180 BCD135 A、E、C、F 四点共圆 EAF45 EOF2EAF90，EFr，当 EFBC 时，r取得最小值，即 EF 最小，此时点 O 在 AC 上，如图：B45AB4，AD6，AEC90，AEBE4，ECBCBE2 在 RtAEC 中，AC2，BAD135，EAF45 FAD45，FAD 为等腰直角三角形，CE+CF2+