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1、第 1 页 共 16 页 2021-2022 学年四川省绵阳南山中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 1命题“若aA，则bB”的否命题是（）A若aA，则bB B若bB，则aA C若aA，则bB D若bB，则aA【答案】C【分析】否命题即否定命题的题设与结论，即可判断；【详解】解：命题“若aA，则bB”的否命题为“若aA，则bB”；故选：C 2已知 i 为虚数单位3i 1 iz，则z位于复平面（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【分析】计算复数z，得到z即可求解.【详解】由题可知：3i(1i)i(1i)1 iz ，则1iz ，则z在复平面上对应的点为(1,1)
2、，位于第一象限.故选：A.3命题p：0,x，2xexx的否定为（）A0,x，2xexx B0,x，2xexx C,0 x ，2xexx D,0 x ，2xexx【答案】B【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可写出.【详解】命题p：0,x，2xexx的否定为0,x，2xexx 故选：B 4已知命题“若5x，则28150 xx”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有（）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】B【分析】首先要判断原命题和逆命题的真假，然后由原命题与逆否命题和逆命题与否命第 2 页 共 16 页 题都互为逆否命题，且互为逆否命题的命题真假性相同，从而获得解答
3、.【详解】对于原命题“若5x，则28150 xx”，故原命题为真命题；又因为逆命题为“若28150 xx，则5x”，当3x 时，显然有28150 xx，所以逆命题是假命题.又由原命题与逆否命题和逆命题与否命题都互为逆否命题，且互为逆否命题的命题真假性相同.所以原命题与逆否命题都是真命题，逆命题与否命题都是假命题.故逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，只有逆否命题是真命题.故选：B.5已知 p：44xa，q：230 xx，若p是q的充分条件，则实数 a 的取值范围是（）A1,6 B,1 C6,D,6,【答案】A【分析】化简条件,p q中x的取值范围，然后结合逆否命题的等价性，由充分条件的定义求
4、解【详解】由已知命题:44p axa，命题:23qx，若p是q的充分条件，则若q是p的充分条件，所以4243aa，解得16a 故选：A 6已知函数()f x的导函数是()fx，且满足1()2(1)lnf xxfx，则(1)f（）A-e B2 C-2 De【答案】B【解析】首先求导得到 121fxfx，从而得到 11f，12lnf xxx，再计算 1f即可.【详解】因为 121lnf xxfx，所以 211112121211fxffxfxxxx ，所以 1211ff，解得 11f.第 3 页 共 16 页 所以 12lnf xxx，12ln12f.故选：B 7函数 f x的导函数 fx的图象如图
5、所示，则函数 f x的图象（）A B C D【答案】D【分析】利用导数的正负和函数的增减关系求解.【详解】由导函数fx的图象，函数有三个极值点，一个小于 0，两个大于 0，设1230 xxx，当1xx或23xxx，0fx，fx单调递减；当12xxx或3xx，0fx，fx单调递增；只有 D 符合题意，故选：D 8某程序的框图如图所示，若执行该程序，输出的S值为（）第 4 页 共 16 页 A45 B36 C25 D16【答案】D【分析】根据程序框图直接逐步计算即可.【详解】初始值：1,0kS 1.8k 判断为“是”；0 1 1S ；1 23k ；2.8k 判断为“是”；1 34S ；325k ；
6、3.8k 判断为“是”；459S；527k；4.8k 判断为“是”；9716S；729k 5.8k 判断为“否”；输出16S 故选：D【点睛】本题主要考查了根据程序框图计算输出结果的方法,属于基础题.9在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测 甲：我的成绩比乙高 乙：丙的成绩比我和甲的都高 丙：我的成绩比乙高 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （）A甲、乙、丙 B乙、甲、丙 C丙、乙、甲 D甲、丙、乙【答案】A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故 3 人成绩由高
7、到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙第 5 页 共 16 页 预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选 A【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查 10已知函数 2f xx xc在2x 处有极小值，则 c的值为（）A2 B4 C6 D2 或 6【答案】A【分析】根据 20f求出 c，进而得到函数的单调性，然后根据极小值的定义判断答案.【详解】由题意，2+23fxxcx xcxcxc，则 2260fcc，所以2c 或6c.若 c=2，
8、则 232fxxx，2,3x 时，0fx，f x单调递增，2,23x时，0fx，f x单调递减，2,x时，0fx，f x单调递增.函数 f x在2x 处有极小值，满足题意；若 c=6，则 2320fxx，函数 f x在 R 上单调递增，不合题意.综上：c=2.故选：A.11已知函数2()sincosf xxxxx，则不等式1(ln)ln2(1)fxffx的解集为（）A(,)e B(0,)e C10,(1,)ee D1ee,【答案】D【分析】求出函数的导数，判断出单调性，再判断函数的奇偶性，则不等式不等式 1lnln21,fxffx可化为 ln1,fxf即为1ln1x，运用对数函数的单调性，即可
9、得到解集.【详解】函数2()sincosf xxxxx的导数为()cos2fxxx，则 x0 时，()0fx，f(x)递增;因为 22()sincossincos()fxxxxxxxxxf x ，则 f(x)为偶函数，则不等式 1lnln21,fxffx可化为 ln1,fxf 第 6 页 共 16 页 又因为 x0 时,f(x)递增，且 f(x)为偶函数，所以1ln1x，解得：1xee 故选:D【点睛】(1)利用单调性解不等式通常用于：分段函数型不等式；复合函数型不等式；抽象函数型不等式；解析式较复杂的不等式；(2)解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的的大小关系转化为自变量的关系，解
10、不等式即可 12方程log00,1xaxaa有两个不相等实根，则 a的取值范围是（）A0,1 B2e0,e C2e1,e D2ee,【答案】C【分析】方程log00,1xaxaa有两个不相等实根，令0 xt t，所以2xt，则2log=att，所以log=2att，所以logayt与2ty 的图象有两个交点，分类讨论01t 和1t 即可.【详解】方程log00,1xaxaa有两个不相等实根log=0,1xax aa有两个不同的交点，令0 xt t，所以2xt，则2log=att，所以log=2att，所以logayt与2ty 的图象有两个交点.当01a时，如下图可知logayt与2ty 的图象
11、有一个交点，不满足.第 7 页 共 16 页 当1a 时，如下图，当2xy 与logayx相切于点00,2xA x，所以1lnyxa，则000112lnlog2axaxx，解得：02eeexa，所以要使logayt与2ty 的图象有两个交点，所以a 的取值范围是：2e1,e.故选：C.二、填空题 第 8 页 共 16 页 13若1 iz （i 为虚数单位），则2zz_【答案】101210【分析】先通过复数的四则运算法则求出2zz，再根据复数模的定义求出答案即可.【详解】根据题意，221 i2iz ，则21 3izz，所以 222|1310zz.故答案为：10.14设*0Nf nn，124f，并
12、且对于任意 m，*Nn，f mnf m f n成立猜想 f n的表达式_【答案】*1N2nf nn【分析】根据递推公式，列出前几项，即可得出猜想，再利用数学归纳法即可得证.【详解】解：因为*0Nf nn，124f，对于任意 m，*Nn，f mnf m f n成立，所以 12114fff，所以 112f，13218fff，142216fff，故可猜想*1N2nf nn，当1n 时，112f，等式成立，设当nk时，等式也成立，即*1N2kf kk，当1nk时，111111222kkf kf k f，所以当1nk时，等式也成立，综上所述，*1N2nf nn.故答案为：*1N2nf nn.15 设 f
13、x是奇函数 f xxR的导函数，20f，当0 x 时，0 xfxf x，则使得 0f x 成立的x的取值范围是_.第 9 页 共 16 页【答案】(2,0)(2,)【分析】构造函数 0f xF xxx，利用导数研究 F x的单调性，结合函数的奇偶性求得使得 0f x 成立的x的取值范围.【详解】构造函数 0f xF xxx，fxfxfxFxF xxxx，所以 F x为偶函数.当0 x 时，20 xfxfxFxx，F x递增，所以当0 x 时，F x递减.22202fFF，画出 F x的大致图象如下图所示，由图可知使得 0f x 成立的x的取值范围是(2,0)(2,).故答案为：(2,0)(2,
14、)16对于任意的0,x，不等式ln0 xaexxax恒成立，则实数a的取值范围是_.【答案】1,1e【分析】首先将题意转化为1lnxxeeaxx，利用导数得到xeex，设xetx，原不等式等价于ln1tatet，设 ln1tf tt，再利用导数求 f t的最大值即可.第 10 页 共 16 页【详解】ln01lnlnxxxaeeexxaaxxxxx，设 xet xx，0 x，则 21xxtxxe，当0,1x时，0tx，t x单调递减，当1,x时，0tx，t x单调递增，所以 min1t xte，所以 t xe，设xetx，所以原不等式等价于1lna tt te，即ln1tatet，设 ln1t
15、f tt，,te，则 211ln01ttftt，所以 f t在,e 上单调递减，所以 max11af tf ee.故答案为：1,1e.三、解答题 17设命题 p：方程2210 xmx 有两个不相等的正根；命题 q：方程2223100 xmxm无实根(1)若pq为真，求实数 m 的取值范围；(2)若pq为真，pq为假，求实数 m的取值范围【答案】(1)3m(2),21,3 【分析】（1）由已知条件求出p为真时，有1m，q为真时，有23m，再由pq为真，求出实数 m 的取值范围；（2）由pq为真，pq为假，分情况求解即可.【详解】(1)设方程2210 xmx 的两根分别为1x，2x，由211244
16、020mxxm，得1m，所以命题 p 为真时：1m 由方程2223100 xmxm无实根，可知224243100mm，得23m，所以命题 q为真时：23m 由pq为真，则3m 第 11 页 共 16 页(2)由pq为真，pq为假，可知命题 p，q一真一假，当 p真 q 假时，132mmm 或，此时2m；当 p假 q 真时，123mm ，此时13m，所以所求实数 m的取值范围是,21,3 18已知函数3()16f xxx.（1）求曲线()yf x在点(2,6)处的切线的方程.（2）若直线l为曲线()yf x的切线，且经过坐标原点，求直线l的方程及切点坐标.【答案】(1)1332yx；(2)直线l
17、的方程为13yx，切点坐标为2,26.【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得结果，（2）设切点，根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，再根据切线过坐标原点解得结果.【详解】（1）231fxx.所以在点2,6处的切线的斜率 213kf，切线的方程为1332yx；（2）设切点为00,x y，则直线l的斜率为 20031fxx，所以直线l的方程为：2300003116yxxxxx，所以又直线l过点0,0，23000003116xxxx，整理，得308x ，02x ，30221626y ，l的斜率13k，直线l的方程为13yx，切点坐标为2,26.【点睛】本
18、题考查导数几何意义以及利用导数求切线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.19已知函数 lnf xxax aR(1)讨论函数 f x的单调性；第 12 页 共 16 页(2)证明：2eln0 xx恒成立【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）对 f x求导得 1fxax，讨论0a，0a，即可得出 f x的单调性.（2）由（1）知，max11f xf，即ln1xx，取等条件是1x，要证明2eln0 xx，只需证明2e1xx，设 2e1xxx，证明 min0 x即可.【详解】(1)因为 f x定义域为0,，1fxax，当0a 时，0fx，f x在0,上单调递增，当0a 时，10 xa
19、，0fx，f x单调递增，1xa，0fx，()f x单调递减.当0a 时，f x的单增区间是0,，当0a 时，f x的单增区间是10,a，f x的单减区间1,a.(2)由（1）知：当1a 时，f x的单增区间是0,1，f x的单减区间是1,max11f xf 即ln1xx，取等条件是1x 故只需证明2e1xx,设 2e1xxx，则 220e1eexxx，当02x，0 x，x在0,2x上单调递减；2x，0 x，x在2,x上单调递增，min20 x即2e1xx，取等条件是2x 综上，2eln0 xx恒成立 20请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分
20、所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB=x 第 13 页 共 16 页 （1）若广告商要求包装盒侧面积 S（cm）最大，试问 x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积 V（cm）最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值【答案】（1）x=15cm（2）12【详解】试题分析：（1）先设包装盒的高为，底面边长为，写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围，再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大
21、值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，利用导数知识求出何时它取得的最大值即可 设包装盒的高为，底面边长为 由已知得6022,2(30),0302xax hxx（1）当15x 时，S取得最大值 （2）根据题意有222(2)(602)2 2(30)(030)2Vxxxxx 6 220Vxx 由得，(舍)或 当0,?20 x时；当20,?30 x时 当20 x时取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为26021222xhax（）即包装盒的高与底面边长的比值为12【解析】1函数的应用问题；2函数的最值与导数；3二次函数的图像与性质 第 14 页 共 16 页
22、21已知函数 21e2xf xax，其中aR(1)若函数 f x在0,上单调递增，求 a的取值范围；(2)若函数 f x存在两个极值点1x，212xxx，212,exx时，求12xx的取值范围.【答案】(1),e(2)13ln2,1ee【分析】（1）先求解导函数，再根据函数的单调性将问题转化为不等式恒成立问题，进而求解参数的取值范围；（2）运用构造函数法将12xx转化为关于21xx的函数，再运用导数分析函数的最值可得出结果.【详解】（1）根据题意，0 xfxeax在0,上恒成立 即xeax在0,s，令 xeh xx，则 21xexhxx 当01x时，0h x，h x单调递减，当1x 时，0h
23、x，h x单调递增，min1h xhe 故ae.（2）由（1）知，显然1201xx，且有1212xxeexx 设21,2,xt tex，则1111xtxeextx 11xtxtee，两边以 e为底取对数得1ln1txt，则12111ln1txxxtxtt 设 1ln1tttt，则 212ln1ttttt 设 12lnxttt ，则 22210tttt t在2,e单调递增，则 122ln202t 0t，故 t在2,e上单调递增，且 123ln 2,1eee 2te 计算得1213ln21exxe.第 15 页 共 16 页 22在直角坐标系xOy中曲线 C 的参数方程为4cos44sinxy ，
24、(为参数)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为3 cos4 sinm.（1）求 C 的极坐标方程；（2）若 l 与 C 相交，求 m 的取值范围【答案】（1）8sin0；（2）(36,4).【解析】（1）先把曲线 C 的参数方程化成直角坐标方程，再将直角坐标转化成极坐标；（2）先求出 l 的直角坐标方程，再根据直线和圆相交得到 m 的取值范围.【详解】解：（1）由4cos44sinxy ，得22(4)16xy，即2280 xyy，则 C 的极坐标方程为28 sin0，即8sin0(或8sin).（2）因为 l 的极坐标方程为3 cos4 sinm，所以 l
25、 的直角坐标方程为340 xym.由（1）知，曲线 C 表示圆心为(0,4)C，半径为 4 的圆，则 C 到 l 的距离|16|45md，解得364m，即 m 的取值范围为(36,4).【点睛】方法点睛：将参数方程转化为直角坐标方程，常用的方法有：（1）代入消参；（2）三角恒等式消参.无论用哪一种方法，都要注意变量的范围.23已知函数()|3|f xxaxa.（1）求不等式()1|f xxa 的解集；（2）若()18f xa对xR恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）(,31)(31,)aa；（2）9 18,2),4.【解析】（1）等价于|3|1xa，根据绝对值解法求解；（2）根据双绝对值解出
26、()f x的最小值|2|a，原不等式等价于|2|18aa，平方化简即可.【详解】解：（1）由()1|f xxa，得|3|1xa，则31xa 或31xa，即31xa或31xa，第 16 页 共 16 页 故不等式()1|f xxa 的解集为(,31)(31,)aa，（2）因为()|3|(3)|2|f xxaxaxaxaa，所以()f x的最小值为|2|a.因为()18f xa对xR恒成立，所以18|2|aa，又180a，所以9 18,2),4a.【点睛】含有绝对值的不等式的性质：（1）如果,a b是实数，则|ababab；（2）如果,a b c是实数，那么|acabbc，当且仅当()()0ab bc时，等号成立.