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1、第 1 页 共 15 页 2021-2022 学年四川省绵阳南山中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 1命题“xR,若20 x,则0 x”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是 A0 B1 C2 D3【答案】C【详解】试题分析：原命题是假命题，故其逆否命题是假命题.逆命题为“xR,若0 x,则20 x”为真命题，故其否命题为真命题.故选 C.【解析】四种命题及真假性判断 2设复数1 i1iza（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a（）A1 B1 C2 D2【答案】B【分析】利用复数的除法运算求出复数 z，再结合纯虚数的意义求解作答.【详解】222(1 i)(1i)1(1)i1
2、1i(1i)(1i)111aaaaazaaaaa，因复数 z为纯虚数，则2101aa，解得1a，所以实数1a.故选：B 3已知 O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB，OC不能构成空间的一个基底，则一定有（）AOA，OB，OC共线 BO，A，B，C 中至少有三点共线 COAOB与OC共线 DO，A，B，C 四点共面【答案】D【分析】根据空间向量基本定理即可判断【详解】由于向量OA，OB，OC不能构成空间的一个基底知OA，OB，OC共面，所以 O，A，B，C四点共面 故选：D 4一个关于自然数 n 的命题，已经验证知1n 时命题成立，并在假设nk（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当2n
3、k时命题成立，那么综上可知，该命题对于（）A一切自然数成立 B一切正整数成立 C一切正奇数成立 D一切正偶数成立 第 2 页 共 15 页【答案】C【分析】依据数学归纳法的规则去判断即可解决【详解】已经验证知1n 时命题成立，并在假设nk（k 为正整数）时命题成立的基础上，证明了当2nk时命题成立，那么综上可知，命题对13 57 9n ，成立 即该命题对于一切正奇数成立 故选：C 54 名运动员同时参与到三项比赛冠军的争夺，则最终获奖结果种数为（）A34A B34C C34 D43【答案】C【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式作答.【详解】每一项比赛的冠军在 4 个人中选取有 4 种
4、方法，由分步乘法计数原理得：最终获奖结果种数为34 4 44.故选：C 6 如图，OABC 是四面体，G是ABC的重心，1G是 OG上一点，且13OGOG，则（）A1OGOAOBOC B1111333OGOAOBOC C1111444OGOAOBOC D1111999OGOAOBOC【答案】D【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG【详解】连接 AG 并延长交 BC于 N，连接 ON，第 3 页 共 15 页 由 G 是ABC的重心，可得23AGAN，12ONOBOC 则222 1112=333 2333AGANONOAOBOCOAOBOCOA 则11111121
5、11333333999OGOGOAAGOAOBOCOAOAOBOC 故选：D 70ab是11abba的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先化简不等式11abba，再判断二者间的逻辑关系【详解】111abababababbaabab 当0ab时，0ab，0ab，10ab ，则有10ababab成立，即11abba成立；当21ab ，时，11113231122abba ，即11abba成立，但此时0ab不成立.综上可知，0ab是11abba的充分不必要条件 故选：A 8若函数()sincosf xaxx在,34 为增函数，则实数a的取值范围
6、是 A1,)B(,3 C3,1 D(,31,)【答案】A【分析】利用函数的导函数在区间,3 4 恒为非负数列不等式，用分离常数法求得a第 4 页 共 15 页 的取值范围.【详解】依题意，cossin0fxaxx在区间,3 4 上恒成立，即cossinaxx，当,3 4x 时，cos0 x，故sintancosxaxx，tanyx在,3 4x 时为递增函数，其最大值为tan14，故1a.所以选 A.【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数单调性有关的问题，考查正切函数的单调性，属于中档题.9中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊 5 名航
7、天员开展实验，其中天和核心舱安排 3 人，问天实验舱与梦天实验舱各安排 1 人若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A8 种 B14 种 C20 种 D116 种【答案】B【分析】按照同个元素（甲）分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解.【详解】按照甲是否在天和核心舱划分，若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有2232=3 2=6CA种可能；若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有1124=24=8CC种可能；根据分类加法计数原理，共有 6+8=14
8、 种可能.故选：B.10已知 a，b 是异面直线，A，B是 a 上的点，C，D是 b 上的点，2AB，1CD，且ACb，BDb，则 a 与 b所成角为（）第 5 页 共 15 页 A30 B45 C60 D90【答案】C【分析】先计算出AB CD,再根据cos=AB CDAB CD计算夹角的余弦值，即可写出答案【详解】设,AB CD 2()1AB CDACCDDB CDCD 1cos=2AB CDAB CD 又0,180 ，=60 故选：C 11已知 t和3t 是函数 32f xxaxbxc的零点，且3t 也是函数 f x的极小值点，则 f x的极大值为（）A1 B4 C43 D49【答案】B
9、【分析】根据给定条件，结合三次函数的特点可得2()()(3)f xxtxt，再借助导数求出极大值作答.【详解】因函数 f x在3t 处取得极小值 0，又 t是函数 f x的另一零点，因此函数 f x只有两个零点，从而有2()()(3)f xxtxt，求导得：()3(1)(3)fxxtxt ，当1xt 或3xt 时，()0fx，当13txt 时，()0fx，于是，f x在3xt 处取得极小值，在1xt 处取得极大值(1)4f t，所以 f x的极大值为 4.故选：B 12设10099a，0.01eb，1.02c，则（）Aabc Bacb Cbac Dcab【答案】A【分析】构造函数 e1xf x
10、x利用导数说明函数的单调性，即可得到e1xx，第 6 页 共 15 页 即可判断；【详解】解：令 e1xf xx，则 e1xfx，所以当0 x 时 0fx，当0 x 时 0fx，所以 f x在0,上单调递增，在,0上单调递减，所以 00f xf，即e10 xx恒成立，即e1xx（当0 x 时取等号），所以0.020.01e10.02e1.02，bc，又e1xx（当0 x 时取等号），所以当1x 且0 x 时，有111ee1xxxx，0.011100e1 0.0199，ab 故选：A 二、填空题 13已知函数 2223f xxfx，则 2f 的值为_【答案】4【分析】将(2)f 作为常量对()f
11、 x求导，得到导函数，再将 2f 作为未知量求解即可.【详解】由解析式知：()22(2)fxxf，(2)2 22(2)ff，解得 24f .故答案为：4.14某单位拟从 A，B，C，D，E，F 六名员工中选派三人外出学习，要求：（1）A，C二人中至少选一人；（2）B，E二人中至少选一人；（3）B，C二人中至多选一人；（4）A，D二人中至多选一人 由于 E因病无法外出，则该单位最终选派的三位员工为：_【答案】A，B，F【分析】依据条件（2）（3）（1）（4）的顺序去选人即可解决【详解】由于 E因病无法外出，依据条件（2）B，E 二人中至少选一人，可知一定选派B，依据条件（3）B，C二人中至多选一
12、人，可知一定不选派 C，又依据条件（1）A，C 二人中至少选一人，可知一定选派 A，又依据条件（4）A，D 二人中至多选一人，可知一定不选派 D，则一定选派 B，A 二人，一定不派出 C，D，E三人.又共需选派 3 人，则一定选派 F 第 7 页 共 15 页 综上，该单位最终选派的三位员工为：A，B，F 故答案为：A，B，F 15将 A，B，C，D 四份不同的文件放入编号依次为1 5的五个抽屉，每个抽屉只能放一份文件，要求文件 A，B必须放入相邻的抽屉，文件 C，D 不能放入相邻的抽屉，则满足要求的放置方法共有_种【答案】24【分析】依据先分类再分步的原则去求解即可解决【详解】文件 A，B放
13、入 1、2 号抽屉时，文件 C，D只能放入 3、5 号抽屉；文件 A，B放入 2、3 号抽屉时，文件 C，D 只能放入 1、4 号或 1、5 号抽屉；文件 A，B放入 3、4 号抽屉时，文件 C，D 只能放入 1、5 号或 2、5 号抽屉；文件 A，B放入 4、5 号抽屉时，文件 C，D 只能放入 1、3 号抽屉.则满足要求的放置方法共有 22222222222222222222AAA AAA AAAA24 故答案为：24 16双曲正弦函数 eesinh2xxx和双曲余弦函数 eecosh2xxx在工程学中有广泛的应用，也具有许多迷人的数学性质若直线xm与双曲余弦函数1C和双曲正弦函数2C的图
14、象分别相交于点A、B，曲线1C在A处的切线与曲线2C在B处切线相交于点P，则如下命题中为真命题的有_（填上所有真命题的序号）sinhcoshxx，coshsinhxx；22sinhcosh1xx；点P必在曲线exy 上；PAB的面积随m的增大而减小【答案】【分析】利用求导法则可判断；利用指数运算可判断；求出切线PA、PB的坐标，联立两切线方程可得出点P的坐标，可判断的正误；求出PAB的面积关于m的表达式，结合函数的单调性可判断的正误.【详解】对于，eeeesinhcosh22xxxxxx，eeeecoshsinh22xxxxxx，对；第 8 页 共 15 页 对于，222222eeeeeesi
15、nhcosh222xxxxxxxx不恒为1，错；对于，ee,2mmA m、e2,emmB m，所以，切线PA的方程为eeee22mmmmxmy，切线PB的方程为eeee22mmmmxmy，联立eeee22eeee22mmmmmmmmyxmyxm，解得1emxmy，即点1,emP m，所以，点P不在曲线exy 上，错；对于，emAB，点P到直线AB的距离为1，则1e2mPABS，所以，PAB的面积随m的增大而减小，对.故答案为：.三、解答题 17（1）请将下列真值表补充完整；（空格处填上“真”或“假”）p q pq pq 真 真 真 _ 真 假 _ 真 假 真 _ 假 假 假 真 _ （2）给定
16、命题p：对任意实数x都有210axax 成立；命题q：关于x的方程2=0 xxa有实根已知命题pq和命题pq 都是真命题，求实数 a的取值范围【答案】（1）答案见解析；（2）10,4,4 【分析】（1）依据真值表去判断所给命题的真假即可解决；（2）先判断出题给条件对命题 p，q 真假的要求，再去求实数 a 的取值范围【详解】（1）从上至下依次为“真”，“假”，“真”，“真”；第 9 页 共 15 页（2）若命题 p 为真命题，则0a 或00a，解得0,4a，若命题 q为真命题，由0，解得14a，要使pq和pq 都是真命题，则需 p，q同真同假，若 p，q同真，则有10,4a，若 p，q同假，则
17、有4a，综上可知，a的取值范围为10,4,4 18如图，在直三棱柱111ABCABC中，90ABC，2CA，1CB，M是1CC的中点，1AMBA.(1)求1AA的长；(2)求直线1AC与平面11ABB A所成角的正弦值.【答案】(1)6；(2)1010.【分析】（1）证明1BAAN，再利用相似三角形求解；（2）证明11C AB为直线1AC与平面11ABB A所成角，再解三角形求解.【详解】(1)解：取1BB中点N，连接MN，AN，则/BCMN，1BB 平面 ABC，1BBBC，又BCBA，,ABBCB AB BC平面11ABB A，BC 平面11ABB A，故MN 平面11ABB A，AN 即
18、为 AM 在平面11ABB A内的射影，又1AMBA，1BAAN，第 10 页 共 15 页 故1RtABNRtA AB，1BNABABAA，而4 13AB，126AAAB；(2)解：连接1AB，由（1）知11BC 平面11ABB A，故11C AB为直线1AC与平面11ABB A所成角，16410AC，111BC，111sin10C AB，即所求角的正弦值为1010.19某市环保局对该市某处的环境状况进行实地调研发现，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，总比例常数为0k k 现已知相距 10km的 A，B 两家化工厂（污染源），A化工厂的污染强度未知，暂记为0a
19、a，B化工厂的污染强度为 4，它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y等于两化工厂对该处的污染指数之和，设kmACx(1)试将 y 表示为关于 x，k，a的等式；(2)调研表明 y 在2x 处取得最小值，据此请推断出 A 化工厂的污染强度【答案】(1)410aykxx，0,10 x(2)14【分析】（1）根据题意去将 y 表示为关于 x，k，a的等式；（2）利用导数去求 A 化工厂的污染强度【详解】(1)410aykxx，0,10 x；(2)22222241041010 xaxaykkxxxx，第 11 页 共 15 页 由题意，,210166404xyaa，经检验知，当14a 时，y 在0,
20、2上单减，在2,10上单增，满足题意 所以，A化工厂的污染强度为14 20 在 九章算术 中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”如图，在“阳马”PABCD中，侧棱PD 底面 ABCD，且PDCD，棱 PC 的中点为 E，3PFFB，连接 DE，DF，EF (1)若平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面角的大小为3，求CBCD的值(2)设棱 PA 与平面 DEF 相交于点 G，且PGPA，求的值；【答案】(1)2(2)13【分析】（1）以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设2CD，CBm，先利用向量求得m的值，再去求CBCD的值；（2）利用1DGn，由向量列出关于的方
21、程，再去求的值.【详解】(1)以 D 为坐标原点，DA，DC，DP方向为 x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，并设2CD，CBm，则0,0,0D，,0,0A m，,2,0B m，0,2,0C，00 2P,，于是0,1,1E，0,0,2DP，,2,0DBm，0,1,1DE 又31344PFFBDFDPDB，所以1 3,4 2 2mDF，设平面 DEF 的一个法向量1,nx y z 则1304220mxyzyz，令4x ，则ym，zm 则平面 DEF 的一个法向量14,nm m 第 12 页 共 15 页 易知平面 ABCD的一个法向量20,0,1n，122cos,216mn nm，由
22、题意知，212216mm，由此解得2 2m，22CBmCD；(2)由(0,0,2)DP，(,0,2)PAm，(,0,2)PGPAm 可得,0,22DGDPPAm，由题意，G是平面 DEF 上一点，则1DGn，则4220mm，由此解得：13 21已知函数 2ln0f xxaxa(1)若 f x恰有一个零点，求 a的值；(2)若0 x是 f x的零点，且2yx在点200,x x处的切线恰与lnyx相切，求 a的值【答案】(1)2ea；(2)2ea.【分析】（1）由题可得函数 22f xf，进而可得202f，即得；（2）利用导数的几何意义可得2yx在200,x x处切线 l：20002yxxxx，结
23、合条件可得2001 ln 2xx，200lnxax，即得.【详解】(1)21212,0 xfxxxxx，由 0fx可得22x，当20,2x时，0fx，当2,2x时，0fx，第 13 页 共 15 页 f x在20,2单调递减，在2,2单调递增，所以 22f xf，当0 x 时，f x，当x 时，f x，由题意可知，22x 是 f x的唯一零点，由2222ln0222af，解得：2ea；(2)由2yx可得2yx，2yx在200,x x处切线 l：20002yxxxx，整理得：l：2002yx xx，设该切线与lnyx相切于,lntt，又1yx，则 l：1lnyxttt，整理得：l：1ln1yxt
24、t，002012lnln 21 lnxtxtxt ，2001 ln 2xx，又由题知：200lnxax，000ln1 ln 2ln 2eaxxx，2ea 即为所求 22已知函数 ln1Rf xxaxa，fx为 f x的导函数(1)讨论 f x的单调性；(2)若210 xx，证明：对任意Ra，存在唯一的012,xx x，使得 12012f xf xfxxx成立【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求得 fx，然后对a进行分类讨论，由此求得 f x的单调区间.第 14 页 共 15 页（2）构造函数 1212f xf xF xfxxx，然后结合导数以及零点存在性定理证
25、得结论成立.【详解】(1)110axfxaxxx，当0a 时，0fx，f x在0,单调递增；当0a 时，在10,a，0fx，在1,a，0fx，f x在10,a单调递增，在1,a单调递减.(2)依题意，210 xx，设 121212121f xf xf xf xF xfxaxxxxx，12,xx x，F x在定义域内单调递减，1211121f xf xF xaxxx 1122112ln1ln11xaxxaxaxxx 1122112ln1xa xxxaxxx 11212211211212lnln1xxxxxxaaxxxxxxxx 12112121lnxxxxxxx 21121211lnxxxxxx
26、，令120,1xtx，11lnG ttt，则 112F xxxG t，21 tG tt，在0,1，0G tG t在0,1单调递增，10G tG，故 11210F xG txx.同理可得：112122211 lnxxF xxxxx，令120,1xtx，1 lnH ttt ，则 2121F xH txx，第 15 页 共 15 页 11Htt，在0,1，0H tH t在0,1单调递减，10H tH，故 21210F xH txx，综上可知，F x在12,x x单调递减，且 10F x，20F x，F x在12,x x存在唯一零点0 x，使得 12012f xf xfxxx，命题得证【点睛】利用导数研究方程的根的个数，首先将方程变形，然后构造函数，结合导数、零点存在性定理、图象等知识来进行研究.