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1、第 1 页 共 13 页 2021-2022 学年四川省成都市郫都区高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 1复数1 iz 的虚部为（）A1 B1 Ci Di【答案】B【分析】直接由复数虚部的定义求解即可【详解】因为复数1 iz ，故1 iz 的虚部为1，故选：B 2下列求导运算正确的是（）A2111ln xxxx Bsin1cos1 C22xxx exe D 22 ln2xx【答案】D【分析】利用导数公式和运算法则求解.【详解】A.2111(ln)xxxx，故错误；B.sin10，故错误；C.222xxx exxe，故错误；D.22 ln2xx，故正确；故选：D 3 已知函数 31f
2、xx，当自变量x由 1 变为 2 时，函数 f x的平均变化率为（）A3 B5 C7 D9【答案】C【分析】由平均变化率的公式求解即可【详解】当自变量x由 1 变为 2 时，函数 f x的平均变化率为 218 11 172 11ff，故选：C 4有一个三段论推理：“一次函数 0f xaxb a的图象是一条直线，函数 21f xx是一次函数，所以 21f xx的图象是一条直线”，这个推理（）A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D是正确的 第 2 页 共 13 页【答案】D【分析】根据演绎推理的三段论，即可判断【详解】解：“一次函数()(0)f xaxb a的图象是一条直线，是大前提，函数
3、()21f xx是一次函数，是小前提，所以()21f xx的图象是一条直线，是结论，均正确，故选：D 53 i1 i（）A12i B2i C24i D42i【答案】B【分析】利用复数的除法法则进行求解.【详解】3i 1 i3i1 i3i32i12i1 i1 i1 i22.故选：B.6已知 2e sinxf xx，则 0f（）A0 B2 C1 D-2【答案】B【分析】求出函数 f x的导数，再求 0f 即可作答.【详解】由 2e sinxf xx求导得：2(e)sin2e(sin)2e(sincos)xxxfxxxxx，所以 02f.故选：B 7独立性检验中,假设0H:运动员受伤与不做热身运动没
4、有关系.在上述假设成立的情况下,计算得2K的观测值7.236k.下列结论正确的是 附：20()P Kk 010 0.05 0.010 0.005 0k 2.706 3.841 6.635 7.879 A在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关 B在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关 第 3 页 共 13 页 C在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关 D在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关【答案】A【分析】根据临界值表找到犯错误的概率，即可对各选项
5、结论的正误进行判断【详解】26.6350.01P K，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关，故选 A【点睛】本题考查独立性检验的基本思想，解题的关键就是利用临界值表找出犯错误的概率，考查分析能力，属于基础题 8某医院医疗攻关小组在一项实验中获得一组关于症状指数 y 与时间 t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，以下回归模型最能拟合 y 与 t 之间关系的是（）A2ykt B2logyt C3yt D(2)ty 【答案】B【分析】观察散点图的变化趋势，并结合选项中的函数图像选出答案即可.【详解】由图可知，散点几乎落在一条曲线周围，图像单调递增且增长
6、的速度越来越缓慢，结合选项中的函数的图像，函数2ykt，3yt和(2)ty 的图像单调递增，但是增长速度越来越快，故排除 ACD，而函数2logyt图像单调递增且速度越来越缓慢，所以选项 B 符合题意，最能拟合 y 与 t 之间的关系.故选：B 9函数 f x的定义域为开区间,a b，导函数 fx在,a b内的图像如图所示，则函数 f x在开区间,a b内有极小值点（）第 4 页 共 13 页 A1个 B2个 C3个 D4个【答案】A【分析】利用极小值的定义判断可得出结论.【详解】由导函数 fx在区间,a b内的图象可知，函数 fx在,a b内的图象与x轴有四个公共点，在从左到右第一个点处导数
7、左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，所以函数 f x在开区间,a b内的极小值点有1个，故选：A.10若 aln33，bln44，cln55，则（）Aabc Bcba Ccab Dbac【答案】B【分析】通过构造函数 f(x)ln xx，利用导数研究该函数的单调性，简单判断可得结果.【详解】对于函数 yf(x)ln xx，y21 ln xx，易知当 xe 时，函数 f(x)单调递减 因为 e345，所以 f（3）f（4）f（5），即 cba.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较式子的大小，关键在于构造函数 f
8、(x)ln xx，属基础题.11已知函数()(1)exf xxmx在区间1,2x上存在单调增区间，则 m的取值范围为（）第 5 页 共 13 页 A(0,e)B(,e)C20,2e D2e,2【答案】D【分析】首先求出函数的导函数，依题意可知存在1,2x，使得()0fx，即存在1,2x，exmx，令()exg xx，利用导数说明函数的单调性，即可求出 g x的最大值，从而求出参数m的取值范围；【详解】解：因为()(1)exf xxmx，所以()exfxxm，()f x在区间1,2上存在单调递增区间，存在1,2x，使得()0fx，即exmx，令()exg xx，1,2x，则()1 e0 xg x
9、x恒成立，所以()exg xx在1,2上单调递增，所以 222emaxg xg，2e2m，故实数m的取值范围为2e,2 故选：D 12已知函数 121xf xeax的图象在1x 处的切线与直线310 xy 垂直，若对任意的0 x，不等式 0f xkx恒成立，则实数k的最大值是（）A1 B2 C3 D4【答案】C【分析】由题意得 13f，可求得1a，从而可得 121xf xex，则对任意的0 x，不等式 0f xkx恒成立，转化为对任意的0 x，121xexkx恒成立，构造函数 121xxexh x，利用导数求出函数的最小值即可【详解】解：由 121xf xeax，得 12xfxeax，因为函数
10、 121xf xeax的图象在1x 处的切线与直线310 xy 垂直，所以 13f，则1a，所以 121xf xex，又 0f xkx，即121xxkxe，因为0 x，故121xexkx.令 121xxexh x，则 1211xxexh xx.第 6 页 共 13 页 0 x 时，110 xex恒成立.所以当1x 时，0h x，h x为增函数，当01x时，0h x，h x为减函数，所以 h x在0,内的最小值为 13h，故3k.故选：C 二、填空题 13在复平面内，复数 z=21imm（i为虚数单位）对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围为_.【答案】1,2【分析】根据复数的几何意义可得出关
11、于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围.【详解】由已知可得2010mm，解得12m.故答案为：1,2.14函数21ln2yxx的单调减区间为_【答案】0,1【分析】利用导数研究函数单调性即可得到结论.【详解】解：211(1)(1)xxxfxxxxx，0 x，由()0fx，即(1)(1)0 xx，解得11x ，0,01xx，即函数的单调减区间为0,1，故答案为：0,1 15 过点1,1的直线 l与曲线 3221f xxxx相切，则直线l的斜率为_.【答案】3 或11或 3【分析】分类讨论1,1是否为切点，若为切点直接求出斜率，若不为切点设切点坐标，表示出直线方程求解即可.【详解】因为 3
12、221f xxxx，所以()11f，2322fxxx，当1,1为切点时，(1)3lkf，第 7 页 共 13 页 当1,1不为切点时，设切点为32(,21)a aaa，1a ，所以2()322lkfaaa，所以切线方程为：322(21)(322)()yaaaaaxa，过点1,1，所以3221(21)(322)(1)aaaaaa 即3210aaa，即2(1)(1)0aa，解得1a 或1a（舍），所以切点为(1,1)，所以1 111(1)lk ，综上所述：直线 l的斜率为 3 或1，故答案为：3 或1 16已知函数2()2 lnxef xkxkxx，若2x 是函数 f x的唯一极值点，则实数 k的
13、取值范围是_【答案】2,4e【分析】先求解导数，把极值点问题转换为导数的实根问题，结合恒成立可求答案.【详解】由题意，()f x定义域为0,，322()0 xxxeekfxkxx有唯一的实数根2x，即方程220 xxekx有唯一的实数根2x，所以20 xekx无变号零点，即2xekx无变号零点.设2()xeg xx，则32()xexg xx，0,2x时，()0g x，()g x为减函数；2,x时，()0g x，()g x为增函数；所以2e()(2)4g xg；所以 k 的取值范围为：2,4e 故答案为：2,4e 三、解答题 17已知函数 3f xaxbx在1x 处有极值 2.第 8 页 共 1
14、3 页(1)求 a，b 的值；(2)求函数 f x在区间2 2,上的最值.【答案】(1)1a，3b (2)最小值是2，最大值是 2【分析】（1）由题意知()01f，(1)2f，求()f x的导函数()fx，代入计算可得 a，b的值，注意检验；（2）求出()f x在2 2,上的单调区间并确定极值，与端点值比较可求出最小值与最大值.【详解】(1)解：（1）3f xaxbx，23fxaxb 函数 3f xaxbx在1x 处取得极值 2，12fab，130fab解得1a，3b 33f xxx，经验证在1x 处取极值 2，故1a，3b (2)由（1）知 33f xxx，所以 311fxxx，令 0fx，
15、解得11x 令 0fx，解得1x 或1x ，2,2x，因此，f x在2,1，1,2递减，在1,1递增，(1)2,(2)2 ff，故 f x的最小值是2，(2)2,(1)2ff，故函数 f x的最大值是 2.18已知等差数列 na满足1210aa，534aa.(1)求 na的通项公式；(2)设等比数列 nb满足23ba，37ba，设nnncab，求数列 nc的前 n 项和为nS.【答案】(1)22nan(2)22234nnSnn【分析】（1）由等差数列的基本量法求解；（2）用分组求和法求和 第 9 页 共 13 页【详解】(1)设等差数列 na的公差为 d，则5322aad，又1210aa，得1
16、1210aa，解得14a，所以42(1)22nann.(2)设等比数列 nb的公比为 q，则238ba，3716ba，所以321628bqb，214bbq，11422nnnb，则122+2+nnnncabn，4224(1 2)4622+4 211 22nnnnnSn22234nnn.19已知 ABC 的角 A，B，C 对边分别为 a，b，c，且coscos(3cos1)bAaBcA.(1)求cos A；(2)若10BA AC，求 ABC的面积 S的值【答案】(1)23(2)5 52【分析】（1）由题及正弦定理可得，sincossincossin(3cos1)BAABCA，利用诱导公式化简可得3
17、cos1 1A，即可求得；（2）先求出15bc，利用三角形的面积公式直接求得.【详解】(1)对于coscos(3cos1)bAaBcA，由正弦定理可得，sincossincossin(3cos1)BAABCA即sin()sin(3cos1)ABCA.因为ABC，所以sin()sinABC，所以sinsin(3cos1)CCA.因为0,C，所以sin0C，所以3cos1 1A，所以2cos3A.(2)因为10BA AC，所以cos10bcA，所以15bc.因为2cos3A，所以2225sin1 cos133AA,1155 5sin152232ABCSbcA.20 如图所示，正方形ADEF与梯形A
18、BCD所在的平面互相垂直，已知/AB CD，ADCD，1222ABADCD.第 10 页 共 13 页 (1)求证：/BF平面CDE；(2)连接CF，求多面体ABCDEF的体积.【答案】(1)证明见解析(2)53【分析】（1）依题意可得/AF DE，/AB CD，即可得到平面/ABF平面CDE，再根据面面平行的性质得证；（2）由面面垂直的性质得到CD平面ADEF，DE 平面ABCD，再根据ABCDEFFABCDC DEFVVV计算可得；【详解】(1)证明：由正方形ADEF与梯形ABCD，可得/AF DE，/AB CD，因为AF 平面CDE，且DE 平面CDE，所以/AF平面CDE，又因为AB
19、平面CDE，且CD 平面CDE，所以/AB平面CDE，又由AFABA，且,AF AB 平面CDE，所以平面/ABF平面CDE，因为BF 平面ABF，所以/BF平面CDE.(2)解：因为平面ADEF 平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，且CDAD，CD 平面ABCD，所以CD平面ADEF，同理可证DE 平面ABCD，第 11 页 共 13 页 连接CF，故多面体ABCDEF的体积ABCDEFFABCDC DEFVVV 1133DEFABCDSAFSCD梯形 11115241 11 1 432323 故多面体ABCDEF的体积为53.21 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过
20、人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”.如表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份 1 2 3 4 5 违章驾驶人次 125 105 100 90 80 (1)由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次 y与月份 x之间的关系，求 y 关于 x的回归方程ybxa，并预测该路口 9 月份不“礼让行人”违规驾驶人次；(2)交警从这 5 个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查 90 人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到如表：不礼让行人 礼让行人 驾龄不超过 2 年 26 24 驾龄 2 年以上 24 16 能否据此判断有 90%的把握认为“礼让
21、行人”行为与驾龄有关？附：1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnx，aybx.22n adbcKabcdacbd，其中nabcd .20P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)10.5131.5yx，人次为37 第 12 页 共 13 页(2)没有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关【分析】（1）根据公式计算x，y，51iiix y，521iix，从而可求得回归方程，将9x 代入即可得出答案；（2）根据公式求出2K，对照临界
22、值表即可得出结论.【详解】(1)1234535x，12510510090801005y，511395iiix y，52155iix，所以1395530010.55545b，100(10.5)3131.5a ，所以10.5131.5yx.所以当9x 时，10.59131.537y ，即预测该路口9月份不“礼让行人”违规驾驶人次为37.(2)由题意，得22列联表为：不礼让行人 礼让行人 合计 驾龄不超过2年 26 24 50 驾龄2年以上 24 16 40 合计 50 40 90 所以22290 26 16240.5762.70650405040K，所以没有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有
23、关.22已知函数 2ln22f xxaxax，fx是 f x的导函数.(1)讨论 fx的单调性；(2)若10a，证明：2213f xa.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用导数分类讨论得出 fx的单调性；（2）由导数得出 f x的最小值，结合不等式的性质证明即可.第 13 页 共 13 页【详解】(1)解：由题意可得 22ln2ln1xaafxxaxaxx.设 2ln1ag xxax，则 22122axagxxxx.当0a 时，0g x恒成立，则 g x在0,上单调递增，即 fx在0,上单调递增.当0a 时，由 0g x，得2xa；由 0gx，得02xa.则 g x在0,
24、2a上单调递减，在2,a 上单调递增，即 fx在0,2a上单调递减，在2,a 上单调递增.综上，当0a 时，fx在0,上单调递增；当0a 时，fx在0,2a上单调递减，在2,a 上单调递增.(2)证明：由（1）可知，当10a 时，函数 fx在0,上单调递增.因为 2ln2 10f ，13ln3103fa，所以存在02,3x，使得 00fx，即002ln1axax.当00 xx时，0fx，f x在00,x上单调递减；当0 xx时，0fx，f x在0,x 上单调递增.则 2200000024212222aaf xf xxaaaxxaxx .因为02,3x，所以22004433aaxx，所以22200422213axaax，即 20213f xa.故若10a，则 2213f xa.