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1、第 1 页 共 12 页 2021-2022 学年四川省成都外国语学校高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 1向量a（2，1）所对应的复数是（）Az12i Bz12i Cz12i Dz2i【答案】D【分析】根据复数的几何意义即可.【详解】根据复数的几何意义，向量a（2，1）所对应的复数是 z2i；故选：D.2由25yx是一次函数；25yx的图象是一条直线；一次函数的图象是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提小前提和结论的分别是（）A B C D【答案】D【分析】根据三段论的概念，即可判断出结果.【详解】该三段论应为：一次函数的图象是一条直线（大前提），y=2x+5 是
2、一次函数（小前提），y=2x+5 的图象是一条直线（结论）故选：D.3用反证法证明“关于x的一元二次方程20axbxc有两个不相等的实数根”时，反设是“关于x的一元二次方程20axbxc（）A有两个相等实数根 B无实数根 C无实根或有两个相等实数根 D只有一个实数根【答案】C【分析】根据反证法证明方法与步骤即可得出选项.【详解】证明“关于x的一元二次方程20axbxc有两个不相等的实数根”反证法需假设“关于x的一元二次方程20axbxc无实根或有两个相等实数根，推出矛盾.故选：C 4 要得到函数()sin 2f xx，xR的图象，只需将函数()sing xx，xR的图象（）A纵坐标伸长到原来的
3、 2 倍，横坐标不变 B纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变 第 2 页 共 12 页 C横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 D横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变【答案】C【分析】根据三角函数图象变换前后的解析式，确定图象变化过程.【详解】将()sing xx在横坐标方向上缩短到原来的12，即可得(2)sin2gxx，()2gf xx.故选：C 5已知 3f xxax在1,上是增函数，则实数 a 的最大值是（）A0 B1 C3 D4【答案】C【分析】由 230fxxa在1,上恒成立，参变分离求出 a的取值范围即可求解.【详解】由题意知：23fxxa，3f xxax在1,上是增函数，即 230
4、fxxa在1,上恒成立，则23ax在1,上恒成立，又23yx在1,上的最小值为 3，故3a，即 a的最大值是 3.故选：C.6已知变量 x与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数2x，10y，则由观测的数据得到线性回归方程可能为（）A0.59yx B0.511yx C1.511yx D1.58yx【答案】A【分析】先由变量正相关，可排除 BC；再由回归直线过样本中心，即可得出结果.【详解】因为变量 x 与 y正相关，BC 选项的x的系数为负数，所以排除 BC；又回归直线过样本中心(),x y，A 选项，0.52910y过点210，所以 A 正确；D 选项，1.5 2811 y不过点210，所
5、以D 不正确；故选：A.7若椭圆C的参数方程为2cossinxy（为参数），则椭圆C的焦距为（）第 3 页 共 12 页 A4 B2 3 C2 2 D2【答案】D【分析】写出椭圆C的普通方程，求出a、b、c的值，即可求得椭圆C的焦距.【详解】因为椭圆C的参数方程为2cossinxy（为参数），则椭圆C的标准方程为2212xy，所以，2a，1b，则221cab，因此，椭圆C的焦距为22c.故选：D.8下列三个数：33ln22a，lnb，ln33c，大小顺序正确的是（）Aacb Babc Cbca Dbac【答案】A【分析】构造函数()lnf xxx，对其求导，判断单调性，进而可得出结果.【详解】
6、构造函数()lnf xxx，因为1()10fxx 对一切(1,)x恒成立，所以函数()lnf xxx在(1,)x上是减函数，从而有3(3)()2fff，即acb.故选：A【点睛】本题主要考查根据函数单调性比较大小，涉及导数的方法判断函数单调性，属于常考题型.9函数|xxye的部分图象是（）A B 第 4 页 共 12 页 C D【答案】B【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明其单调性，即可判断；【详解】解：因为|xxyf xe定义域为R，且|xxxxfxfxee ，所以|xxye为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除 A、D；当0 x 时，xxf xe，则 1xxfxe，所以当01x时，
7、0fx，当1x 时，0fx，即 f x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，故 C 错误、B 正确；故选：B 10若函数 22exxafxx 在R上无极值，则实数a的取值范围（）A2,2 B2 3,2 3 C2 3,2 3 D2 2,【答案】D【分析】求 222exxafxxa，由分析可得2220yxaxa恒成立，利用0 即可求得实数a的取值范围.【详解】由 22exxafxx 可得 222e2e22exxxxaxaxxaxfax，e0 x恒成立，222yxaxa为开口向上的抛物线，若函数 22exxafxx 在R上无极值，则2220yxaxa恒成立，所以22420aa，解得：22a，所以实数
8、a的取值范围为2 2,，故选：D.第 5 页 共 12 页 11在直角坐标系xOy中，过点1,2P的直线l的参数方程为11+2322xtyt(t为参数)，直线l与曲线22:24C xy交于,A B两点，则PA PB的值是 A1 B3 C13 D4【答案】B【详解】分析：将直线参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数的几何意义，利用韦达定理求解即可.详解：设,A B对应的参数分别为12,t t，把l的参数方程112322xtyt 代入2224xy，得22131422tt，整理得230tt，所以121 21,3,ttt t 12123PA PBttt t所以，故选 B.点睛：本题主要考查直线参数
9、方程中参数的几何意义，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.12已知函数()elnxf xxxx，若不等式()f xa恒成立，则 a的最大值为（）A1 Be 1 C2 De【答案】A【分析】先判断出min()af x.利用同构，把()elnxf xxxx转化为etyt（ln,0txx x），利用导数判断单调性，求出最小值，即可得到 a 的最大值.【详解】要使不等式()f xa恒成立，只需min()af x.函数()elnxf xxxx的定义域为0,.因为lneexx xx，所以令ln,0txx x，则etyt.对于ln,0txx x，110tx ，所以lntxx在0,上单调递增，
10、当0 x时，t；当x 时，t.第 6 页 共 12 页 所以Rt.对于etyt（Rt）.e1ty.令0y，解得：0t；令0y，解得：0t.所以etyt在0,上单调递增，在,0上单调递减.所以 0mine01y，即min()1f x.所以min()af x=1.故选：A【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.二、填空题 13函数 1 sinf xx，其导函数为 f x，则3f_【答案】120.5【分析】先求导，然后代入3x，进行求解【详解】因为 cosfxx，所以1cos332f 故答案为：1
11、2 14设复数z满足1 i22iz（i为虚数单位），则z _【答案】2【分析】利用复数的除法化简复数z，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】由已知可得22 1 i2 1 i2i1 i1 i 1 iz，因此，2z.故答案为：2.15在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数2R的值分别约为 0.96和 0.85，则拟合效果好的模型是_【答案】甲【详解】试题分析：相关指数 R2取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，又甲、乙两个模型的相关指数 R2的值分别约为 0.96 和 0.85，第 7 页 共 12 页 0.960.85，甲模型的拟合效果好，故填甲【解析】本题主要考查回
12、归分析中对相关系数强弱的认识 点评：在线性回归模型中，R2解释变量对于预报变量变化的贡献率，它的值越接近于 1表示回归的效果越好 16 已知123123,x x xxxx是函数 e1e1xxf xxmmR且0m的3个零点，则123e2xxx的取值范围是_【答案】1,【分析】根据函数解析式可得 1exfxf x，00f，由此可得知130 xx，20 x，可将所求式子化为11exx；令 e0 xh xx x，利用导数可求得 1h x，由此可得所求式子的范围.【详解】e11 e11111eeeexxxxxxxmfxxmf x ，当 00f x时，00fx；又 00f，130 xx，20 x，1123
13、1e2exxxxx；令 e0 xh xx x，则 e10 xh x，h x在,0上单调递减，01h xh，123e2xxx的取值范围为1,.故答案为：1,.三、解答题 17（1）在极坐标系中，已知点2 3,6P，请将P点的极坐标化为直角坐标；（2）在平面直角坐标系中，求曲线22:36C xy经过伸缩变换1213xxyy后的曲线方程 【答案】（1）3,3；（2）22194xy【分析】（1）根据极坐标与直角坐标关系可直接转化得到结果；（2）由变换原则可得23xxyy，代入曲线C方程即可得到所求曲线方程.【详解】（1）由题意得：2 3，6，3cos2 332，1sin2 332；P点的直角坐标为3,
14、3.第 8 页 共 12 页（2）由1213xxyy得：23xxyy，224936xy，即22194xy，变换后的曲线方程为：22194xy.18在极坐标系下，已知圆 O：cos sin 和直线 l：sin()422.（1）求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；（2）当(0,)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标.【答案】（1）x2y2xy0，xy10；（2）(1,)2.【解析】（1）根据极坐标与直角坐标的关系cos,sinxy，即可写出圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；（2）联立圆 O 和直线 l 方程求交点，将其转化为极坐标即可.【详解】（1）圆 O：cos sin，即 2cos
15、 sin，圆 O 的直角坐标方程为：x2y2xy，即 x2y2xy0，直线 l：2sin()42，即 sin cos 1，直线 l 的直角坐标方程为：yx1，即 xy10.（2）由22010 xyxyxy 得01xy 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为(1,)2.19已知函数 32f xxaxbx在1x 处取得极值(1)求 f x的解析式；(2)当3,1x 时，f x的图象与ym的图象有两个公共点，求 m的取值范围【答案】(1)33f xxx(2)2,2m 【分析】（1）由 110ff解出,a b，代回导数，检验在1x 处取得极值即可；（2）先确定函数在3,1x 上的单调性，求出最值及
16、端点值，即可求得 m 的取值范围.【详解】(1)232fxxaxb，f x在1x 处取得极值，110ff，320320abab，解得：03ab，第 9 页 共 12 页 33f xxx，此时 2333(1)(1)fxxxx，当,1,1,x 时，0fx；当1,1x 时，0fx，()f x在,1,(1,)单增，在1,1单减，满足在1x 处取得极值，故 33f xxx.(2)由（1）知，当3,1x 时，f x在3,1 上单调递增，在1,1上单调递减；又 318f ，12f，11 32f ，所以2,2m 20已知函数 22lnf xxx(1)求函数 f x的单调区间；(2)求证：34f xx【答案】(
17、1)f x的单调增区间为1,，单调减区间为0,1(2)证明见解析【分析】（1）对 f x求导，令导函数与大于 0，小于 0 即可得出答案.（2）设 2342ln34g xf xxxxx，对 g x求导，此题转化为求 min0g x.【详解】(1)依题意知函数的定义域为0 x x，211122xxfxxxx，由 0fx，得1x；由 0fx，得01x，f x的单调增区间为1,，单调减区间为0,1(2)设 2312ln34g xf xxxxx，22121232223xxxxgxxxxx，当2x 时，0gx，当2x 时，0g x，g x在0,2上为减函数，2,上为增函数，242ln2640g xg，即
18、 34f xx 21为推动实施健康中国战略，手机 APP推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司 140 名员工均参与了“微信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到 10000 步及以上的员工授予该月“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者”，下表是该运动品牌公司 140 名员工 2021 年 1 月 5 日获得“运动达人”称号的统计数据：第 10 页 共 12 页 月份 x 1 2 3 4 5“运动达人”员工数 y 120 105 100 95 80 (1)求 y关于 x 的线性回归方程ybxa；(2)为了进一步了解员工们的运动情况，选取了员工们在 3 月份的运
19、动数据进行分析，统计结果如下：运动达人 参与者 合计 男员工 60 20 80 女员工 40 20 60 合计 100 40 140 请根据上标判断是否有 95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？参考公式：1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnx，aybx；22n adbcKabcdacbd.20P Kk 0.10 0.05 0.025 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)9127yx (2)没有【分析】（1）利用公式可求线性回归方程；（2）根据列联表可求参数的值，根据公式可求2K，结合临界值表判断可得答案
20、.【详解】(1)511 1202 1053 1004 955 801410iiix y ，521149162555iix，1234535x，120105 10095801005y，第 11 页 共 12 页 51522151410 1500955455iiiiix yx ybxx，由ybxa过3,100，故10027127a，9127yx.(2)2214012008001.1673.84180 60 100 40K，没有 95%的把握认为获得“运动达人”与性别有关.22已知函数 2exf xxax aR，其中 e 是自然对数的底数(1)当0a 时，求 f x在0 x 处的切线方程；(2)若存在
21、1x，212xxx，使得 12f xf x，且122xx，求 a的取值范围【答案】(1)10 xy (2),e2 【分析】（1）对 f x求导，求 01,01ff，由点斜式即可求出答案.（2）设11xt，210 xt t，结合 12f xf x，代入整理得11ee240ttat，构造函数，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得 a的取值范围【详解】(1)当0a 时，2exf xx，e2xfxx，01,01ff，所以 f x在0 x 处的切线方程为：1yx，所以10 xy.(2)不妨设11xt，210 xt t，所以关于 t的方程11ftft有正实数解，所以2211e11e11tttattat，即11ee240ttat有正实数解，设 11ee240ttF tat t，则 11ee24ttF ta，11ee0ttFt，所以 F t单调递增，所以 02e24F tFa，当e2a 时，0F t，所以 F t单调递增，所以 00F tF，不合题意；当e2a 时，存在10t，使得 10Ft，当10,tt时，0F t，当1,tt时，0F t，第 12 页 共 12 页 所以 F t在10,t上单调递减，在1,t 上单调递增，所以 100F tF，所以 22421e24240taeF ttatt ta 时，即存在 212,0tt F t，符合题意 综上，a的取值范围为,e2