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1、第 1 页 共 13 页 2021-2022 学年四川省成都市东部新区高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 1函数2()7f xxx在区间1,2上的平均变化率为（）A4 B4 C6 D6【答案】A【分析】利用平均变化率的定义代入求解即可.【详解】22221447 217 12 111ff.故选：A.2已知 i 是虚数单位，则复数3i(1i)的虚部是（）A1 Bi C1 Di【答案】C【分析】利用复数的乘方运算和乘法运算化简复数，再根据复数的概念可得结果.【详解】3i(1i)i(1 i)1 i，所以复数3i(1i)的虚部是1.故选：C 3在空间直角坐标系中，已知1,0,2M，3,2,0N
2、，则 MN 的中点 P到坐标原点 的距离为（）A3 B2 C2 D3【答案】A【分析】利用中点坐标公式及空间中两点之间的距离公式可得解.【详解】1,(,2)0M，(3,2,0)N，由中点坐标公式，得(1,1,1)P，所以1 1 13OP .故选：A 4若直线 l的方向向量(1,0,1)a，平面的法向量(1,1,1)n，则（）Al Bl Cl/Dl或l/【答案】D【分析】根据0a n可得结果.第 2 页 共 13 页【详解】因为1 10a n ，所以an，所以l或l/.故选：D 5已知()cos2f xx，则0()()limxf xxf xx（）Asin2x Bsin2x C2sin2 x D2
3、sin2x【答案】D【分析】根据导数的定义以及复合函数求导法则可求出结果.【详解】因为()cos2f xx，所以()sin2(2)2sin2fxxxx ，0()()limxf xxf xx()2sin 2fxx.故选：D 6若1x 是函数()lnf xaxx的极值点，则a的值是（）A1 B0 C1 De 【答案】A【分析】根据()01f 即可得解.【详解】()f x的定义域为(0,)，()1afxx，因为1x 是函数()lnf xaxx的极值点，所以()01f，即10a，所以1a，当1a 时，11()1xfxxx，令()0fx，得1x，令()0fx，得01x，所以()f x在1x 处取得极小值
4、，符合题意.综上所述：1a.故选：A 7已知2()2 e2xf xxaxax在0,)上单调递增，则实数 a 的取值范围为（）A(,1 B(,e C1,)De,)【答案】A【分析】转化为()0fx，即exa 在0,)上恒成立，利用最小值可得结果.【详解】因为()2e2 e22xxfxxaxa，所以()0fx，即exa 在0,)上恒成立，第 3 页 共 13 页 当0 x 时，min(e)1x，所以1a.所以实数 a 的取值范围为(,1.故选：A 8如图所示，在平行六面体1111ABCDABC D中，M 为11AC与11B D的交点，若ABa，ADb，1AAc，则BM（）A1122abc B112
5、2abc C1122abc D1122abc【答案】D【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.【详解】由题意得，1111111111121222112BMBBB DAAADABAAADAbcBa.故选：D 9在长方体1111ABCDABC D中，1ABBC，13AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为 A15 B56 C55 D22【答案】C【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以 D 为坐标原点，DA,DC,DD1为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),
6、(1,0,0),(1,1,3),(0,0,3)DABD,所以11(1,0,3),(1,1,3)ADDB,因为1111111 35cos,525AD DBAD DBAD DB，所以异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为55，选 C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的第 4 页 共 13 页 空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.10已知函数32e,0()461,0 xxf xxxx，则方程23()2()10f xf x 实根的个数为（）A2 B3 C4 D5【答案
7、】C【分析】将原方程化为1()3f x 或()1f x，利用导数研究函数的性质，作出函数()f x的图象，利用图象可得结果.【详解】由23()2()10f xf x，得3()1()10f xf x，得1()3f x 或()1f x，则问题转化为求函数()yf x的图象与直线13y 和1y 的交点的个数，当0 x 时，32()461f xxx，2()121212(1)fxxxx x，令()0fx，得01x，令()0fx，得1x，所以()f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，所以()f x在(,)上的图象如图：由图可知，原方程实根的个数为 4.故选：C 11已知()f x是定义在(0
8、,)上的函数，且(1)1f，导函数()fx满足 fxf x恒成立，则不等式1()exf x的解集为（）A(1,)B10,2 C1,12 D0,1【答案】D【分析】1()exf x等价于()1eexf x，构造函数()exf xF x，对其求导结合已知条件可判断()exf xF x 在(0,)上的单调性，所要解的不等式等价于 1F xF，根据单调性即可求解.第 5 页 共 13 页【详解】令()exf xF x，则 2eeeexxxxfxfxfxfxFx，因为导函数 fx满足 fxf x恒成立且e0 x，所以 0Fx，所以()exf xF x 在(0,)单调递增，因为 111eefF，所以不等式
9、()1eexf x等价于 1F xF，因为所以()exf xF x 在(0,)单调递增，所以1x，所以不等式1()exf x的解集为0,1，故选：D 12 在平面向量中，我们用|cos,aa b表示a在b方向上的投影，换个角度，向量OA在直线 OB 的法向量AC方向上的投影的绝对值就是点 A到直线 OB的距离（如图 1），如果利用类比的方法，那么图 2 中点 A到平面 BCD 的距离为（）A23 B36 C32 D33【答案】B【分析】根据已知条件及法向量的定义求出平面 BCD的法向量，类比点 A到直线 OB的距离即可求解.【详解】由题意可知，1,2,1,0,1,1BCBD，设,nx y z为
10、平面 BCD的一个法向量，则 00n BCn BD，即020yzxyz，令1y，则1,1xz，所以1,1,1n，因为3,0,12AD，所以点 A到平面 BCD的距离为 222311 0 1 1 1232|61113AD ndn .故选：B.第 6 页 共 13 页 二、填空题 13102xex dx _.【答案】e【分析】由题意结合微积分基本定理运算即可得解.【详解】由题意11200211 0 xxex dxexee.故答案为：e.【点睛】本题考查了微积分基本定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14已知复数z满足11 7i zi（i是虚数单位），则z 【答案】5【分析】把已知等式变形，
11、然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案【详解】由（1+i）z=17i，得1 711 768341112iiiiziiii ，则|z|=22(3)(4)5 故答案为 5【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 15已知向量(1,1,)ak，(2,0,1)b ，若b与ab互相垂直，则k _.【答案】3【分析】利用向量垂直数量积等于零即可求解.【详解】由题设可知：1,1,1abk，因为b与ab互相垂直，所以0bab，即：2010k，解得：3k，故答案为：3 16已知ykxb是函数()lnf xx的切线，则2kb的最小值为_.【答案】ln2【分析】
12、根据导数的几何意义及切点在切线上和函数上得出,k b的关系，再结合导数法求函数最值即可求解.【详解】设切点为,lnmm，则 第 7 页 共 13 页 由()lnf xx，得1()fxx，1()fmm 所以切线方程为1lnymxmm，即1ln1yxmm，又由切线方程为ykxb，则1,ln1kbmm.所以22ln1kbmm.设 2ln1g mmm，则 22212mgmmmm.令 0g m，即220mm，解得2m；令 0g m，即220mm，解得02m.所以函数 g m在2,上单调递增，在0,2上单调递减.当2m 时，g m取得极小值，也为最小值 min2(2)ln2 1ln22g mg 所以2kb
13、的最小值为为ln2.故答案为：ln2.三、解答题 17设数列 na满足11a，1235nnaan.(1)求2a，3a，4a，并猜想数列 na的通项公式；(2)用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】(1)24a，37a，410a，猜想：*32()nannN(2)证明见解析【分析】（1）根据首项和递推公式可求出234,a a a，根据234,a a a，可猜得通项公式；（2）根据数学归纳法的步骤进行证明即可.【详解】(1)由11a，1235nnaan，可得：2123 1 54aa ，3223 257aa ，4323 3510aa 由1a，2a，3a，4a可猜想：*32()nannN(2)证明：当
14、1n 时，13 1 21a 成立；假设当(1,)nk kkN时，猜想成立，即32kak.则当1nk时，第 8 页 共 13 页 12352(32)35313(1)2kkaakkkkk 即当1nk时，猜想成立.由可知，对于任意的*nN，都有32nan成立.综上所述，猜想得证.18已知函数32()5(,)f xxaxbxa bR，曲线()yf x在1x 处的切线方程为31yx.(1)求,a b的值；(2)求()yf x在区间 3,0上的最值.【答案】(1)2a，4b(2)最大值为 13，最小值为 5【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；（2）利用导数判断单调性，根据单调性可求出最值.【详解】
15、(1)32()5(,)f xxaxbxa bR，2()32fxxaxb，又曲线()yf x在1x 处的切线方程为31yx.(1)3f，(1)4f，即得：23364abab，解得：2a，4b(2)由（1）得：32()245f xxxx，2()344(32)(2)fxxxxx，令()0fx，得32x，令()0fx，得20 x，所以()f x在 3,2)上单调递增，在(2,0上单调递减，所以max()(2)888513f xf ，因为(3)8f，(0)5f，所以min()5f x.()yf x在区间 3,0上的最大值为 13，最小值为 5.19已知空间三点(0,2,3)A，(2,1,6)B，(1,1
16、,5)C.(1)求以 AB，AC为邻边的平行四边形的面积；(2)设(,1,1)D x，若 A，B，C，D 四点共面，求x的值【答案】(1)7 3(2)5x 第 9 页 共 13 页【分析】（1）由空间向量的数量积得夹角后求解（2）由空间向量共面定理求解【详解】(1)由已知，得：(2,1,3)AB ，(1,3,2)AC，2361coscos,2|4 1 91 94AB ACAAB ACABAC 3sin2A，3|sin14147 32SABACA 以 AB，AC为邻边的平行四边形的面积为7 3(2)由(,1,1)D x，得：(,1,4)ADx A，B，C，D 四点共面 存在实数，使得ADABAC
17、(,1,4)(2,1,3)(1,3,2)x，即得：231324x 解得：2，1，5x 20如图，在直三棱柱111ABCABC中，2ABAC，14AA，ABAC，1BEAB交1AA于点E，D为1CC的中点.（）求证：BE平面1AB C；（）求二面角1CABD的余弦值.【答案】（）证明见解析；（）306.【解析】（）由直三棱柱的性质结合ABAC可得AC 平面11AA B B，进而ACBE，结合1BEAB即可得线面垂直；第 10 页 共 13 页（）如图建立空间直角坐标系Axyz，平面1AB C的一个法向量为(2,0,1)BE ，求出平面1AB D的一个法向量为(2,1,1)n，求出两法向量夹角的余
18、弦值即可得结果.【详解】（）因为三棱柱111ABCABC为直三棱柱，所以1AA 平面ABC，所以1AAAC.因为ACAB，1ABAAA，所以AC 平面11AA B B.因为BE 平面11AA B B，所以ACBE.因为1BEAB，1ACABA，所以BE平面1AB C.（）由（）知1,AB AC AA两两垂直，如图建立空间直角坐标系Axyz.则()0 0 0A，,1(2,0,4)B,(0,2,2)D,(2,0,0)B.设)(0,0,Ea，所以1(0,2,2),(2,0,4),(2,0,)ADABBEa，因为ABBE，所以440a，即1a.所以平面1AB C的一个法向量为(2,0,1)BE .设平
19、面1AB D的法向量为(,)nx y z，所以100n ADn AB 所以220,240.yzxz 即,2.yzxz 令1z ，则2,1xy，所以平面1AB D的一个法向量为(2,1,1)n.所以530cos,6|65n BEBE nn BE.第 11 页 共 13 页 由已知，二面角1CABD为锐角，所以二面角1CABD的余弦值为306.21设函数21()ln(1)2f xxaxax，其中Ra.(1)当0a 时，讨论函数()f x的单调性；(2)若对任意121xx，1212()()1f xf xxx 恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)(,4【分析】（1）根据题意得(1)(
20、)()xxafxx，再分01a，1a 和1a 三种情况分类讨论即可；（2）根据题意得 1122f xxf xx，构造函数()()g xf xx，则上式等价于()g x在区间(1,)上单调递增，所以21xax，再构造函数2()1xh xx，求2()1xh xx在(1,)上的最小值即可.【详解】(1)()f x的定义域为(0,)，21()ln(1)2f xxaxax，所以2(1)(1)()()(1)axaxaxxafxxaxxx，因为0a，令()0fx，得1x 或xa，当01a时，则当由 0fx，得0 xa或1x；由()0fx，得1ax 所以()f x在区间(0,)a和(1,)单调递增，在区间(,
21、1)a单调递减；当1a 时，2(1)()0 xfxx在(0,)恒成立，所以()f x在(0,)单调递增；当1a 时，则由()0fx，得01x或xa；由()0fx，得1xa，所以()f x在区间(0,1)和(,)a 单调递增，在区间(1,)a单调递减；综上所述：当01a时，()f x在区间(0,)a和(1,)单调递增，在区间(,1)a单调递减；当1a 时，()f x在(0,)上单调递增；当1a 时，()f x在区间(0,1)和(,)a 单调递增，在区间(1,)a单调递减；(2)对任意121xx，12121f xf xxx 恒成立 等价于对任意121xx，1122f xxf xx恒成立，设函数()
22、()g xf xx，则上式等价于()g x在区间(1,)上单调递增，即()0ag xxax，从而21xax在(1,)恒成立，第 12 页 共 13 页 令2()1xh xx，则2222(2)()(1)(1)xxx xh xxx，令()0h x，解得2x；令()0h x，解得12x，故()h x在(1,2)单调递减；在(2,)单调递增，所以min()(2)4a h xh 所以a的取值范围是(,4.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理 2
23、2已知函数()()lnex af xx（其中e2.718为自然对数的底数）.(1)若曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线与 x 轴交于点(2,0)，求 a的值；(2)求证：11ea 时，()f x存在唯一极值点0 x，且010ex.【答案】(1)ln 2 1a (2)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义得出切线方程，再结合点在切线上即可求解；（2）根据已知条件及函数导数极值的定义，再利用导数研究函数极值即可证明.【详解】(1)因为 1ex afxx，所以 111 eaf，又(1)(1)eaf，所以曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为11e(1 e)(1)aayx，令0y
24、，得111 eax，因为切线与 x轴正半轴交于点(2,0)，所以1121 ea，所以ln 2 1a ；(2)因为 1ex afxx，设 1ex ag xfxx，因为 21ex agxx，所以0 x 时，0gx，故()g x在(0,)上是减函数，因为()eex aa，若1ex，则eax时，()0g x，当01x时，()1eex aa，若11ex，则(1)eax，故当(1)0eax时，()0g x，第 13 页 共 13 页 所以 g xfx有唯一零点0 x，当00 xx时，即 0fx，故()f x为增函数，当0 xx时，即 0fx，故()f x为减函数.所以()f x存在唯一极大值点0 x，又因001exax，即00001ln(ln)axxxx，所以11ea 等价于00111ln1lneeexx 所以0011lnlneexx，因为00ln xx是增函数，故010ex【点睛】解决此类型题第一问直接利用导数的几何意义写出切线方程结合点在切线上即可；第二问利用函数极值的定义及导数法求函数的极值即可，但由于此题求函数的一阶导数后函数是超越函数无法求函数的零点，因此需要在一阶导数的基础上继续求导，进而研究函数的问题就很容易.