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1、第 1 页 共 13 页 2021-2022 学年四川省成都市东部新区高二下学期半期调研（期中）考试数学（文）试题 一、单选题 1已知复数12zi，则z（）A5 B1 2i C12i55 D12i55【答案】B【分析】由共轭复数的概念即可得出答案.【详解】因为12zi，所以12iz .故选：B.2为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）A样本中的男生数量多于女生数量 B样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量 C样本中多数男生喜欢手机支付 D样本中多数女生喜欢现金支付【答案】D
2、【分析】由条形图数据对选项逐一判断【详解】对于 A，由左图知，样本中的男生数量多于女生数量，故 A 正确，对于 B，由右图知，样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量，故 B 正确，对于 C，由右图知，样本中多数男生喜欢手机支付，故 C 正确，对于 D，由右图知，样本中多数女生喜欢手机支付，故 D 错误 故选：D 第 2 页 共 13 页 3若直线的参数方程为215325xtyt（t为参数），则直线的斜率为（）A25 B35 C32 D23【答案】C【分析】将直线的参数方程化为普通方程，然后直接得出斜率,【详解】因为直线的参数方程为215325xtyt（t为参数），所以直线的普通方程为：32
3、70 xy.所以该直线的斜率为：32.故选：C.4极坐标方程2sin0的直角坐标方程为（）A220 xy或1y B1x C220 xy或1x D1y 【答案】A【分析】利用直角坐标与极坐标的互化公式222cossinxyxy，即可得到答案【详解】由曲线的极坐标方程2sin0，两边同乘，可得2sin10，再由222cossinxyxy，可得：2222100 xyyxy或1y，故选：A 5柱坐标2,16对应的点的直角坐标是（）A3,1,1 B3,1,1 C1,3,1 D1,3,1【答案】B【详解】解：柱坐标(,)rz转化为直角坐标为：cossinxryrzz，第 3 页 共 13 页 2cos=3
4、62sin=161xyz，故选：B.6某种产品的广告费支出 x与销售额 y（单位：万元）之间有下表关系 x 1 3 4 5 7 y 30 40 60 50 70 y 与 x 的线性回归方程为6.524yx，当广告支出 5 万元时，随机误差的效应（残差）为（）A20 B-10 C10 D-6.5【答案】D【分析】利用线性回归方程，令5x，求得y，再求残差即可.【详解】解：因为 y 与 x的线性回归方程为6.524yx，当5x 时，6.5 52456.5y ，则5056.56.5，所以当广告支出 5 万元时，随机误差的效应（残差）为-6.5，故选：D 7函数 lnf xxx的大致图像为（）A B
5、C D【答案】A 第 4 页 共 13 页【分析】分析函数零点个数及在区间0,1x上的图象位置，利用排除法可得到答案.【详解】lnf xxx的定义域0,，函数 lnf xxx只有一个零点，可以排除 CD，又因为当0,1x，ln0 x，所以 ln0f xxx，其图象在x轴下方，所以可排除B.故选：A.8函数4225yxx在0,上的单调递增区间是（）A0,B1,C1,1 D,1,1,【答案】B【分析】求出y，由0y 可得答案.【详解】344411yxxx xx，当0,1x时，4110yx xx，4225yxx单调递减，当当1,x时，4110yx xx，4225yxx单调递增，所以4225yxx在0
6、,上的单调递增区间是1,.故选：B.9甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市 由此可判断乙没去过的另一城市为（）AA BB CC D不确定【答案】B【分析】可先由乙推出可能去过 A 城市或 B城市，再由甲推出只能是 A，B中的一个，再由丙即可推出结论.【详解】先从乙说的出发，可以推出乙可能去过 A城市或 B 城市，再由甲说的，可以推出甲去过两个城市 A、C，乙只能去过 A 和 B城市中的一个，再结合丙说的，利用集合交集的思想，即可判断出乙一定去过 A 城市，没有去过 B城市.故选：
7、B.第 5 页 共 13 页 10若曲线3yx 的切线方程为2ykx，则k（）A-1 B1 C-3 D3【答案】C【分析】先切点为00(,)xy，利用斜率相等，切点即在直线上，又在曲线上，即可求解.【详解】解：设切点为00(,)xy，又23yx ，则有2030032kxxkx ，解得：031kx，故选：C 11定义方程 f(x)f(x)的实数根 x0为函数 f(x)的“和谐点”如果函数 g(x)x2(x(0，)，h(x)sin x2cosx0,x，(x)exx 的“和谐点”分别为 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系是()Aabc Bbca Ccba Dcab【答案】D【分析】根据题意得到
8、g(x)2x，由 x22x可得 x2，即 a2；h(x)cos x2sin x0,x，由题意可得 sin x2cos xcos x2sin x，56b33，x(0，)，56x，即56b；函数(x)exx，由(x)ex1，可得 ex1exx，解得 x1，即 c1.综上可知 cab.故答案为 D.【点睛】这个题目考查了对新定义的理解和应用，实质考查了方程的应用以及常见函数求导的应用；求函数导数的一般原则如下：(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.12 已知 f x为 R 上的可导函数，若满足 0
9、f xxfx且 10f，则 0f x 的解集是（）A,1 B0,C,10,D1,0 第 6 页 共 13 页【答案】D【分析】构造函数 g xxf x，利用导数判断函数的单调性，结合零点求解 0g x 的解集，再利用转化关系求()0f x 的解集.【详解】令 g xxf x，则 0gxf xxfx，函数 g xxf x为单调减函数，又 10f，1110 gf，当1x 时，0g xxf x，所以 0f x；当10 x 时，0g xxf x，所以 0f x；当0 x 时，0g xxf x，0f x；0f x 的解集为|10 xx，故选：D.二、填空题 13若函数 2cosf xxx，则3f_【答案
10、】31【分析】求出导函数，再计算导数值【详解】函数 2cosf xxx，2sin1fxx，32131,32f 故答案为：31.14在极坐标系中，点2,2到直线4R的距离为_【答案】2【分析】由极坐标系下点与直线的位置关系及几何意义即可求解.【详解】由题，点2,2到直线4R的距离为2sin224，故答案为：2 15已知 f x在0 xx处的导数 01fx，则000limhfxhfxhh_【答案】2 第 7 页 共 13 页【分析】利用导数的定义求解.【详解】解：因为 f x在0 xx处的导数 01fx，所以000limhfxhfxhh，000000limlimhhf xhf xf xhf xhh
11、，022fx，故答案为：2 16曲线C:3cos6sinxy（为参数）上的动点 P到直线44130 xy的最长距离为_【答案】25 28【分析】利用点到直线距离公式表示d，d为关于的关系式，结合正弦型函数的性质即可求解.【详解】由题，设动点P到直线的距离为d，则224 3cos4 6sin1312sin134 244d，则当sin1时，d的最大值为25 28，故答案为：25 28 三、解答题 17实数 m取什么数值时，复数2221 izmmm分别是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？【答案】(1)1m 或1m (2)1m 且1m (3)2m 【分析】（1）复数为实数，则虚部为零，即可得出答
12、案.（2）复数为虚数，则虚部为不为零，即可得出答案.（3）复数为纯虚数，则实部为零，虚部为不为零，即可得出答案.【详解】(1)当210m ，即1m 或1m 时，复数 z是实数；第 8 页 共 13 页(2)当210m ，即1m 且1m 时，复数 z是虚数；(3)当222010mmm，即2m 时，复数 z 是纯虚数 18为调查学生近视情况，东部新区从不同地域环境的甲、乙两所学校各抽取 100 名学生参与调查，调查结果分为“近视”与“非近视”两类，结果统计如下表：近视人数 非近视人数 合计 甲校 50 50 100 乙校 70 30 100 合计 120 80 200 (1)甲，乙两所学校学生近视
13、的频率分别是多少？(2)能否有 99%的把握认为近视人数与不同地域环境的学校有关？附：22n adbcKabcdacbd，其中nabcd 2P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)0.5；0.7(2)有 99%的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异【分析】（1）根据表格数据分别求出频率即可；（2）计算出卡方，即可判断；【详解】(1)解：由表格数据得，甲校学生近视的频率是500.5100，乙校学生近视的频率是700.7100(2)将诶：由题意可得2K的观测值为20200 50 3050 70120 80 100 100k 508.
14、3336.6356，所以有99%的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异 19已知函数 ln1exxxfxx 第 9 页 共 13 页(1)求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程；(2)若 g xxf x，求函数 yg x的极值【答案】(1)10exy；(2)g x在定义域内无极值.【分析】（1）根据导数的几何意义求切线的斜率，从而求切线方程；（2）先求函数的定义域再求导，根据导数求函数的单调区间，即得.【详解】（1）ln1ln11eeeexxxxxxxxfxx ln1ln11eexxxxx 1lnlnln11eexxxxxxx 所以 11f 即直线斜率1k 由 111ef得 曲线 f
15、x在点 1,1f处的切线方程为 111eyx 即10exy（2）由已知 ln1exxxg x，定义域为0,所以 1lnln1ln1lneeeexxxxxxxxxxxgx 当0,1x时，10 x，ln0 x，e0 x，0gx 此时 g x为减函数 当1,x时，10 x，ln0 x，e0 x，0gx 此时 g x为减函数 所以，g x在定义域内无极值 20已知函数 f(x)ax3bx2 在 x2 处取得极值14.(1)求 a，b 的值；(2)若 f(x)kx 在0,2上恒成立，求实数 k 的取值范围 第 10 页 共 13 页【答案】（1）1,12ab；（2）,9 【分析】(1)f(x)3ax2b
16、，由 f(x)在 x2 处取得极值14，(2)14(2)0ff 解方程即可；（2）f(x)kx 得 x312x2kx，又 x0,2，kx22x12，设 g(x)x22x12，对函数求导研究函数的单调性求得函数最值.【详解】(1)f(x)3ax2b，由 f(x)在 x2 处取得极值14，得即解得经检验，a1，b12 符合题意，a1，b12.(2)由(1)知 f(x)x312x2，由 f(x)kx 得 x312x2kx，又 x，kx2 12，设 g(x)x2 12，x，则 g(x)2x，当 0 x1 时，g(x)0，g(x)在(0，1)上单调递减；当 10，g(x)在(1，2上单调递增故 g(x)
17、在 x1 处取得极小值 g(1)9，也是最小值，故得 k9，即 k 的取值范围为(，9 【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于 0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.21已知函数 32212303f xxaxa x aa R且（1）当1a 时，求曲线 yf x在点2,2f处的切线方程；（2）当0a 时，求函数 yf x的单调区间和极值；（3）当2,22xaa时，不等式 3fxa恒成立，求 a 的取值范围【答案】（1）3380 xy；（2）单调递增区间为(a，3a)，单调递减
18、区间为(，a)和(3a，)，极大值为 0，极小值为43a3；（3）13，【详解】解：（1）当1a 时，321233f xxxx 243fxxx 8228633f ，24 8 31f ，所求切线方程为223yx 即3380 xy（2）22433fxxaxaxaxa 当0a 时，由 0fx，得3axa；第 11 页 共 13 页 由 0fx，得xa或3xa 函数 yf x的单调递增区间为,3aa 单调递减区间为,a和3,a 30fa，343f aa 当0a 时，函数 yf x的极大值为 0，极小值为343a（3）2222432fxxaxaxaa 在区间2,22aa上 fx单调递减 当2xa时，fx
19、取得最大值2a 当22xa时，fx取得最小值24a 不等式 3fxa恒成立 220,3,43,aaaaa 解得13a 故 a的取值范围是 1,3【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于 0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.22 在极坐标系中，点 P的极坐标是1,，曲线 C 的极坐标方程为22cos80，以极点为坐标原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为-1 的直线 l经过点 P(1)写出直线 l的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)若直线 l和曲线 C相
20、交于两点 A，B，求PAPBPBPA的值【答案】(1)21222xtyt （t为参数），2219xy(2)185【分析】（1）直接写出直线 l的参数方程；由直角坐标与极坐标互化公式得到曲线 C的第 12 页 共 13 页 直角坐标方程；（2）利用直线参数方程 t的几何意义即可求解.【详解】(1)点 P 的直角坐标是1,0，直线 l的倾斜角为34 直线 l的参数方程为21222xtyt （t为参数）又由直角坐标与极坐标互化公式得，曲线 C 的直角坐标方程为2219xy(2)将21222xtyt 代入2219xy得22 250tt 设 A，B 对应参数分别为1t，2t，则122 2tt，125t
21、t ，根据直线参数方程 t的几何意义得：22222212121212122 22521855PAPBPAPBttt tttPBPAPAPBt tt t .23已知函数2()4f xxax，()|1|1|g xxx（1）当1a 时，求不等式()()f xg x的解集；（2）若不等式()()f xg x的解集包含1，1，求a的取值范围【答案】（1）117|12xx ；（2）1,1【详解】试题分析：（1）分1x ，11x，1x 三种情况解不等式()()f xg x；（2）()()f xg x的解集包含 1,1，等价于当 1,1x 时()2f x，所以(1)2f 且(1)2f，从而可得11a 试题解析
22、：（1）当1a 时，不等式 f xg x等价于21140 xxxx.当1x 时，式化为2340 xx，无解；当11x 时，式化为220 xx，从而11x；当1x 时，式化为240 xx，从而11712x.所以 f xg x的解集为117|12xx .（2）当1,1x 时，2g x.所以 f xg x的解集包含1,1，等价于当1,1x 时 2f x.又 f x在1,1的最小值必为 1f 与 1f之一，所以 12f 且 12f，得第 13 页 共 13 页 11a.所以a的取值范围为1,1.点睛:形如|xaxbc(或c)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,a，(,a b，(,)b (此处设ab)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集(2)图像法：作出函数1|yxaxb和2yc的图像，结合图像求解