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1、数学数学(shxu)物理方法第三章物理方法第三章第一页，共106页。2 2学习要求学习要求(yoqi)(yoqi)与内容提要与内容提要目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛 朗级数的概念、性质及基本朗级数的概念、性质及基本(jbn)计算方法、孤计算方法、孤 立奇点的概念及判定、零点与极点的关系。立奇点的概念及判定、零点与极点的关系。重点重点(zhngdin)：难点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数函数展开成洛朗级数第1页/共106页第二页，共106页。3 3 无穷级数：一无穷多个数构成
2、无穷级数：一无穷多个数构成(guchng)的数列的数列w1，w2，w3，wn，写成写成w1+w2+w3+wn+就称为无穷级数。这仅是一种形就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加。这种加法是不是具有式上的相加。这种加法是不是具有和数和数呢？这个呢？这个和数和数的确切意义是的确切意义是什么？什么？为什么要研究级数？为什么要研究级数？(1)(1)级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；(2)(2)常微分方程常微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)的级数解。的级数解。研究级数需关心的问题：研究级数需关心的问题：(1)(1)级数的敛散
3、性，收敛的定义、条件、判据；级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据；(2)(2)收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。第2页/共106页第三页，共106页。4 43.1 3.1 复数复数(fsh)(fsh)项级数项级数(一一一一)复数项级数复数项级数复数项级数复数项级数定义定义定义定义(dngy)(dngy)形如形如形如形如 的表达式被称为复数项级数，其中的表达式被称为复数项级数，其中的表达式被称为复数项级数，其中的表达式被称为复数项级数，其中 是复数。是复数。是复数。是复数。部分部分部分部分(b fen)(b fen)和和和和级数最前面级数最前面级数最前面
4、级数最前面n n项的和项的和项的和项的和第3页/共106页第四页，共106页。5 5复数项级数的收敛复数项级数的收敛:即为两个即为两个(lin)实数项级数实数项级数极限存在极限存在(cnzi)并有限并有限收敛性问题收敛性问题收敛性问题收敛性问题(wnt)(wnt)若在区域内某一点若在区域内某一点z0点，点，前前n项和极限存在项和极限存在,则则 那么级数那么级数 在在z0点收敛，点收敛，为该无穷级数的和；否则称为发散。为该无穷级数的和；否则称为发散。例例1 1解解第4页/共106页第五页，共106页。6 6绝对收敛绝对收敛绝对收敛绝对收敛(shulin)(shulin)定义定义定义定义若若收敛，
5、则称收敛，则称绝对收敛绝对收敛 注注注注1 1：一个一个一个一个(y)(y)绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不改变其绝对收敛性而不改变其绝对收敛性而不改变其绝对收敛性而不改变其绝对收敛性,亦不改变其和亦不改变其和亦不改变其和亦不改变其和.收敛收敛收敛收敛(shulin)(shulin)的充要条件的充要条件的充要条件的充要条件 柯西判据柯西判据柯西判据柯西判据：对于任一小的正数对于任一小的正数 ，必存在一必存在一 N 使得使得 nN 时有时有式中式中 p 为任意正整数为任意
6、正整数.注注注注2 2 2 2：级数级数级数级数绝对收敛的充分必要条件是实数项级数绝对收敛的充分必要条件是实数项级数绝对收敛的充分必要条件是实数项级数绝对收敛的充分必要条件是实数项级数与与与与都绝对收敛。都绝对收敛。都绝对收敛。都绝对收敛。第5页/共106页第六页，共106页。7 7 绝对收敛级数判别法：绝对收敛级数判别法：绝对收敛级数判别法：绝对收敛级数判别法：的每一项都是复数的模，即正实数，所以它实际上就是正项级数，这样复数项级数绝对收敛的判别法即的每一项都是复数的模，即正实数，所以它实际上就是正项级数，这样复数项级数绝对收敛的判别法即正项级数正项级数的判别法。的判别法。注注注注3 3 3
7、 3：两个绝对收敛：两个绝对收敛：两个绝对收敛：两个绝对收敛(shulin)(shulin)(shulin)(shulin)级数的和，积，仍绝对收敛级数的和，积，仍绝对收敛级数的和，积，仍绝对收敛级数的和，积，仍绝对收敛(shulin)(shulin)(shulin)(shulin)。第6页/共106页第七页，共106页。8 8解解所以原级数所以原级数(j sh)(j sh)发散发散.例例3所以原级数所以原级数(j sh)(j sh)收敛收敛.第7页/共106页第八页，共106页。9 9（二）复变函数（二）复变函数（二）复变函数（二）复变函数(hnsh)(hnsh)项（简称函数项（简称函数项（
8、简称函数项（简称函数(hnsh)(hnsh)项）级数：项）级数：项）级数：项）级数：设复变函数列设复变函数列wk(z)定义定义(dngy)在区域在区域B上，则由上，则由wk(z)构成的级数称函数项级数构成的级数称函数项级数 当选当选(dngxun)(dngxun)定定z z的一个确定值时，函数项级数变成一个复数项级数。的一个确定值时，函数项级数变成一个复数项级数。由于函数项级数定义在区域由于函数项级数定义在区域 B上上，所以所以它的收敛的概念是相对于这个定义域而言的。它的收敛的概念是相对于这个定义域而言的。第8页/共106页第九页，共106页。1010第9页/共106页第十页，共106页。11
9、11一致一致一致一致(yzh)(yzh)收敛条件收敛条件收敛条件收敛条件-柯西判据柯西判据柯西判据柯西判据函数项级数收敛函数项级数收敛函数项级数收敛函数项级数收敛(shulin)(shulin)条件条件条件条件-柯西判据柯西判据柯西判据柯西判据 函数项级数在其定义域函数项级数在其定义域 B B中的收敛条件中的收敛条件(tiojin)(tiojin)可由柯西判据判定：可由柯西判据判定：对于对于任意给定的任意给定的 正数正数 ，必存在一必存在一N(z)使得使得nN(z)时有时有则则函数项级数函数项级数 收敛，收敛，但但但但NN(z z)与复变量与复变量与复变量与复变量 z z有关有关有关有关。第1
10、0页/共106页第十一页，共106页。1212一致收敛级数一致收敛级数一致收敛级数一致收敛级数(j sh)(j sh)的性质的性质的性质的性质 性质性质性质性质1 1 1 1：若若wk(z)在在B内连续，函数级数内连续，函数级数 在在B内一致收敛，内一致收敛，则和函数则和函数w w(z z)也是也是也是也是B B内的连续函数内的连续函数内的连续函数内的连续函数。性质性质性质性质2 2 2 2：若级数若级数 在区域在区域B B内的分段光滑曲线内的分段光滑曲线l上一致收敛，上一致收敛，且且wk(z)为为l上的连续函数，则上的连续函数，则级数可沿级数可沿级数可沿级数可沿l l逐项积分逐项积分逐项积分
11、逐项积分：这个性质说明：如果这个性质说明：如果(rgu)(rgu)级数的每一项都是连续函数，则一致级数的每一项都是连续函数，则一致收敛级数可以逐项求极限。收敛级数可以逐项求极限。第11页/共106页第十二页，共106页。1313绝对绝对绝对绝对(judu)(judu)一致收敛一致收敛一致收敛一致收敛第12页/共106页第十三页，共106页。14第13页/共106页第十四页，共106页。1515第14页/共106页第十五页，共106页。1616这是一种特殊形式的常用这是一种特殊形式的常用(chn yn)函数项级数。函数项级数。3.2 3.2 幂级数幂级数幂级数幂级数(j sh)：通项为幂函数的级
12、数：通项为幂函数的级数(j sh):（一）（一）（一）（一）定义定义定义定义(dngy)(dngy)第15页/共106页第十六页，共106页。1717（二）幂级数的敛散性（二）幂级数的敛散性（二）幂级数的敛散性（二）幂级数的敛散性2.2.收敛收敛(shulin)(shulin)半径的求法半径的求法达朗贝尔判别达朗贝尔判别(pnbi)(pnbi)法（比值法）法（比值法）:那末收敛半径那末收敛半径,0lim 1=+l lkkkaa如果如果 1.1.阿贝尔阿贝尔Abel第一第一定理定理 如果级数如果级数 在在z0点点收敛，那么在以收敛，那么在以a点为圆心，点为圆心，为半径的圆内为半径的圆内 绝对收敛
13、，而绝对收敛，而 上一致收敛上一致收敛。如果级数如果级数 在在z1点点发散，则在发散，则在 内处处发散内处处发散。第16页/共106页第十七页，共106页。1818 证证由于由于(yuy)分析分析：（：（1 1）级数级数(j sh)(j sh)的的柯西判据柯西判据柯西判据柯西判据,所以所以第17页/共106页第十八页，共106页。1919所以所以(suy)收敛半径为收敛半径为注意注意:幂级数在幂级数在幂级数在幂级数在收敛圆上的敛散性需具体分析！收敛圆上的敛散性需具体分析！收敛圆上的敛散性需具体分析！收敛圆上的敛散性需具体分析！（2 2）当）当CRz0R第18页/共106页第十九页，共106页。
14、2020如果如果如果如果(rgu):(rgu):(rgu):(rgu):即即(极限极限(jxin)(jxin)不存在不存在),),第19页/共106页第二十页，共106页。2121方法方法(fngf)2:(fngf)2:根值法根值法那末收敛半径那末收敛半径,0lim =l lkkka如果如果说明说明说明说明(shumng):(shumng):(shumng):(shumng):(与比值与比值(bzh)(bzh)法相同法相同)如果如果第20页/共106页第二十一页，共106页。22224.4.复变幂级数在收敛复变幂级数在收敛(shulin)(shulin)圆内的性质圆内的性质那么那么那么那么(n
15、 me)(n me)设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为 =-00)(kkkzza是收敛圆是收敛圆内的解析函数内的解析函数。(1)=-=0)()(kkkz0zazw它的和函数它的和函数Rz0z-第21页/共106页第二十二页，共106页。2323(2)在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分,)(zw即即 =-=0.,d)(d)(kckkcRazczz0zazzw 且可表为连续函数的回路且可表为连续函数的回路(hul)(hul)积分。积分。第22页/共106页第二十三页，共106页。2424 记记 CR1上点为上点为，CR1内任一点内任一点(y din)为为 z，则圆上的幂，则圆上的幂
16、级数可写为级数可写为利用柯西公式利用柯西公式用有界函数用有界函数相乘后，在相乘后，在CR1上一致收敛上一致收敛第23页/共106页第二十四页，共106页。2525且幂级数在收敛且幂级数在收敛(shulin)圆内可任意逐项求导圆内可任意逐项求导证证:幂级数幂级数 乘以乘以(3)在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到,)(zw.)()(11 =-=kkkz0zkazw即即Rz0z-第24页/共106页第二十五页，共106页。2626故收敛半径故收敛半径例例1求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径:解解第25页/共106页第二十六页，共106页。2727解解
17、所以所以(suy)例例2求求 的收敛的收敛(shulin)半径半径.第26页/共106页第二十七页，共106页。2828例例3 计算计算解解第27页/共106页第二十八页，共106页。2929思考思考(sko)(sko)思考题答案思考题答案(d n)不一定不一定(ydng)。幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?由于在收敛圆周上由于在收敛圆周上确定确定,可以依复数项级可以依复数项级数敛散性讨论。数敛散性讨论。思考题答案思考题答案第28页/共106页第二十九页，共106页。30303.23.(1)（4）(5）4.(1)(3)第29页/共106页第三十页，共106页
18、。3131(一一)问题问题(wnt)(wnt)的引入的引入问题问题:任一个解析任一个解析(ji x)(ji x)函数能否用幂级数来表达？函数能否用幂级数来表达？3.3 3.3 泰勒泰勒(ti l)(ti l)级数展开级数展开思路思路:1 区域内任一个区域内任一个解析函数解析函数能用能用它在边界上它在边界上回路积分回路积分表示（表示（柯西积分公式柯西积分公式），），2 幂级数幂级数又可表为连续函数的又可表为连续函数的回路积分回路积分。第30页/共106页第三十一页，共106页。3232(二二二二)泰勒展开泰勒展开泰勒展开泰勒展开(zhn ki)(zhn ki)定理定理定理定理其中其中泰勒级数泰勒
19、级数定理定理设设在区域在区域在区域在区域内解析内解析内解析内解析,为为 内的一内的一为为到到的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离,那末那末点点,时时,成立成立,当当 =-=00)()(kkkzzazfLL,2,1,0),(!10)(=kzfkakk第31页/共106页第三十二页，共106页。3333,)(内解析内解析内解析内解析在区域在区域在区域在区域设设函数函数函数函数B Bz zf f 0内以内以为为zB ,为中心的任一圆周为中心的任一圆周,CRB记为记为它与它的内部全包含于它与它的内部全包含于.内任意点内任意点如图如图:.CR.rz=-0z z圆周圆周由柯西积分由柯西积分(jfn
20、)(jfn)公式公式,有有其中其中(qzhng)CR 取正方向。取正方向。为了得到幂级数，我们展开公式为了得到幂级数，我们展开公式(gngsh)的的“核核”为为z-z0幂的几何级数：幂的几何级数：第32页/共106页第三十三页，共106页。3434则则,的内部的内部在在点点上上取在圆周取在圆周因为积分变量因为积分变量CRzCRz z.1 00-zzzz z所以所以用有界函数用有界函数相乘后得相乘后得第33页/共106页第三十四页，共106页。3535 =+-=0010)()(d)(21)(kkCRkzzzfizfz zz zz z由高阶导数由高阶导数(do sh)(do sh)公式公式:我们即
21、可得泰勒我们即可得泰勒(ti l)级数级数的的泰勒展开式泰勒展开式。在在L,)(!10)(zfkakk=第34页/共106页第三十五页，共106页。3636;,00级数称为级数称为麦克劳林级数麦克劳林级数麦克劳林级数麦克劳林级数时时当当=z因为解析，可以保证无限次可各因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性阶导数的连续性;注意注意(zh y)：所以复变函数展为泰勒级数的实用范围所以复变函数展为泰勒级数的实用范围(fnwi)(fnwi)就要比实变函数广阔的多。就要比实变函数广阔的多。说明说明(shumng):问题：问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开
22、式是否唯一？展开式是否唯一？第35页/共106页第三十六页，共106页。3737当展开当展开(zhn ki)点：点：z=z1=z0 时：时：即即因此因此(ync),(ync),解析函数展开成幂级数的结果唯一的。解析函数展开成幂级数的结果唯一的。L+-+-+=212110)()()(zzbzzbbzf,)(1L+-+kkzzbL )(1另有一不同泰勒另有一不同泰勒(ti l)(ti l)级数级数:设设在在zzf,)(!10)(zfkakk=bk=分析：分析：分析：分析：第36页/共106页第三十七页，共106页。3838(三三)将函数展开成泰勒将函数展开成泰勒(ti l)(ti l)级数级数常用
23、方法常用方法:直接直接(zhji)(zhji)法和间接法法和间接法.1.1.直接直接(zhji)(zhji)法法:由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数.)(0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函数zzf例例1，故有故有第37页/共106页第三十八页，共106页。3939,在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为因为ze。=R所以级数的收敛半径所以级数的收敛半径2.2.间接间接(jin ji)(jin ji)展开法展开法:借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质结合解析函数的性质,幂级数运算性质幂级数运算性质(逐项求导逐项求导,积分等积分等)和其它数学技
24、巧和其它数学技巧(代换代换(di hun)(di hun)等等),),求函数的泰勒展开式。求函数的泰勒展开式。间接间接(jin ji)(jin ji)法的优点法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径 ,因而比直接展开更为简洁因而比直接展开更为简洁 ,使用范围也更为广泛。使用范围也更为广泛。第38页/共106页第三十九页，共106页。4040例例2 2.0 sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在利用间接展开法求利用间接展开法求=zz第39页/共106页第四十页，共106页。4141附附:常见常见(chn jin)函数的泰勒展开式函数的泰勒展开式第40页/共106页第四十一页，
25、共106页。4242第41页/共106页第四十二页，共106页。4343例例3 3解解上式两边上式两边(lingbin)(lingbin)逐项求导逐项求导,11)1(12-=+zzz上有一奇点上有一奇点在在由于由于,1区域内解析区域内解析即在即在 z故可在其解析区域内展开成故可在其解析区域内展开成的幂级数的幂级数z第42页/共106页第四十三页，共106页。4444例例4 4*分析分析(fnx)如图如图,-1OR=1xy.1 的幂级数的幂级数内可以展开成内可以展开成所以它在所以它在zz=,1,1 )1ln(是它的一个奇点是它的一个奇点平面内是解析的平面内是解析的向左沿负实轴剪开的向左沿负实轴剪
26、开的在从在从-+z第43页/共106页第四十四页，共106页。4545即即 将展开式两端将展开式两端(lin dun)沿沿 l 逐项积分逐项积分,得得解解,0 1 的曲线的曲线到到内从内从为收敛圆为收敛圆设设zzl 第44页/共106页第四十五页，共106页。4646复复1 1 解解复习复习复习复习(fx(fx)而被积函数可在而被积函数可在|z|0 内连续且可导内连续且可导（2）递推公式递推公式(gngsh)函数函数(hnsh)的性质的性质对对 进行分部积分，可得递推公式进行分部积分，可得递推公式1.1.积分区间为无穷积分区间为无穷;函数函数特点特点:2.2.当当 z-1 0,z 0 B2:R
27、ez-1,z 0 在在B1 中：中：f1(z)=f2(z)f 2(z)是是f1(z)在中的解析延拓在中的解析延拓.第53页/共106页第五十四页，共106页。5555（4）的其他的其他(qt)形式形式令令 t=y2,有有令令 t=py,就有就有同理同理 在在B2B2中：中：f2(z)=f3(z)f2(z)=f3(z)f 3(z)f 3(z)是是f2(z)f2(z)在中的解析在中的解析(ji x)(ji x)延拓延拓.第54页/共106页第五十五页，共106页。5656例例1 1计算计算(j sun)解解第55页/共106页第五十六页，共106页。5757第56页/共106页第五十七页，共106
28、页。5858奇、偶函数的泰勒级数奇、偶函数的泰勒级数(j sh)有什么特点有什么特点?思考题思考题 奇函数的泰勒奇函数的泰勒(ti l)级数只含级数只含 z 的奇次幂项的奇次幂项,偶函数偶函数的泰勒的泰勒(ti l)级数只含级数只含 z 的偶次幂项的偶次幂项.答案答案(d n)思考思考第57页/共106页第五十八页，共106页。59593.3(1)（3）(6）(8)第58页/共106页第五十九页，共106页。60603.5 3.5 3.5 3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开洛朗级数展开洛朗级数展开(zhn ki)(zhn ki)(zhn ki)(zhn ki)(一一)问题问题(wnt)(wnt)
29、的引入的引入第59页/共106页第六十页，共106页。6161例例1.1.都不解析都不解析,但在圆环域但在圆环域及及内都是解析的内都是解析的.而而1,1112+=-zzzzzkLL:10 内内在圆环域在圆环域 z所以所以(suy),121LL+=-kzzzz即即内可以展开成幂级数内可以展开成幂级数.第60页/共106页第六十一页，共106页。6262 LL+-+-+-+-=kzzzz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(121L+-+-+-+-=-kzzzz 由此推想，若由此推想，若由此推想，若由此推想，若f(z)f(z)在在在在R 2R 2z-z0z-z0R1 R1 内解析内
30、解析内解析内解析(ji x),f(z)(ji x),f(z)可以展开成含有负幂次项的级数可以展开成含有负幂次项的级数可以展开成含有负幂次项的级数可以展开成含有负幂次项的级数,即双边幂级数即双边幂级数即双边幂级数即双边幂级数内，内，在圆环域在圆环域110-z第61页/共106页第六十二页，共106页。6363负幂项部分负幂项部分(b fen)正幂项部分正幂项部分(b fen)主要主要(zhyo)部分部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛kkkzza)(.10-=双边幂级数双边幂级数=-=-=kkkkzza)(0kkkkkkzzazza)()(0001-+-=-=-本节将讨论在以本节将讨论在
31、以z 0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在它是后面将要研究的解析函数在它是后面将要研究的解析函数在它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点孤立奇点孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数留数留数数和计算留数的基础。数和计算留数的基础。数和计算留数的基础。数和计算留数的基础。第62页/共106页第六十三页，共106页。6464收敛收敛(shulin)半径半径收敛收敛(shulin)域域收敛收敛(shulin)半径半径收敛域收敛域两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分
32、,两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分D:rz0z0R1z0R2Df(z)=f1(z)+f2(z第63页/共106页第六十四页，共106页。6565结论结论(jiln):.常见常见(chn jin)(chn jin)的特殊圆环域的特殊圆环域:.的收敛区域为的收敛区域为双边幂级数双边幂级数kkkzza)(0-=.102RzzR-圆环域圆环域第64页/共106页第六十五页，共106页。6666(二二)洛朗级数洛朗级数定理定理(dngl)C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线.,)()(0kkkzzazf-=-=内处处解析内处处解析内处处解析内处处解析，在在环形域环形域
33、设设 )(102RzzRzf-内可展开成洛朗级数内可展开成洛朗级数在在那末那末那末那末Bzf)(为洛朗系数为洛朗系数.第65页/共106页第六十六页，共106页。6767证证对于对于(duy)(duy)第一个积分第一个积分(CR1):(CR1):Bzz0.z.第66页/共106页第六十七页，共106页。6868对于对于(duy)第二个积分第二个积分:所以所以(suy)(suy)因为因为(yn wi)(yn wi).z.第67页/共106页第六十八页，共106页。6969则则第68页/共106页第六十九页，共106页。7070则则 对于对于C为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条正向简单的任何
34、一条正向简单kkkkkkzzazza-=-=-+-=)()(0100.)(0kkkzza-=-=闭曲线闭曲线.可用一个式子表示为可用一个式子表示为:kkaa-与与第69页/共106页第七十页，共106页。7171说明说明(shumng):函数函数在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数.1)2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数(j sh)是唯一的是唯一的.定理给出了将圆环域内解析定理给出了将圆环域内解析(ji x)(ji x)的函数展为洛朗级数的一般方法的函数展为洛朗级
35、数的一般方法.kkkzzazf)()(0-=-=第70页/共106页第七十一页，共106页。7272(三三三三)函数函数函数函数(hnsh)(hnsh)的洛朗展开式的洛朗展开式的洛朗展开式的洛朗展开式常用方法常用方法:1.:1.直接直接(zhji)(zhji)法法 2.2.间接法间接法 1.直接直接(zhji)展开法展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数),2,1,0(d)()(2110L =-=+kzfiaCkkz zz zz z然后写出然后写出然后写出然后写出.)()(0kkkzzazf-=-=根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项
36、组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .2.间接展开法间接展开法第71页/共106页第七十二页，共106页。73例例2 2解解由定理知由定理知:,)(kkkzazf -=而而z zz zz zd)()(2110+-=Ckkzfiaz zz zz zd213+=Ckei目标目标目标目标(mbi(mbio)o)求求求求akak 令令f1=e,f1=e,则则f1=ef1=e在闭合回路在闭合回路C C内和内和C C上均解析，上均解析，故由解析函数的导数故由解析函数的
37、导数(do sh)(do sh)公式公式 z zz zz zd2(k+1)!3+=Ck1eif(k+1)+=)!1(k+1)kfka1(0)即有即有 如何如何(rh)(rh)计算计算ak?ak?第72页/共106页第七十三页，共106页。7474间接法解：直接间接法解：直接(zhji)(zhji)展开展开ezezz zz zz zd213+=Ckkeia022)(dd)!2(1=+=zzkkezk)!2(1+=k -=+=2)!2()(kkkzzf故故第73页/共106页第七十四页，共106页。7575例例3 3 内是处处内是处处(chch)(chch)解析的解析的,试把试把 f(z)f(z)
38、在这些在这些(zhxi)(zhxi)区域内展开成洛朗级数区域内展开成洛朗级数.解解:)2)(1(1)(在圆环域在圆环域函数函数-=zzzf ,10 )1内内在在 z间接间接间接间接(jin ji)(jin ji)展开法展开法展开法展开法第74页/共106页第七十五页，共106页。7676oxy1=)(zf所以所以LL+=-nzzzz2111则则,1 z由于由于12 z从而从而是泰勒是泰勒(ti l)(ti l)级数级数第75页/共106页第七十六页，共106页。777712oxy由由且仍有且仍有 ,21 )2内内在在 z第76页/共106页第七十七页，共106页。78782oxy由由此时此时,
39、2 )3内内在在 z)(zf于是于是第77页/共106页第七十八页，共106页。7979仍有仍有,121 zz此时此时)(zf故故注意注意:奇点但却不是函数奇点但却不是函数的奇点的奇点.本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项的第78页/共106页第七十九页，共106页。8080说明说明(shumng):1.函数函数在以在以为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有数中尽管含有的负幂项的负幂项,而且而且又是这些又是这些项的奇点项的奇点,但是但是可能是函数可能是函数的奇点的奇点,也可能也可能的奇点的奇点.不是不是2.给定了函数给定了函数与复平面内的一点与复平面
40、内的一点以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式 (包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).).第79页/共106页第八十页，共106页。8181解：间接法解：间接法 即通过展开即通过展开sinz为级数为级数(j sh)求解：求解：例例4.0 sin 0洛朗级数洛朗级数的去心邻域的去心邻域(ln y)(ln y)内展开成内展开成在在将函数将函数(hnsh)(hnsh)=zzz第80页/共106页第八十一页，共106页。82823.6 3.6 3.6 3.6 孤立孤立孤立孤立(gl)(gl)(gl)(gl)奇点的分类奇点的分类
41、奇点的分类奇点的分类定义：若函数定义：若函数f(z)在点在点z0处不解析（或没有定义），但在点处不解析（或没有定义），但在点z0的某个空心邻域的某个空心邻域(ln y)内解析，则称点内解析，则称点z0为为f(z)的孤立奇点。的孤立奇点。(一一一一)孤立孤立孤立孤立(gl)(gl)奇点的概念奇点的概念奇点的概念奇点的概念例例1z=0是函数是函数的孤立奇点的孤立奇点.是函数是函数的孤立奇点的孤立奇点.注意注意:孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤立奇点立奇点.第81页/共106页第八十二页，共106页。8383例例2 2 指出函数指出函数在点在点的奇点特性的奇点特
42、性.解解即在即在的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在的奇点存在(cnzi),(cnzi),函数函数(hnsh)的奇点是的奇点是1/z=0和和sin(1/z)=0对应的点，即对应的点，即总有总有不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以，因为因为01lim=p p kk第82页/共106页第八十三页，共106页。8484 定义定义 设设z0是解析函数是解析函数f(z)的孤立奇点的孤立奇点，f(z)在点在点z0的某去心邻域的某去心邻域 内的罗朗展式为内的罗朗展式为 (1)(1)若展式中不含有若展式中不含有(hn yu)z-z0(hn yu)z-z0的负幂项，则称的负幂项，则称 z0
43、z0为为f(z)f(z)的可去奇点；的可去奇点；(2)(2)若展式中只含有若展式中只含有 z-z0z-z0的有限的有限(m)(m)项负幂项，则称项负幂项，则称 z0z0是是f(z)f(z)的极点的极点(jdin)(jdin)，称，称m m为极点为极点(jdin)z0(jdin)z0 的阶，按照的阶，按照 m=1m=1或或m m1 1，称，称z0z0是是f(z)f(z)的单极点的单极点(jdin)(jdin)或或m m阶的极点阶的极点(jdin)(jdin)；(3)(3)若展式中含有若展式中含有 z-z0z-z0的无穷的无穷(wqing)(wqing)多个负幂项，则称多个负幂项，则称 z0z0为
44、为f(z)f(z)的本性奇点。的本性奇点。(二二二二)孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类第83页/共106页第八十四页，共106页。8585其和函数其和函数为在为在解析的函数解析的函数.说明说明(shumng):(1)(shumng):(1)(2)无论无论在在是否有定义是否有定义,补充补充(bchng)定义定义则函数则函数在在解析解析.1可去奇点可去奇点如果洛朗级数中不如果洛朗级数中不 含含 的负幂项的负幂项,那末孤立奇点那末孤立奇点 称为称为 的的可去奇点可去奇点.1)定义定义(dngy),)(0的孤立奇点的孤立奇点若是若是zfz.)()()(0010LL+-+-+=k
45、kzzazzaazf,)(00azf=000,)()(zzazzzFzf第84页/共106页第八十五页，共106页。8686 2)可去奇点的判定可去奇点的判定(pndng)(1)定义定义(dngy)判断判断:的洛朗级数无负的洛朗级数无负在在如果如果幂项则幂项则为为的可去奇点的可去奇点.(2)极限极限(jxin)判断判断若极限存在且为有限值若极限存在且为有限值,则则为为的可去奇点的可去奇点.如果补充定义如果补充定义:时时,那末那末在在解析解析.例例3 中不含负幂项中不含负幂项,是是的可去奇点的可去奇点 .第85页/共106页第八十六页，共106页。8787例例4 说明说明为为的可去奇点的可去奇点
46、.解解 由定义由定义(dngy)判断判断所以所以为为的可去奇点的可去奇点.无负幂项无负幂项极限极限(jxin)判断判断的可去奇点的可去奇点.为为第86页/共106页第八十七页，共106页。88882.极点极点(jdin)其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点.那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成1)定义定义(dngy)如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的负幂项负幂项,1012020)()()()(-+-+-=zzazzazzazfmmLL+-+)(010zzaa)0,1(-mam第87页/共106页第八十八页，共106页。8989说明说明(
47、shumng):1.2.特点特点(tdin):(tdin):(1)(2)的极点的极点 ,则则为函数为函数如果如果例例5 有理分式函数有理分式函数是二级极点是二级极点(jdin),(jdin),是一级极点是一级极点.L+-+-+=+-+-20201)()()(zzazzaazgmmm内是解析函数内是解析函数在在d d-0zz第88页/共106页第八十九页，共106页。90902)极点的判定极点的判定(pndng)方法方法的负幂项为有的负幂项为有的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项.在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析,且且 (1)定义定义(dng
48、y)判别判别(2)定义的等价定义的等价(dngji)形式判别形式判别(3)(3)极限判断极限判断.第89页/共106页第九十页，共106页。9191本性本性(bnxng)(bnxng)奇点奇点3.如果洛朗级数中如果洛朗级数中 含有无穷多个含有无穷多个那末孤立奇点那末孤立奇点称为称为的的本性奇点本性奇点.的负幂项的负幂项,例如例如(lr)，含有无穷含有无穷(wqing)(wqing)多个多个z z的负幂项的负幂项 特点特点:在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内不存在且不不存在且不为为同时同时不存在不存在.为本性奇点，为本性奇点，所以所以0=z第90页/共106页第九十一页，共106页。9292(
49、三三三三)函数函数函数函数(hnsh)(hnsh)在无穷远点的性态在无穷远点的性态在无穷远点的性态在无穷远点的性态1.定义定义(dngy)如果函数如果函数在无穷远点在无穷远点的去心的去心邻域邻域内解析内解析,则称点则称点为为的的孤孤立奇点立奇点.Rxyo第91页/共106页第九十二页，共106页。9393作变换作变换并且规定并且规定(gudng)(gudng)此变换将此变换将:映射映射(yngsh)为为扩充扩充(kuchng)z(kuchng)z 平面平面扩充扩充 t 平面平面映射为映射为映射为映射为映射为映射为第92页/共106页第九十三页，共106页。94942 结论结论(jiln):在去
50、心邻域在去心邻域内对函数内对函数的研究的研究在去心邻域在去心邻域内对函数内对函数的研究的研究因为因为 在去心邻域在去心邻域内是解析的内是解析的,所以所以是是的孤立奇点的孤立奇点.3 规定规定(gudng):m级奇点或本性级奇点或本性(bnxng)奇点奇点.的可去奇点的可去奇点、m级奇点或级奇点或本性奇点本性奇点,如果如果 t=0 是是是是的可去奇点、的可去奇点、那末就称点那末就称点第93页/共106页第九十四页，共106页。95951)1)不含正幂项不含正幂项;2)2)含有有限多的正幂项且含有有限多的正幂项且为最高正幂为最高正幂;3)3)含有含有(hn yu)(hn yu)无穷多的正幂项无穷多