数学物理方法第三章.PPTx

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1、1学习要求与内容提要学习要求与内容提要目的与要求：目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛 朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤 立奇点的概念及判定、零点与极点的关系。重点：重点：难点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数第1页/共106页2 无穷级数无穷级数：一无穷多个数构成的数列w1，w2，w3，wn，写成w1+w2+w3+wn+就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加。这种加法是不是具有和数呢？这个和数的确切意义是什么？为什么要研究级数为什么要研究级数？(1)(1)级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；(2)(2)常微分方程的级数解。研究级数需关心的研究级数需

2、关心的问题：问题：(1)(1)级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据；(2)(2)收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。第2页/共106页33.1 3.1 复数项级数复数项级数(一一一一)复数项级数复数项级数复数项级数复数项级数定义定义定义定义 形如形如 的表达式被称为的表达式被称为复数项级数复数项级数，其中其中 是复数是复数。部分和部分和部分和部分和级数最前面级数最前面n n项的和项的和第3页/共106页4复数项级数的收敛:即为两个实数项级数极限存在并有限收敛性问题收敛性问题收敛性问题收敛性问题 若在区域内某一点z0点，前n项和极限存在,则 那么级数 在z0点收敛，为该无穷级数的和；否则称为发

3、散。例例1 1解解第4页/共106页5绝对收敛定义绝对收敛定义绝对收敛定义绝对收敛定义若若收敛，则称收敛，则称绝对收敛绝对收敛 注注注注1 1：一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不而不改变其绝对收敛性改变其绝对收敛性,亦不改变其和亦不改变其和.收敛的充要条件收敛的充要条件收敛的充要条件收敛的充要条件 柯西判据柯西判据柯西判据柯西判据：对于任一小的正数对于任一小的正数 ，必存在一必存在一 N 使得使得 nN 时有时有式中式中 p 为任意正整数为任意正整数.注注注注2 2 2 2：级数级数绝对收敛的充分必要条件是实数项级数绝对收敛的充分必要条件

4、是实数项级数与与都绝对收敛。都绝对收敛。第5页/共106页6 绝对收敛级数判别法：绝对收敛级数判别法：绝对收敛级数判别法：绝对收敛级数判别法：的每一项都是复数的模，即正实数，所以它实际上就是正项级数，这样复数项级数绝对收敛的判别法即正项级数的判别法。注注注注3 3 3 3：两个绝对收敛级数的两个绝对收敛级数的和和，积积，仍绝对收敛仍绝对收敛。第6页/共106页7解解所以原级数发散.例例3所以原级数收敛.第7页/共106页8（二）复变函数项（简称函数项）级数：（二）复变函数项（简称函数项）级数：（二）复变函数项（简称函数项）级数：（二）复变函数项（简称函数项）级数：设复变函数列wk(z)定义在区

5、域B上，则由wk(z)构成的级数称函数项级数函数项级数函数项级数函数项级数 当选定z的一个确定值时，函数项级数变成一个复数项级数。由于函数项级数定义在区域 B上，所以所以它的收敛的概念是相对于这个定义域而言的。第8页/共106页9第9页/共106页10一致收敛条件一致收敛条件一致收敛条件一致收敛条件-柯西判据柯西判据函数项级数收敛条件函数项级数收敛条件函数项级数收敛条件函数项级数收敛条件-柯西判据柯西判据 函数项级数在其定义域函数项级数在其定义域 B B中的收敛条件中的收敛条件可由柯西判据柯西判据柯西判据柯西判据判定：对于对于任意给定的任意给定的正数正数 ，必存在一必存在一N(z)使得使得nN

6、(z)时有时有则则函数项级数函数项级数收敛，收敛，但但但但N N(z z)与复变量与复变量与复变量与复变量 z z有关有关有关有关。第10页/共106页11一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质 性质性质性质性质1 1 1 1：若wk(z)在B内连续，函数级数 在B内一致收敛，则和函数w w(z z)也是也是B B内的连续函数内的连续函数。性质性质性质性质2 2 2 2：若级数 在区域B B内的分段光滑曲线l上一致收敛，且wk(z)为l上的连续函数，则级数可沿级数可沿l l逐项积分逐项积分：这个性质说明：如果级数的每一项都是连续函数，则一致收敛级数可以逐项求极

7、限。第11页/共106页12绝对一致收敛绝对一致收敛绝对一致收敛绝对一致收敛第12页/共106页13第13页/共106页14第14页/共106页15这是一种这是一种特殊形式的常用函数项级数特殊形式的常用函数项级数。3.2 3.2 幂级数幂级数幂级数幂级数：通项为幂函数的级数:（一）（一）（一）（一）定义定义定义定义第15页/共106页16（二）幂级数的敛散性（二）幂级数的敛散性（二）幂级数的敛散性（二）幂级数的敛散性2.2.收敛半径的求法收敛半径的求法达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法（比值法）（比值法）:那末收敛半径那末收敛半径,0lim 1=+l lkkkaa如果如果 1.1.阿贝尔阿贝尔Abe

8、l第一第一定理定理 如果级数如果级数 在在z0点点收敛，那么在以收敛，那么在以a点为圆心，点为圆心，为半径的圆内为半径的圆内绝对收敛，绝对收敛，而而 上一致收敛上一致收敛。如果级数如果级数 在在z1点点发散，则在发散，则在 内处处发散内处处发散。第16页/共106页17 证证由于分析分析：（1 1）级数的柯西判据柯西判据,所以第17页/共106页18所以收敛半径为收敛半径为收敛半径为收敛半径为注意注意:幂级数在幂级数在收敛圆上的敛散性需具体分析！收敛圆上的敛散性需具体分析！（2 2）当CRz0R第18页/共106页19如果如果如果如果:即(极限不存在),),第19页/共106页20方法方法2:

9、2:根值法根值法那末收敛半径那末收敛半径,0lim =l lkkka如果如果说明说明说明说明:(与比值法相同)如果第20页/共106页214.4.复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质那么那么那么那么设幂级数的收敛半径为 =-00)(kkkzza是收敛圆内的解析函数。(1)=-=0)()(kkkz0zazw它的和函数Rz0z-第21页/共106页22(2)在收敛圆内可以逐项积分,)(zw即 =-=0.,d)(d)(kckkcRazczz0zazzw 且且可表为连续函数的回路积分。第22页/共106页23 记 CR1上点为，CR1内任一点为 z，则圆上的幂级数可写为利用柯西公式用有

10、界函数相乘后，在CR1上一致收敛第23页/共106页24且幂级数在收敛圆内可任意逐项求导证:幂级数 乘以(3)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,)(zw.)()(11 =-=kkkz0zkazw即即Rz0z-第24页/共106页25故收敛半径故收敛半径例例1求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径:解解第25页/共106页26解解所以所以例例2求求 的收敛半径的收敛半径.第26页/共106页27例例3 计算计算解解第27页/共106页28思考思考思考题答案思考题答案不一定。幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?由于在收敛圆周上确定,可以依复数项级数敛散性讨论。思考题答案思考题答案第28页/

11、共106页293.23.(1)（4）(5）4.(1)(3)第29页/共106页30(一一一一)问题的引入问题的引入问题的引入问题的引入问题问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？任一个解析函数能否用幂级数来表达？3.3 3.3 泰勒级数展开泰勒级数展开思路思路:1 区域内任一个解析函数能用它在边界上回路积分表示（柯西积分公式），2 幂级数又可表为连续函数的回路积分。第30页/共106页31(二二二二)泰勒展开定理泰勒展开定理泰勒展开定理泰勒展开定理其中其中泰勒级数泰勒级数定理定理设设在区域在区域在区域在区域内解析内解析内解析内解析,为为 内的一内的一为为到到的边界上各点的最短距离的边界上各点的

12、最短距离,那末那末点点,时时,成立成立,当当 =-=00)()(kkkzzazfLL,2,1,0),(!10)(=kzfkakk第31页/共106页32,)(内解析内解析在区域在区域设函数函数B Bz zf f 0内以为zB ,为中心的任一圆周,CRB记为它与它的内部全包含于.内任意点如图:.CR.rz=-0z z圆周由柯西积分公式 ,有其中 CR 取正方向。为了得到幂级数，我们展开公式的“核核”为z z-z z0 0幂的几何级数：第32页/共106页33则,的内部在点上取在圆周因为积分变量CRzCRz z.1 00-zzzz z所以用有界函数相乘后得第33页/共106页34 =+-=0010

13、)()(d)(21)(kkCRkzzzfizfz zz zz z由高阶导数公式:我们即可得泰勒级数泰勒级数的泰勒展开式泰勒展开式。在L,)(!10)(zfkakk=第34页/共106页35;,00级数称为麦克劳林级数麦克劳林级数时当=z因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性;注意：注意：所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多。说明说明:问题：问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？展开式是否唯一？第35页/共106页36当展开点：z=z1=z0时：即因此,解析函数展开成幂级数的结果唯一的。L+-+-+=212110)()()(zzbzzbbzf,)(1L

14、+-+kkzzbL )(1另有一不同泰勒级数:设在zzf,)(!10)(zfkakk=bk=分析：分析：分析：分析：第36页/共106页37(三三三三)将函数展开成泰勒级数将函数展开成泰勒级数将函数展开成泰勒级数将函数展开成泰勒级数常用方法常用方法:直接法和间接法直接法和间接法.1.1.直接法直接法:由泰勒展开定理计算系数.)(0展开成幂级数在将函数zzf例例1，故有第37页/共106页38,在复平面内处处解析因为ze。=R所以级数的收敛半径2.2.间接展开法间接展开法:借助于一些已知函数的展开式 ,结合解析函数的性质,幂级数运算性质 (逐项求导,积分等)和其它数学技巧 (代换等),),求函数

15、的泰勒展开式。间接法的优点间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径 ,因而比直接展开更为简洁 ,使用范围也更为广泛。第38页/共106页39例例2 2.0 sin 的泰勒展开式在利用间接展开法求=zz第39页/共106页40附附:常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式第40页/共106页41第41页/共106页42例例3 3解解上式两边逐项求导,11)1(12-=+zzz上有一奇点在由于,1区域内解析即在 z故可在其解析区域内展开成的幂级数z第42页/共106页43例例4 4*分析分析如图,-1OR=1xy.1 的幂级数内可以展开成所以它在zz=,1,1 )1ln(是它的一个奇点平面内是解析

16、的向左沿负实轴剪开的在从-+z第43页/共106页44即 将展开式两端沿 l 逐项积分,得解解,0 1 的曲线到内从为收敛圆设zzl 第44页/共106页45复复1 1 解解复习 而被积函数可在|z|0 内连续且可导内连续且可导（2）递推公式递推公式函数的性质函数的性质对对 进行分部积分，可得递推公式进行分部积分，可得递推公式1.1.积分区间为无穷积分区间为无穷;函数函数特点特点:2.2.当当 z-1 0,z 0 B2:Rez-1,z 0 在B1 中：f1(z)=f2(z)f 2(z)是是f1(z)在中的解析延拓在中的解析延拓.第53页/共106页54（4）的其他形式的其他形式令令 t=y2,

17、有有令令 t=py,就有就有同理同理 在在B2中：中：f2(z)=f3(z)f 3(z)是是f2(z)在中的解析延拓在中的解析延拓.第54页/共106页55例例1 1计算计算解解第55页/共106页56第56页/共106页57奇、偶函数的泰勒级数有什么特点奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题思考题 奇函数的泰勒级数只含奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项的奇次幂项,偶函数偶函数的泰勒级数只含的泰勒级数只含 z 的偶次幂项的偶次幂项.答案答案思考第57页/共106页583.3(1)（3）(6）(8)第58页/共106页593.5 3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开(一一一一)问题的引入问题的引入

18、问题的引入问题的引入第59页/共106页60例例1.1.都不解析,但在圆环域及及内都是解析的.而1,1112+=-zzzzzkLL:10 内在圆环域 z所以,121LL+=-kzzzz即内可以展开成幂级数.第60页/共106页61 LL+-+-+-+-=kzzzz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(121L+-+-+-+-=-kzzzz 由此推想由此推想由此推想由此推想，若f(z)在R 2 z-z0 R1 内解析,f(z)可以展开成含有负幂次项的级数,即双边幂级数双边幂级数内，内，在圆环域110-z第61页/共106页62负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛收敛kkk

19、zza)(.10-=双边幂级数=-=-=kkkkzza)(0kkkkkkzzazza)()(0001-+-=-=-本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要它是后面将要研究的解析函数在研究的解析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数数和计算留数的基础。数和计算留数的基础。第62页/共106页63收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分D:rz0z0R1z0R2Df(z)=f1(z)+f2(z第63页/共106页64结论结论:.常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域:.的收敛区域为双边幂级数kkkzza)(0-=.

20、102RzzR-圆环域第64页/共106页65(二二二二)洛朗级数洛朗级数洛朗级数洛朗级数定理定理C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线.,)()(0kkkzzazf-=-=内处处解析内处处解析内处处解析内处处解析，在在环形域环形域设设 )(102RzzRzf-内可展开成洛朗级数内可展开成洛朗级数在在那末那末那末那末Bzf)(为洛朗系数为洛朗系数.第65页/共106页66证证对于第一个积分(CR1):Bzz0.z.第66页/共106页67对于第二个积分:所以 因为.z.第67页/共106页68则第68页/共106页69则 对于C为在圆环域内绕 的任何一条正向简单k

21、kkkkkzzazza-=-=-+-=)()(0100.)(0kkkzza-=-=闭曲线.可用一个式子表示为:kkaa-与与第69页/共106页70说明说明:函数在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.1)2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的.定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.kkkzzazf)()(0-=-=第70页/共106页71(三三三三)函数的洛朗展开式函数的洛朗展开式函数的洛朗展开式函数的洛朗展开式常用方法 :1.:1.直接法 2.2.间接法 1.直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数)

22、,2,1,0(d)()(2110L =-=+kzfiaCkkz zz zz z然后写出然后写出.)()(0kkkzzazf-=-=根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .2.间接展开法间接展开法第71页/共106页72例例2 2解解由定理知:,)(kkkzazf -=而z zz zz zd)()(2110+-=Ckkzfiaz zz zz zd213+=Ckei目标目标求求a ak k 令f1=e,则f1=e在闭合回路C内和C上均解析，故由解析函数的导数公式 z zz zz zd2(k+1)!3+=Ck1eif(k+1

23、)+=)!1(k+1)kfka1(0)即有 如何计算ak?第72页/共106页73间接法解：间接法解：直接展开ezz zz zz zd213+=Ckkeia022)(dd)!2(1=+=zzkkezk)!2(1+=k -=+=2)!2()(kkkzzf故第73页/共106页74例例3 3 内是处处解析的,试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解解:)2)(1(1)(在圆环域函数-=zzzf ,10 )1内在 z间接展开法间接展开法第74页/共106页75oxy1=)(zf所以LL+=-nzzzz2111则,1 z由于12 z从而是泰勒级数第75页/共106页7612oxy由且仍有 ,21

24、)2内在 z第76页/共106页772oxy由此时,2 )3内在 z)(zf于是第77页/共106页78仍有,121 zz此时)(zf故注意注意:奇点但却不是函数的奇点.本例中圆环域的中心是各负幂项的第78页/共106页79说明说明:1.函数在以为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有的负幂项,而且又是这些项的奇点,但是可能是函数的奇点,也可能的奇点.不是2.给定了函数与复平面内的一点以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式 (包括泰勒展开式作为它的特例).).第79页/共106页80解：解：间接法 即通过即通过展开sinz为级数求解：例例4.0 sin 0洛朗级数的去心邻域内展开成在在将

25、函数=zzz第80页/共106页813.6 3.6 3.6 3.6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类定义定义：若函数若函数f(z)在点在点z0处不解析处不解析（或没有定义）（或没有定义），但在点，但在点z0的某个的某个空心邻域空心邻域空心邻域空心邻域 内解析内解析，则称点，则称点z0为为f(z)的的孤立奇点孤立奇点。(一一一一)孤立奇点的概念孤立奇点的概念孤立奇点的概念孤立奇点的概念例例1z=0是函数的孤立奇点.是函数的孤立奇点.注意注意:孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤立奇点.第81页/共106页82例例2 2 指出函数在点的奇点特性.解解即在的不论怎样小的去心邻

26、域内,的奇点存在,函数的奇点是1/z=0和sin(1/z)=0对应的点，即总有不是孤立奇点.所以，因为01lim=p p kk第82页/共106页83 定义定义 设设z0是解析函数是解析函数f(z)的孤立奇点的孤立奇点，f(z)在点在点z0的某去心邻域的某去心邻域 内的内的罗朗展式为罗朗展式为 (1)(1)若展式中若展式中不含有不含有不含有不含有z z-z z0 0的负幂项的负幂项的负幂项的负幂项，则称，则称z0为为f(z)的的可去奇点可去奇点；(2)(2)若展式中若展式中只含有只含有只含有只含有z z-z z0 0的有限的有限的有限的有限(mm)项负幂项项负幂项项负幂项项负幂项，则称则称z0

27、是是f(z)的的极点极点，称称m为极点为极点z0的阶，按照的阶，按照m=1或或m1，称称z0是是f(z)的单极点或的单极点或m阶的极点；阶的极点；(3)(3)若展式中若展式中含有含有含有含有z z-z z0 0的无穷多个负幂项的无穷多个负幂项的无穷多个负幂项的无穷多个负幂项，则称，则称z0为为f(z)的的本性奇点本性奇点。(二二二二)孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类第83页/共106页84其和函数为在解析的函数.说明说明:(1)(2)无论在在是否有定义,补充定义则函数在在解析.1可去奇点可去奇点如果洛朗级数中不如果洛朗级数中不含含 的负幂项的负幂项,那末孤立奇点那末孤立

28、奇点 称为称为 的的可去奇点可去奇点.1)定义定义,)(0的孤立奇点若是zfz.)()()(0010LL+-+-+=kkzzazzaazf,)(00azf=000,)()(zzazzzFzf第84页/共106页85 2)可去奇点的判定可去奇点的判定(1)定义判断定义判断:的洛朗级数无负在如果幂项则为的可去奇点.(2)极限判断极限判断若极限存在且为有限值,则为的可去奇点.如果补充定义:时,那末在解析.例例3 中不含负幂项,是的可去奇点 .第85页/共106页86例例4 说明为的可去奇点.解解 由定义判断所以为为的可去奇点.无负幂项无负幂项极限判断的可去奇点.为为第86页/共106页872.极点极

29、点 其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点.那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成1)定义定义 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的负幂项负幂项,1012020)()()()(-+-+-=zzazzazzazfmmLL+-+)(010zzaa)0,1(-mam第87页/共106页88说明说明:1.2.特点特点:(1)(2)的极点 ,则为函数如果例例5 有理分式函数是二级极点,是一级极点.L+-+-+=+-+-20201)()()(zzazzaazgmmm内是解析函数在d d-0zz第88页/共106页892)极点的判定方法极点的判定方法的负幂

30、项为有的洛朗展开式中含有限项.在点 的某去心邻域内其中 在 的邻域内解析,且 (1)定义判别定义判别(2)定义的等价形式判别定义的等价形式判别(3)(3)极限判断极限判断.第89页/共106页90本性奇点本性奇点3.如果洛朗级数中如果洛朗级数中含有无穷多个含有无穷多个那末孤立奇点那末孤立奇点称为称为的的本性奇点本性奇点.的负幂项的负幂项,例如，含有无穷多个z的负幂项 特点:在本性奇点的邻域内不存在且不为同时不存在.为本性奇点，所以0=z第90页/共106页91(三三三三)函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态1.定义定义如果函数如果函数在无穷远点在无穷

31、远点的去心的去心邻域邻域内解析内解析,则称点则称点为为的的孤孤立奇点立奇点.Rxyo第91页/共106页92作变换并且规定此变换将:映射为扩充 z 平面扩充 t 平面映射为映射为映射为第92页/共106页932 结论结论:在去心邻域内对函数的研究在去心邻域内对函数的研究因为 在去心邻域内是解析的,所以是的孤立奇点.3 规定规定:m级奇点或本性奇点.的可去奇点、m级奇点或本性奇点,如果 t=0 是是的可去奇点、那末就称点第93页/共106页941)1)不含正幂项;2)2)含有有限多的正幂项且为最高正幂;3)3)含有无穷多的正幂项;那末是的的1)1)可去奇点 ;2)m 级极点;3)3)本性奇点 .

32、判别法1(1(利用洛朗级数的特点)4.判别方法判别方法:在内的洛朗级数中:如果第94页/共106页95例例6 6 (1)函数在圆环域内的洛朗展开式为:不含正幂项所以是的可去奇点 .(2)(2)函数含有正幂项且 z 为最高正幂项,所以是的一一级极点.第95页/共106页96(3)函数的展开式:含有无穷多的正幂项所以是的本性奇点.第96页/共106页97判别法判别法2:(利用极限特点利用极限特点)如果极限1)1)存在且为有限值 ;2)2)无穷大;3)3)不存在且不为无穷大 ;那末是的1)1)可去奇点 ;2)2)m级极点;3)3)本性奇点 .第97页/共106页98例例7 函数在扩充复平面内有些什么

33、类型的奇点?如果是极点,指出它的级.解解 函数除点外,所以这些点都是的一级零点,内解析 .在.,2,1,0cos)(sin处均不为零在在因L =p p=p pzzz（1）分析的零点情况：（2）分析分子的零点情况；为一级零点，为一级零点，与与则则11-为三级零点，为三级零点，则则2先分析有限区域，再分析无限区域先分析有限区域，再分析无限区域第98页/共106页99然而那末是是的可去奇点.因为的三级极点.（3）分析的极点情况：故在 这些点中除1,-1,2外,都是对于z=2，第99页/共106页100不是的孤立奇点.所以的孤立奇点，不是故 =z zz z10f第100页/共106页101(1)Lau

34、rent级数与Taylor 级数的不同点：Taylor级数先展开，后求收敛半径R,找出收敛域。Laurent级数先求 f(z)的奇点，然后以 z0为中心 奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使 f(z)解析的环域，在环域上展成级数。小结小结第101页/共106页102(3)(3)根据区域判别级数方式：在圆域内需要把 f(z)展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f(z)展成 洛朗(Laurent)级数。对于无理函数及其它初等函数的洛朗展开式，可以利用已知基本初等函数的泰勒展开式，经过代换、逐次求导、逐次积分等计算获得。(4)把f(z)展成洛朗级数的方法：对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。第102页/共106页103 洛朗级数是一个双边幂级数,其解析部分是一个普通幂级数;答答:是一般与特殊的关系是一般与特殊的关系.洛朗级数的收敛区域是圆环域洛朗级数与泰勒级数有何关系?思考题思考题1.级数了洛朗级数就退化为泰勒思考思考第103页/共106页104思考题思考题2答答:第104页/共106页1053.5(1)（3）(5）(7)(9)3.6(1)（2）(3）第105页/共106页106感谢您的观看。第106页/共106页