数学物理方法第三章.ppt

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1、1学习要求与内容提要目的与要求：掌握目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛朗级数的概念、性质及基本计算方法、朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤立奇点的概念及孤立奇点的概念及判定、零点与极点的关系判定、零点与极点的关系。重点：重点：难点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数函数展开成洛朗级数2 无穷级数无穷级数：一系列无穷多个数一系列无穷多个数w1，w2，w3，wn，写写成成w1+w2+w3+wn+就称为无穷级数。这仅是一种形式上就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加。这种加法是不是具有的相加。这种加法是

2、不是具有和数和数呢？这个呢？这个和数和数的的确切意义是什么？确切意义是什么？为什么要研究级数为什么要研究级数？(1)(1)级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；(2)(2)常微分方程的级数解。常微分方程的级数解。研究级数需关心的研究级数需关心的问题：问题：(1)(1)级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据；级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据；(2)(2)收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。33.1 3.1 复数项级数复数项级数复数项级数定义复数项级数定义 形如形如 的表达式被称为的表达式被称为复数项级数复数项

3、级数，其中，其中 是复数。是复数。每一项收敛性问题归结为两个实数项级数每一项收敛性问题归结为两个实数项级数极限存在并有限极限存在并有限部分和部分和级数最前面级数最前面级数最前面级数最前面n n项的和项的和项的和项的和收敛性收敛性问题问题 若在区域内某一点若在区域内某一点z0点，点，前前n项和极限存在项和极限存在,则则 那么级数那么级数 在在z0点收敛，点收敛，为该无穷级数的和；否则称为发散。为该无穷级数的和；否则称为发散。4收敛的充要条件收敛的充要条件收敛的充要条件收敛的充要条件 柯西判据柯西判据柯西判据柯西判据：复数项级数收敛的充要条件是，对于复数项级数收敛的充要条件是，对于任一小的正数任一

4、小的正数 ，必存在一必存在一 N 使得使得 nN 时有时有式中式中 p 为任意正整数为任意正整数绝对收敛绝对收敛绝对收敛绝对收敛若若收敛，则称收敛，则称绝对收敛绝对收敛 判别法：判别法：判别法：判别法：的每一项都是复数的模，即正实数，所以它的每一项都是复数的模，即正实数，所以它实际上就是正项级数，这样复数项级数绝对收敛的判实际上就是正项级数，这样复数项级数绝对收敛的判别法即正项级数的判别法。别法即正项级数的判别法。5两个绝对收敛级数的两个绝对收敛级数的两个绝对收敛级数的两个绝对收敛级数的和和和和，积积积积，仍绝对收敛。，仍绝对收敛。，仍绝对收敛。，仍绝对收敛。复变函数项级数：复变函数项级数：每

5、一项都是复变函数每一项都是复变函数 实际上，对于实际上，对于 z 的一个确定值，复变函数项级的一个确定值，复变函数项级数变成一个复数项级数。数变成一个复数项级数。复变函数项级数有一个定义域复变函数项级数有一个定义域 B。它的收敛的它的收敛的概念应当是相对于这个定义域而言的。概念应当是相对于这个定义域而言的。6一致收敛一致收敛收敛收敛复变函数项级数在其定义域复变函数项级数在其定义域 B中每一点都收中每一点都收敛，则称在敛，则称在B中收敛。它满足中收敛。它满足柯西判据柯西判据：对于一小正数对于一小正数 ，必存在一，必存在一N(z)使得使得nN(z)时有时有N 与与 z 无关无关收敛，但收敛，但N(

6、z)与复变量与复变量 z有关有关给定给定 ，有一个统一的，有一个统一的 N 使判据得到满足使判据得到满足7绝对一致收敛绝对一致收敛在区域在区域 B 中，复数项级数的各项满足中，复数项级数的各项满足 而常数项级数而常数项级数收敛。收敛。即在各点都绝对收敛即在各点都绝对收敛一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质 性质性质1 1：若级数若级数 在在B内一致收敛于内一致收敛于s(z)，且，且其各项均为其各项均为B内的连续函数，则内的连续函数，则s(z)也是也是B内的连续函数。内的连续函数。性质性质2 2：若级数若级数 在曲线在曲线l上一致收敛于上一致收敛于s(z)，且各项均为且各项均为l上的连续函数，则

7、级数可沿上的连续函数，则级数可沿l逐项积分：逐项积分：83.2 3.2 幂级数幂级数为以为以 为中心的为中心的幂级数幂级数.1 定义定义幂级数幂级数：常用的一种级数，实变函数幂级数的推广：常用的一种级数，实变函数幂级数的推广时时 定理定理 (阿贝尔阿贝尔Abel)Abel)如果级数如果级数 在在z=z0(0)收敛，那么对满足收敛，那么对满足 的的z，级数必绝对收敛；如果在级数必绝对收敛；如果在z=z0级数发散，那么对满足级数发散，那么对满足 的的z，级数必发散级数必发散。复常数复常数复常数复常数幂级数的敛散性幂级数的敛散性幂级数的敛散性幂级数的敛散性9证证由收敛的必要条件由收敛的必要条件,有有

8、因而存在正数因而存在正数M,使对所有的使对所有的k,有有因为级数因为级数 收敛，收敛，而而由正项级数的比较判别法知由正项级数的比较判别法知:收敛收敛.另一部分的证明请课后完成另一部分的证明请课后完成.证毕证毕故级数故级数 是绝对收敛的。是绝对收敛的。102.2.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种其收敛半径的情况有三种:(1)(1)对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛.例如例如,级数级数对任意固定的对任意固定的z,从某个从某个k开始开始,总有总有于是有于是有故

9、该级数对任意的故该级数对任意的z均收敛均收敛.11(2)对所有的正实数除对所有的正实数除 z=0 外都发散外都发散.此时此时,级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散.(3)(3)既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数敛的正实数.例如例如,级数级数通项不趋于零通项不趋于零,如图如图:故级数发散故级数发散.12.收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.13 在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一不能作出一般的结论般的结论,要对具体级数进行具

10、体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意问题问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?幂级数幂级数的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域?问题问题1:答案答案:.为中心的圆域为中心的圆域是以是以az=14收敛圆周上无收敛点收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛在收敛圆周上处处收敛.例如例如,级数级数:1,1=zR收敛圆周收敛圆周均为均为;,1在其它点都收敛在其它点都收敛发散发散在点在点=z153.3.收敛半径的求法收敛半径的求法方法方法1 1:比值法比值法(定理二定理二):):那末收敛半径那末收敛半径,0lim 1=+l lkkkaa如果如果证证由于由于zaazaz

11、akkkkkkkk111limlim+=收敛收敛.=0kkkza,1 时时当当l l z16据阿贝尔定理据阿贝尔定理,.01必收敛必收敛级数级数 =kkkza,1 1zz外再取一点外再取一点在圆在圆l l=,01zz z11111limzzazakkkkkl l=+即假设不成立即假设不成立.,01收敛相矛盾收敛相矛盾与与 =kkkza,1 0外发散外发散在圆在圆故故l l=zzakkk18如果如果:即即(极限不存在极限不存在),),即即注意注意:存在且不为零存在且不为零.定理中极限定理中极限kkkaa1lim+,0在复平面内处处收敛在复平面内处处收敛则级数则级数 =kkkza,0 0 0 0均

12、发散均发散以外的一切以外的一切对于复平面内除对于复平面内除则级数则级数zzzakkk k=19课堂练习课堂练习 试求幂级数试求幂级数的收敛半径的收敛半径.答案答案，因为因为pnka1=.11 =l lR所以所以pnnnnnnaa)1(limlim1+=+l l20方法方法2:2:根值法根值法(定理三定理三)那末收敛半径那末收敛半径说明说明:(与比值法相同与比值法相同)如果如果,0lim =l lkkka如果如果214.4.复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质定理四定理四设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为那末那末 =-00)(kkkzza是收敛圆是收敛圆内的解析函数内的解析

13、函数.(1)=-=0)()(kkkz0zazw它的和函数它的和函数Rz0z-(2)在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到,)(zw.)()(11 =-=kkkz0zkazw即即Rz0z-22简言之简言之:在收敛圆内在收敛圆内,幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导幂级数可逐项求导,逐项积分逐项积分.(常用于求和函数常用于求和函数)(3)在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分,)(zw即即 =-=0.,d)(d)(kckkcRazczz0zazzw =+-+=01.)(1d)(kkkzaz0zkawz zz z或或23 记记 CR1

14、上点为上点为，CR1内任一点为内任一点为 z，则圆上的幂级数可写则圆上的幂级数可写为为利用柯西公式利用柯西公式用有界函数用有界函数相乘后，在相乘后，在CR1上一致收敛上一致收敛 6 幂级数的和与回路积分。24乘以乘以幂级数在收敛圆内可任意幂级数在收敛圆内可任意逐项求导逐项求导，还可以，还可以逐项积分逐项积分。结论：幂级数的和可表为连续函数的回路积分。255、典型例题例例1 1 求幂级数求幂级数的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.解解级数的部分和为级数的部分和为LL+=kkkzzzz201)1(,11112-=+=-zzzzzzskknL26级数级数收敛收敛,级数级数发散发散.收敛范围为一单位

15、圆域收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知由阿贝尔定理知:在此圆域内在此圆域内,级数绝对收敛级数绝对收敛,收敛半径为收敛半径为1,zskk-=11lim =0kkz0lim kkz =0kkz且有且有.1112LL+=-kzzzz27例例2求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形并讨论在收敛圆周上的情形)(2)(并讨论并讨论时的情形时的情形)解解(1)因为因为nnnaa1lim+或或nnnnnna31limlim =28所以收敛半径所以收敛半径即原级数在圆即原级数在圆内收敛内收敛,在圆外发散在圆外发散,收敛的收敛的级数级数 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的所以

16、原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周在圆周上上,级数级数29说明说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有也有 级数的发散点级数的发散点.原级数成为原级数成为交错级数交错级数,收敛收敛.发散发散.原级数成为原级数成为调和级数，调和级数，,2时时当当=z,0时时当当=z(2)1limlim1+=+nnaannnn.1=R即即30故收敛半径故收敛半径例例3求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径:解解inancos=因为因为nnnnnnnneeeeaa-+=111limlim 所以所以31解解所以所以例例4 求求 的收敛半径的收敛半径.)4sin4(cos21 p p+p

17、p=+ii因为因为nnia)1(+=nnnaa1lim+=l l32例例5 求级数求级数的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解利用逐项积分利用逐项积分,得得:所以所以12limlim 1+=+nnaannnn因为因为33例例6 求级数求级数的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解1212limlim 11-=+nnnnnnaa因为因为34例例7 计算计算解解35一、问题的引入一、问题的引入问题问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？任一个解析函数能否用幂级数来表达？3.3 3.3 泰勒级数展开泰勒级数展开,)(内解析内解析在区域在区域设函数设函数Dzf,0为中心的任一圆周为中心的任一圆周

18、内以内以为为zD,KD 记为记为它与它的内部全包含于它与它的内部全包含于.内任意点内任意点如图如图:.K.rz=-0z z圆周圆周36由柯西积分公式由柯西积分公式,有有其中其中 K 取正方向取正方向.则则,的内部的内部在在点点上上取在圆周取在圆周因为积分变量因为积分变量KzKz z.1 00-zzzz z所以所以37 -=+-=10010)()(d)(21)(NnnKnzzzfizfz zz zz z于是于是38由高阶导数公式由高阶导数公式,上式又可写成上式又可写成其中其中可知在可知在K内内,0)(lim=zRNN若若,)(内可以用幂级数来表示内可以用幂级数来表示在在即即Kzf39令令则在则在

19、K上连续上连续,即存在一个正常数即存在一个正常数M,10,qq且且无关的量无关的量是与积分变量是与积分变量z z ,)()(内解析内解析在在DKDzf,)(上也连续上也连续在在因此因此Kfz z,)(上有界上有界在在 Kfz z40在在内成立内成立,从而在从而在K内内 圆周圆周的半径可以任意增大的半径可以任意增大,只要只要内成立内成立.在在的的泰勒展开式泰勒展开式,在在泰勒级数泰勒级数41如果如果到到的边界上各点的最短距离为的边界上各点的最短距离为那末那末在在的泰勒展开式在内成立的泰勒展开式在内成立因为凡满足因为凡满足的的必能使必能使由上讨论得重要定理由上讨论得重要定理泰勒展开定理泰勒展开定理

20、在在的泰勒级数的泰勒级数的收敛半径的收敛半径至少等于，至少等于，但但成立，成立，=-=000)()(!)()(nnnzznzfzf42二、泰勒定理二、泰勒定理二、泰勒定理二、泰勒定理其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定理设设在区域在区域内解析内解析,为为 内的一内的一为为到到的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离,那末那末点点,时时,成立成立,当当 =-=00)()(kkkzzazfLL,2,1,0),(!10)(=kzfkakk43说明说明:1.1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多时弱得多;(;(想一想想一想,为什么为什

21、么?)4.4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.(为什么为什么?);,0.30级数称为麦克劳林级数级数称为麦克劳林级数时时当当=z;,)(.200zdzdDzf-=a aa a即即之间的距离之间的距离一个奇点一个奇点到最近到最近等于等于则则内有奇点内有奇点在在如果如果44因为解析，可以保证无限次可各因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性阶导数的连续性;所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多要比实变函数广阔的多.注意注意问题：问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数数

22、，展开式是否唯一？展开式是否唯一？45那末那末即即因此因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数泰勒级数,因而是唯一的因而是唯一的.L+-+-+=202010)()()(zzazzaazf,)(0L+-+kkzzaL,)(!10)(zfkakk=:)(0已被展开成幂级数已被展开成幂级数在在设设zzf46三、将函数展开成泰勒级数三、将函数展开成泰勒级数常用方法常用方法:直接法和间接法直接法和间接法.1.1.直接法直接法:由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数.)(0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函数zzf例如，例如，故有故有47仿照上例仿照上例

23、,482.2.间接展开法间接展开法:借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式,结合解结合解析函数的性质析函数的性质,幂级数运算性质幂级数运算性质(逐项求导逐项求导,积分等积分等)和其它数学技巧和其它数学技巧(代换等代换等),),求函数求函数的泰勒展开式的泰勒展开式.间接法的优点间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径,因而比因而比直接展开更为简洁直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛.49例如，例如，.0 sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在利用间接展开法求利用间接展开法求=zz50附附:常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式5152例例

24、1 1解解四、典型例题四、典型例题53上式两边逐项求导上式两边逐项求导,54例例2 2分析分析如图如图,-1OR=1xy55即即 将展开式两端沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积分,得得解解56例例3 3 解解57例例4 4 解解58例例5 5解解59例例6 6解解即微分方程即微分方程对微分方程逐次求导得对微分方程逐次求导得:60613.4 3.4 3.4 3.4 解析延拓解析延拓解析延拓解析延拓例：例：和和解析延拓解析延拓：将解析函数定义域加以扩大将解析函数定义域加以扩大概念概念：若若f1(z)和和f2(z)分别在分别在D1,D2内解析，且在内解析，且在D1与与D2重叠的重叠的区域中有区域中

25、有f1(z)=f2(z)，则称则称f2(z)为为f1(z)在在D2中的解析延拓中的解析延拓，f1(z)为为f2(z)在在D1中的解析延拓中的解析延拓。同一个解析函数在不同区域内同一个解析函数在不同区域内有不同的表达式，如例子有不同的表达式，如例子62 问题：已知问题：已知 f(z)在在 b b 中解中解析，是否存在析，是否存在 F(z)在在 B 中解析中解析b B ，且在，且在 b 中中 F(z)=f(z)。这个过程叫这个过程叫解析延拓解析延拓。解析延拓的方法解析延拓的方法 在在 b 中取点中取点z0，又取，又取z0 的一个邻域，将的一个邻域，将 f(z)展开为泰勒展开为泰勒级数。如果这个级数

26、的收敛圆的一部分超出区域级数。如果这个级数的收敛圆的一部分超出区域 b 进入区域进入区域 B 则此函数的解析区域得以扩大。逐步使用这种方法，可以则此函数的解析区域得以扩大。逐步使用这种方法，可以逐渐将函数解析延拓。逐渐将函数解析延拓。可以证明，无论采用何种方法，函数可以证明，无论采用何种方法，函数 f(z)的解析延拓是的解析延拓是唯一唯一的。这样，可以采用某些最方便的方法来进行解析延拓。的。这样，可以采用某些最方便的方法来进行解析延拓。证明：利用解析函数零点的孤立性证明：利用解析函数零点的孤立性63含参量积分：含参量积分：称为称为格马格马(Gamma)函数函数（写作（写作函数）函数）.它们在应

27、用中经常出现，统称为欧拉积分，它们在应用中经常出现，统称为欧拉积分，称为称为贝塔贝塔(Beta)函数函数（写作（写作B函数）函数）.下面分别讨论这两个函数的性质下面分别讨论这两个函数的性质.3.4.1 3.4.1 函数与函数与函数函数641.1.积分区间为无穷积分区间为无穷;函数函数特点特点:函数函数2.2.当当 s-1 0 时，时，x=0 为瑕点为瑕点;写写函数为如下两个积分之和：函数为如下两个积分之和：其中其中当当 s 1 时，为正常积分，当时，为正常积分，当 0 s 0 时收敛时收敛.所以所以函数函数在在 s 0 时收敛时收敛.即即函数的定义域为函数的定义域为 s 0 1.函数在定义域函

28、数在定义域 s 0 内连续且可导内连续且可导2.递推公式递推公式3.函数图象的讨论函数图象的讨论函数的性质函数的性质664.延拓延拓5.的其他形式的其他形式令令 x=y2,有有令令 x=py,就有就有67函数函数当当 p 1 时，时，I(p,q)为正常积分，当为正常积分，当 0 p 1时收敛时收敛.当当 q 1 时，时，J(p,q)为正常积分，当为正常积分，当 0 q 0,q 0 时时,B(p,q)收敛收敛.即即B(p,q)函数的定义域为函数的定义域为 p 0,q 0681.B(p,q)在定义域在定义域 p 0,q 0 内连续内连续2.对称性：对称性：B(p,q)=B(q,p)3.递推公式递推

29、公式 B(p,q)函数的性质函数的性质694.B(p,q)的其他形式的其他形式令令则有则有令令则有则有令令则有则有函数与函数与函数之间的关系函数之间的关系70例例计算计算解解7172例例计算计算解解7374一、问题的引入问题问题:负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛3.5 3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开kkkzza)(.10-=双边幂级数双边幂级数=-=-=kkkkzza)(0kkkkkkzzazza)()(0001-+-=-=-75收敛半径收敛半径收敛域收敛域收敛半径收敛半径收敛域收敛域两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,两收敛

30、域有公共部分两收敛域有公共部分Rkkkzza-=-)(01kkkzza)(00-=kkkaz z =-176结论结论:.常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域:.的收敛区域为的收敛区域为双边幂级数双边幂级数kkkzza)(0-=77例如，例如，都不解析都不解析,但在圆环域但在圆环域及及内都是解析的内都是解析的.2.问题问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数成级数?而而1,1112+=-zzzzzkLL78所以所以即即内可以展开成级数内可以展开成级数.也可以展开成级数：也可以展开成级数：,121LL+=-kzzzz LL+-+-+-+-=kzzzz)1()1(

31、)1(1112.)1()1()1(1)1(121L+-+-+-+-=-kzzzz79二、洛朗级数定理定理C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线.,)()(0kkkzzazf-=-=为洛朗系数为洛朗系数.+-=Ckkzfiaz zz zz zd)()(21 10其中其中80B证证对于第一个积分对于第一个积分:Rr.z.=-=00001kkzzzzz zz z,)()(0100 =+-=kkkzzzz z81对于第二个积分对于第二个积分:z zz zz zd)(21R2-Czfi所以所以kkkzza)(00-=kkKkzzzfi-=+-=)(d)()(2101101z

32、 zz zz z82其中其中z zz zz zd)(21R1-Czfi则则 =-=1010)()(kkkzzzz z,)()(10110kkkzzz-=+-=z z)()(d)()(21011101zRzzzfiNkNkKk+-=-=+-z zz zz zz zz zz zd)()()(211010 -=-KNkkkzzfzi83下面证明下面证明)()(的连续性决定的连续性决定由由因为因为又又zfMf z zrqrMkNkp p p p =22184则则z zz zz zd)(21 R1-Czfi于是于是,)(01kkkzzc-=-=85如果如果C为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条正向简

33、单的任何一条正向简单 证毕证毕 kkkkkkzzazza-=-=-+-=)()(0100.)(0kkkzza-=-=闭曲线闭曲线.则则可用一个式子表示为可用一个式子表示为:kkaa-与与86说明说明:函数函数在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数.1)2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，幂项的级数是唯一的，这就是这就是 f(z)的洛朗级数的洛朗级数.定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法的一般方法.kkkzzaz

34、f)()(0-=-=87三、函数的洛朗展开式常用方法常用方法:1.:1.直接法直接法 2.2.间接法间接法 1.直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数缺点缺点:计算往往很麻烦计算往往很麻烦.),2,1,0(d)()(2110L =-=+kzfiaCkkz zz zz z然后写出然后写出.)()(0kkkzzazf-=-=根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.优点优点:简捷简捷,快速快速.2.间接展开法间接展开法88四、典型例题例例1 1解解由定理知由定理知

35、:,)(kkkzazf -=其中其中z zz zz zd)()(2110+-=Ckkzfiaz zz zz zd213+=Ckei)2,1,0(,)0(:L =kzCr rr r89故由柯西故由柯西古萨基本定理知古萨基本定理知:由高阶导数公式知由高阶导数公式知:0=ka,2 时时当当-kz zz zz zd213+=Ckkeia022)(dd)!2(1=+=zzkkezk)!2(1+=k -=+=2)!2()(kkkzzf故故,3 时时当当-k,2在圆环域内解析在圆环域内解析zez90另解另解本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心 z=0 既是各负幂项的奇点既是各负幂项的奇点,.2的奇点的奇点也

36、是函数也是函数zez91例例2 2 内是处处解析的内是处处解析的,试把试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解解:)2)(1(1)(在圆环域在圆环域函数函数-=zzzf ,10 )1内内在在 z92oxy1=)(zf所以所以LL+=-nzzzz2111则则,1 z由于由于12 z从而从而9312oxy由由且仍有且仍有 ,21 )2内内在在 z942oxy由由此时此时,2 )3内内在在 z)(zf于是于是95仍有仍有,121 zz此时此时)(zf故故96注意注意:奇点但却不是函数奇点但却不是函数的奇点的奇点.本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项

37、的说明说明:1.函数函数在以在以为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有数中尽管含有的负幂项的负幂项,而且而且 又是这些又是这些项的奇点项的奇点,但是但是 可能是函数可能是函数的奇点的奇点,也可能也可能的奇点的奇点.不是不是972.给定了函数给定了函数与复平面内的一点与复平面内的一点以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式(包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).).回答：回答：不矛盾不矛盾.朗展开式是唯一的朗展开式是唯一的)问题：问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(

38、唯一性唯一性:指函数在某一个给定的圆环域内的洛指函数在某一个给定的圆环域内的洛98解解 例例399例例4 4解解 =-+-=011)2(2)1(kkkkz100例例5 5内的洛朗展开式内的洛朗展开式.解解 101102103 洛朗级数是一个双边幂级数洛朗级数是一个双边幂级数,其解析部分是其解析部分是一个普通幂级数一个普通幂级数;思考题答案思考题答案是一般与特殊的关系是一般与特殊的关系.洛朗级数的收敛区域是圆环域洛朗级数的收敛区域是圆环域洛朗级数与泰勒级数有何关系洛朗级数与泰勒级数有何关系?思考题思考题.级数了级数了洛朗级数就退化为泰勒洛朗级数就退化为泰勒1043.6 3.6 3.6 3.6 孤

39、立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类定义定义：若函数若函数f(z)在点在点z0处不解析处不解析（或没有定义）（或没有定义），但在点但在点z0的某个空心邻域的某个空心邻域 内解析内解析，则则称点称点z0为为f(z)的的孤立奇点孤立奇点。一、孤立奇点的概念例例1是函数是函数的孤立奇点的孤立奇点.是函数是函数的孤立奇点的孤立奇点.注意注意:孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤立奇点立奇点.105例例2 2 指出函数指出函数在点在点的奇点特性的奇点特性.解解即在即在的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在的奇点存在,函数的奇点为函

40、数的奇点为总有总有不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以，因为因为01lim=p p kk106 定义定义 设设z0是解析函数是解析函数f(z)的孤立奇点的孤立奇点，f(z)在在点点z0的某去心邻域的某去心邻域 内的罗朗展式为内的罗朗展式为 (1)(1)若展式中不含有若展式中不含有z z-z z0 0的负幂项，则称的负幂项，则称z0为为f(z)的的可去奇点可去奇点；(2)(2)若展式中只含有若展式中只含有z-z0的有限个负幂项的有限个负幂项(即存在即存在m0，使使a-m0，而当而当nm时时，a-n=0)，则称则称z0是是f(z)的的极极点点，称称m为极点为极点z0的阶，按照的阶，按照m=1或或m1

41、，称称z0是是f(z)的的单极点或单极点或m阶的极点阶的极点；(3)(3)若展式中含有若展式中含有z-z0的无穷多个负幂项，则称的无穷多个负幂项，则称z0为为f(z)的的本性奇点本性奇点。二、孤立奇点的分类二、孤立奇点的分类107其和函数其和函数为在为在解析的函数解析的函数.说明说明:(1)(2)无论无论在在是否有定义是否有定义,补充定义补充定义则函数则函数在在解析解析.1可去奇点可去奇点如果洛朗级数中不含如果洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项,那末孤立奇点那末孤立奇点 称为称为 的可去奇点的可去奇点.1)定义定义,)(0的孤立奇点的孤立奇点若是若是zfz.)()()(0010LL+-+-+=k

42、kzzazzaazf,)(00azf=000,)()(zzazzzFzf108 2)可去奇点的判定可去奇点的判定(1)由定义判断由定义判断:的洛朗级数无负的洛朗级数无负在在如果如果幂项则幂项则为为的可去奇点的可去奇点.(2)判断极限判断极限若极限存在且为有限值若极限存在且为有限值,则则为为的可去奇点的可去奇点.如果补充定义如果补充定义:时时,那末那末在在解析解析.例例3 中不含负幂项中不含负幂项,是是的可去奇点的可去奇点.109例例4 说明说明为为的可去奇点的可去奇点.解解 所以所以为为的可去奇点的可去奇点.无负幂项无负幂项另解另解 的可去奇点的可去奇点.为为1102.极点极点 其中关于其中关

43、于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点.那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成1)定义定义 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的负幂项负幂项,1012020)()()()(-+-+-=zzazzazzazfmmLL+-+)(010zzaa)0,1(-mam111说明说明:1.2.特点特点:(1)(2)的极点的极点,则则为函数为函数如果如果例例5 有理分式函数有理分式函数是二级极点是二级极点,是一级极点是一级极点.L+-+-+=+-+-20201)()()(zzazzaazgmmm1122)极点的判定方法极点的判定方法的负幂项为有的负幂项为有的洛朗展开式中含

44、有的洛朗展开式中含有限项限项.在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析,且且 (1)由定义判别由定义判别(2)由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别(3)利用极限利用极限判断判断.113本性奇点3.如果洛朗级数中如果洛朗级数中含有无穷多个含有无穷多个那末孤立奇点那末孤立奇点称为称为的本性奇点的本性奇点.的负幂项的负幂项,例如，例如，含有无穷多个含有无穷多个z的负幂项的负幂项 特点特点:在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内不存在且不不存在且不为为同时同时不存在不存在.114综上所述综上所述综上所述综上所述:孤立奇点孤立奇点可去奇点可去奇点m级极点级极点本性

45、奇点本性奇点洛朗级数特点洛朗级数特点存在且为存在且为有限值有限值不存在不存在且不为且不为无负幂项无负幂项含无穷多个负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项含有限个负幂项关于关于的最高幂的最高幂为为115三、函数在无穷远点的性态1.定义定义 如果函数如果函数在无穷远点在无穷远点的去心的去心邻域邻域内解析内解析,则称点则称点为为的孤的孤立奇点立奇点.Rxyo116令变换令变换规定此变换将规定此变换将:映射为映射为扩充扩充 z 平面平面扩充扩充 t 平面平面映射为映射为映射为映射为映射为映射为117结论结论:在去心邻域在去心邻域内对函数内对函数的研究的研究在去心邻域在去心邻域内对函数内对函数的研究的研究

46、因为因为 在去心邻域在去心邻域内是解析的内是解析的,所以所以是是的孤立奇点的孤立奇点.规定规定:m级奇点或本性奇点级奇点或本性奇点.的可去奇点的可去奇点、m级奇点或级奇点或本性奇点本性奇点,如果如果 t=0 是是是是的可去奇点、的可去奇点、那末就称点那末就称点1181)不含正幂项不含正幂项;2)含有有限多的正幂项且含有有限多的正幂项且为最高正幂为最高正幂;3)含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项;那末那末是是的的 1)可去奇点可去奇点;2)m 级极点级极点;3)本性奇点本性奇点.判别法判别法1(利用洛朗级数的特点利用洛朗级数的特点)2.判别方法判别方法:在在内的洛朗级数中内的洛朗级数中:如果如

47、果119例例6 (1)函数函数在圆环域在圆环域内的洛朗展开式为内的洛朗展开式为:不含正幂项不含正幂项所以所以是是的可去奇点的可去奇点.(2)函数函数含有正幂项且含有正幂项且 z 为最高正为最高正幂项幂项,所以所以是是的的 m级极点级极点.120(3)函数函数的展开式的展开式:含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项所以所以是是的本性奇点的本性奇点.121判别法判别法2:(利用极限特点利用极限特点)如果极限如果极限1)存在且为有限值存在且为有限值;2)无穷大无穷大;3)不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大;那末那末是是的的1)可去奇点可去奇点;2)m级极点级极点;3)本性奇点本性奇点.122例例7 函数函数在扩充复平面内在扩充复平面内有些什么类型的奇点有些什么类型的奇点?如果是极点如果是极点,指出它的级指出它的级.解解 函数函数除点除点外外,所以这些点都是所以这些点都是的一级零点的一级零点,故这些点中除故这些点中除1,-1,2外外,都是都是的三级极点的三级极点.内解析内解析.在在.,2,1,0cos)(sin处均不为零处均不为零在在因因L =p p=p pzzz123所以所以那末那末是是的可去奇点的可去奇点.因为因为124不是不是的孤立奇点的孤立奇点.所以所以125