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1、协方差与相关系数第1页，本讲稿共16页 3.协方差计算公式协方差计算公式Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)（1）若）若 X与与Y独立独立,则则Cov(X,Y)=0注注（2）D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)4.协方差的性质协方差的性质（1）Cov(X,Y)=Cov(Y,X)（2）Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b 为常数为常数 （3）Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)（4）当）当X与与Y相互独立时，有相互独立时，有Cov(X,Y)=0第2页，本讲稿共16页 例例1 设二维随机变量的联合分布律为设二维随机变量的联合分布律为 X
2、 Y010q010pX01Pqp其中其中p+q=1，求相关系数，求相关系数 XY 解解 由由(X,Y)的联合分布律，可得的联合分布律，可得X与与Y的边缘分布律为的边缘分布律为Y01Pqp均为均为0-1分布，于是有分布，于是有所以所以第3页，本讲稿共16页求求 解解 因为因为同理可得同理可得 例例2 2设二维设二维（X X，Y Y）随机变量的密度函数为随机变量的密度函数为第4页，本讲稿共16页 由协方差的性质由协方差的性质(2)知知,协方差取值的大小要受到量纲协方差取值的大小要受到量纲的影响的影响,为了消除量纲对协方差值的影响为了消除量纲对协方差值的影响,我们把我们把X,Y标准化标准化后再求协方
3、差后再求协方差第5页，本讲稿共16页 1.定义定义 对于随机变量对于随机变量X和和Y,若若D(X),D(Y),则称则称为随机变量为随机变量X和和Y的的相关系数相关系数（标准协方差）（标准协方差）。当当XY=0时时,称称X与与Y不相关不相关。（1）|XY|1；（2）|XY|=1当且仅当当且仅当 PY=aX+b=1,其中其中a,b为常数。为常数。相关系数相关系数XY刻划了随机变量刻划了随机变量X和和Y的线性相关程度。的线性相关程度。4.3.1 相关系数（标准协方差）相关系数（标准协方差）.性质性质第6页，本讲稿共16页 证明证明（1）即即 (2)由方差性质得由方差性质得成立的充分必要条件为成立的充
4、分必要条件为第7页，本讲稿共16页而而第8页，本讲稿共16页的充要条件是的充要条件是即即从而从而且第9页，本讲稿共16页于是由于是由:得得这说明这说明X与与Y是不相关的是不相关的,但但显然，显然，X与与Y是不相互独立的是不相互独立的 例例3 若若XN(0,1),Y=X2,问问X与与Y是否不相关？是否不相关？解解 因为因为XN(0,1),密度函数密度函数为偶函数为偶函数,所以所以第10页，本讲稿共16页 解解 X，Y的联合密度的联合密度f(x,y)及边缘密度及边缘密度 fX(x),fY(y)如下：如下：从而说明二维正态分布随机变量从而说明二维正态分布随机变量X、Y相互独立相互独立 =0，即即X、
5、Y相互独立与不相关是等价的。相互独立与不相关是等价的。例例4 设设(X,Y)服从二维正态分布，求服从二维正态分布，求X,Y的相关系数。的相关系数。第11页，本讲稿共16页1.1.将一枚不均匀硬币投掷将一枚不均匀硬币投掷n次，以次，以和和分别表示出现正面和反分别表示出现正面和反面的次数，则面的次数，则和和的相关系数为的相关系数为（）；（）；（）；（）；（）（）；(D)1。2.2.设随机变量设随机变量和和独立同分布，记独立同分布，记U=X+Y,V=X-Y,则则和和 （）不独立；（）不独立；（）独立；（）独立；（）相关系数为；（）相关系数为；（D）相关系数不为。）相关系数不为。3.3.设设是随机变量
6、，是随机变量，=aX+b(a),证明证明：.设随机变量设随机变量的概率密度为的概率密度为求求与与|X|的协方差，问的协方差，问和和|X|是否不相关，是否相互独立是否不相关，是否相互独立练练 习习 题题第12页，本讲稿共16页选例选例1求求XY解解 E(X)=2 ,E(Y)=2；E(X2)=9/2,E(Y2)=9/2；D(X)=1/2,D(Y)=1/2。E(XY)=Cov(X,Y)=23/6 4=-1/6;Y 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0X1/41/21/4第13页，本讲稿共16页 选例选例2 设随机变量设随机变量X的方差的方差D(X)且且 Y=aX+b(a),求求X和和Y的相关系数的相关系数XY解解第14页，本讲稿共16页证明证明(1)因为因为同样同样 E(Y)=0于是于是XY=0，所以，所以 X与与Y不相关。不相关。选例选例3 已知（已知（X,Y）的概率密度如下，试证）的概率密度如下，试证X与与Y既不相关，既不相关，也不相互独立。也不相互独立。第15页，本讲稿共16页显然，显然，fX(x)fY(y)f(x,y)，因此，因此，X与与Y不相互独立。不相互独立。(2)选例选例3 已知（已知（X,Y）的概率密度如下，试证）的概率密度如下，试证X与与Y既不相关，既不相关，也不相互独立。也不相互独立。第16页，本讲稿共16页