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1、 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X 与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述X 和Y 之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的协方差和相关系数第三节 协方差及相关系数教学内容 协方差及相关系数教学重点 协方差及相关系数的计算 量E X-E(X)Y-E(Y)称为随机变量X和Y 的协方差,记为Cov(X,Y)，即 Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)一、协方差2.简单性质 Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y)a,b 是常数Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y)1.定义 Cov
2、(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可见，若X 与 Y 独立，Cov(X,Y)=0.3.计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.随机变量和的方差与协方差的关系特别地 协方差的大小在一定程度上反映了X 和Y 相互间的关系，但它还受X 与Y 本身度量单位的影响.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数.二、相关系数为随
3、机变量 X 和 Y 的相关系数.定义:设D(X)0,D(Y)0,称在不致引起混淆时，记 为.考虑以X 的线性函数a+bX 来近似表示Y，以均方误差e=EY-(a+bX)2来衡量以 a+b X 近似表示Y 的好坏程度:e 值越小表示 a+b X 与 Y 的近似程度越好.用微积分中求极值的方法，求出使e 达到最小时的 a,b相关系数刻划了X 和Y 间“线性相关”的紧密程度的量.=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)e=EY-(a+bX)2 解得这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X 这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X这一逼近的剩余是若0|1,|
4、的值越接近于1,Y 与 X 的线性相关程度越高;|的值越接近于0,Y 与X 的线性相关程度越弱.E(Y-L(X)2=D(Y)(1-)方差的非负性Y 与X 有严格线性关系;若可见,，Cov(X,|Y)=0，事实上，X 的密度函数例1 设X 服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而Y=cos X,不难求得3 若=0，Y 与 X 无线性关系;X 与Y 之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。即X 和Y 不相关.但Y 与X 有严格的函数关系.3 不相关与独立性若 X 与 Y 独立，则X 与Y 不相关，但由X 与Y 不相关，不一定能推出X 与Y 独立.但对下述情形，独立与不相关等价若(X,Y)服从二维正态分布，则X 与Y 独立 X 与Y 不相关X，Y 独立=0 X，Y 不相关。X 与Y 以概率1 存在线性关系四、小结 这一节我们介绍了协方差、相关系数、相关系数是刻划两个变量间线性相关程度的一个重要的数字特征.注意独立与不相关并不是等价的.当(X,Y)服从二维正态分布时，有X 与 Y 独立 X 与 Y 不相关