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1、一、协方差一、协方差二、相关系数二、相关系数4.3 协方差和相关系数协方差和相关系数1对于随机变量对于随机变量(X,Y)而言而言:E(X)、E(Y)反映分量反映分量X、Y各自的各自的平均值平均值 D(X)、D(Y)反映分量反映分量X、Y各自的各自的平均偏离程度平均偏离程度并未反映并未反映X、Y之间的相互关系之间的相互关系2定义定义:一、协方差一、协方差 称称EX E(X)Y E(Y)为为X与与Y 的的协方差协方差,记为记为Cov(X,Y),即即Cov(X,Y)=EX E(X)Y E(Y)3 若若X取值比较大取值比较大(XE(X),Y也较大也较大(YE(Y)若若X取值比较小取值比较小(XE(X)
2、,Y也较小也较小(Y0,这时这时Cov(X,Y)0,则则Cov(X,Y)0,D(Y)0,则称则称 为为X,Y的的相关系数相关系数或或标准协方差标准协方差,记为记为 XY,即即2.相关系数就是标准化的随机变量相关系数就是标准化的随机变量11相关系数的性质相关系数的性质:当且仅当当且仅当X与与Y之间有线性关系时之间有线性关系时,等号成立等号成立即即|XY|=1a,b,使使PY=aX+b=1说明说明:XY刻刻划划X,Y之间的线性相关程度之间的线性相关程度|XY|1,则则X,Y越接近线性关系越接近线性关系|XY|=1,则则X,Y存在线性关系存在线性关系|XY|1 当当 XY=0时时,称称X与与Y不相关不相关,则则X,Y没没有线性关系有线性关系12注注:不相关与相互独立不相关与相互独立:X与与Y独立独立Cov(X,Y)=0 XY=0 X与与Y不相关不相关但反之不成立但反之不成立 若若(X,Y)正态分布正态分布,则则X与与Y不相不相关关等价于等价于X,Y相互独立相互独立 XY=13例例1 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为求求Cov(X,Y)、XY解解:同理同理,得得:14有有:Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)同理同理,得得:D(X)=E(X2)E2(X)15同理同理,得得:有有:16