《2019版高中数学 第三章 柯西不等式与排序不等式测评 新人教A版选修4-5.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高中数学 第三章 柯西不等式与排序不等式测评 新人教A版选修4-5.doc（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1第三讲第三讲 柯西不等式与排序不等式柯西不等式与排序不等式测评测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1 1.下列不等式中一定成立的是( )A.(ax+by)2(a2+b2)(x2+y2)B.|ax+by|2+ 22+ 2C.(a2+b2)(x2+y2)(ay+bx)2D.(a2+b2)(x2+y2)(ab+xy)2解析由柯西不等式可知,只有 C 项正确.答案 C2 2.设xy0,则的最小值为( )(2+42)(2+12)A.-9B.9C.10D.0解析=9.2+(2)2(1 )2+ 2(1 +2 )2(当且仅当 =2 时,
2、等号成立)答案 B3 3.设a1a2an,b1b2bn为两组实数,c1,c2,cn是b1,b2,bn的任一排列,则和S=a1bn+a2bn-1+anb1,T=a1c1+a2c2+ancn,K=a1b1+a2b2+anbn的关系是( )A.STKB.KTSC.TKSD.KST解析根据排序不等式知反序和乱序和顺序和,则STK.2答案 A4 4.若 3x+2y+z=,则x2+y2+z2的最小值是( )7A.B.C.D.21 27 147 6解析由柯西不等式可得(32+22+12)(x2+y2+z2)(3x+2y+z)2,即 14(x2+y2+z2)()2=7,于是7x2+y2+z2 ,当且仅当=z,
3、即x=,y=,z=时,等号成立,故x2+y2+z2的最小值是.1 2 3= 23 7 147 77 141 2答案 A5 5.用柯西不等式求函数y=的最大值为( )2 - 3 + 2 + 7 - 3A.B.3C.4D.522解析由柯西不等式,得函数y=4,2 - 3 + 2 + 7 - 3 12+ ( 2)2+ 12 (2 - 3) + + (7 - 3)当且仅当时,等号成立,2 - 3 1=2=7 - 3 1故函数y的最大值为 4.故选 C.答案 C6 6.已知=1(ab0),设A=a2+b2,B=(x+y)2,则A,B间的大小关系为( )22+22A.ABC.ABD.AB解析A=a2+b2
4、=1(a2+b2)=(a2+b2)=(x+y)2=B,即AB,当且仅当时,(22+22)( + )2 = 等号成立.答案 D7 7.已知a0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是( )A.MNB.MNC.MND.MN.答案 B8 8.已知x,y,z是正实数,且=1,则x+的最小值是( )1 +2 +3 2+ 3A.5B.6C.8D.9解析由柯西不等式可得x+ 2+ 3=( + 2+ 3)(1 +2 +3 )=9,(1 + 22 + 33 )2当且仅当x=3,y=6,z=9 时,等号成立,故x+的最小值是 9.
5、2+ 3答案 D9 9.已知a,b是给定的正数,则的最小值为( )422+22A.2a2+b2B.2abC.(2a+b)2D.4ab解析=(sin2+cos2)422+22(422+22)=(2a+b)2,(2 + )2当且仅当 sin =cos 时,等号成立. 2 故的最小值为(2a+b)2.422+224答案 C1010.已知正数x,y,z满足x+2y+3z=1,则的最小值为( )1 + 2+4 2 + 3+9 3 + A.1B.9C.36D.18解析由柯西不等式可得(x+2y+2y+3z+3z+x)(1+2+3)2,(1 + 2+4 2 + 3+9 3 + )x+2y+3z=1,236,
6、(1 + 2+4 2 + 3+9 3 + )18,1 + 2+4 2 + 3+9 3 + 当且仅当x+2y=,即x=,y=0,z=时,的最小2 + 3 2=3 + 31 32 91 + 2+4 2 + 3+9 3 + 值为 18.答案 D1111.在锐角三角形ABC中,设p=,q=acos C+bcos B+ccos A,则p,q的大小关系是( ) + + 2A.pqB.p=qC.pqD.无法确定解析不妨设ABC,则abc,cos Acos Bcos C.则由排序不等式可得q=acos C+bcos B+ccos Aacos B+bcos C+ccos A,acos C+bcos B+ccos
7、 Aacos C+bcos A+ccos B,由+得 2(acos C+bcos B+ccos A)acos B+bcos A+bcos C+ccos B+ccos A+acos C,即 2(acos C+bcos B+ccos A)2R(sin Acos B+cos Asin B)+2R(sin Bcos C+cos Bsin C)+2R(sin Ccos A+cos Csin A),整理,得acos C+bcos B+ccos ARsin(A+B)+sin(B+C)+sin(C+A)5=R(sin A+sin B+sin C)=p.2 + 2 + 2 2= + + 2答案 C1212.导学
8、号 26394060 设P为ABC内一点,D,E,F分别为P到BC,CA,AB所引垂线的垂足,如图.若ABC的周长为l,面积为S,则的最小值为( ) + + A.B.C.D.2 22 2 422 解析设AB=a1,AC=a2,BC=a3,PF=b1,PE=b2,PD=b3,则a1b1+a2b2+a3b3=2S.(a3b3+a2b2+a1b1)=(a3+a2+a1)2=l2,(33+22+11)(3333+2222+1111)2,当且仅当b1=b2=b3,即PE=PF=PD时,等号成立.33+22+112 2答案 A二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)1313.若=2,
9、=3,则x1y1+x2y2+x3y3的最大值为 . 21+ 2 2+ 2 321+ 2 2+ 2 3解析由柯西不等式可得()()(x1y1+x2y2+x3y3)2,即(x1y1+x2y2+x3y3)26,所21+ 2 2+ 2 321+ 2 2+ 2 3以x1y1+x2y2+x3y3,故x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.66答案61414.若a,b,c0,则 a+b+c. + + 6解析不妨设abc0,则abacbc0,0,则由排序不等式可得1 1 1 ab+ac+bc=a+b+c(当且仅当a=b=c时,等号成立). + + 1 1 1 答案1515.设正实数a1,a2,a100的任意一
10、个排列为b1,b2,b100,则+的最小值为 .11+22100100解析不妨设 00,所以st.答案st三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)1717.(本小题满分 10 分)已知a0,b0,a+b=1,求证2.2 + 1 + 2 + 127证明由柯西不等式可得()2=(1+1)2()2+()22 + 1 + 2 + 12 + 12 + 12 + 12 + 1(12+12),因此()22(2a+2b+2)=8,2 + 1 + 2 + 1故2当且仅当a=b=时,等号成立.2 + 1 + 2 + 12( ?1 2?)1818.(本小题满分 12 分)已知a,b,c都是非零实数,求证a2+
11、b2+c2.42+42+42证明由柯西不等式可得(b2+c2+a2)(42+42+42)=(b2+c2+a2)(2 )2+(2 )2+(2 )2=(a2+b2+c2)2,(2 +2 +2 )2又因为a2+b2+c20,所以a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时,等号成立).42+42+421919.(本小题满分 12 分)设x2+4y2=1,求u=2x+y的最值以及取得最值时,实数x,y的值.解u=2x+y=2x+2y.1 2由柯西不等式可得x2+(2y)222+(12)2,(2 +1 22)2即(2x+y)21,17 48所以u2,故-u,当且仅当 4y= x,且x2+4y2=1 时,等号成
12、立,解得17 417 217 21 2x=,y=.4 17 1717 34所以u的最大值是,此时x=,y=;17 24 17 1717 34u的最小值是-,此时x=-,y=-.17 24 17 1717 342020.(本小题满分 12 分)设a,b,c(0,+),利用排序不等式证明a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.证明不妨设abc0,则 lg alg blg c,由排序不等式可得alg a+blg b+clg cblg a+clg b+alg c,alg a+blg b+clg cclg a+alg b+blg c,以上两式相加可得 2alg a+2blg b+2clg c(b+c
13、)lg a+(a+c)lg b+(a+b)lg c,即 lg a2a+lg b2b+lg c2clg ab+c+lg ba+c+lg ca+b,lg(a2ab2bc2c)lg(ab+cba+cca+b),故a2ab2bc2cab+cbc+aca+b(当且仅当a=b=c时,等号成立).2121.导学号 26394061(本小题满分 12 分)已知a0,b0,c0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为 4.(1)求a+b+c的值;(2)求a2+ b2+c2的最小值.1 41 9解(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当-a
14、xb时,等号成立.又a0,b0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c.又已知f(x)的最小值为 4,所以a+b+c=4.9(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式,得(4+9+1)(1 42+1 92+ 2)=(a+b+c)2=16,( 2 2 + 3 3 + 1)2即a2+ b2+c2.1 41 98 7当且仅当,即a=,b=,c=时等号成立.故a2+ b2+c2的最小值为.1 2 2=1 3 3= 18 718 72 71 41 98 72222.导学号 26394062(本小题满分 12 分)如图,等腰直角三角形AOB的直角边长为 1,在此三角形中任取点P,过P分
15、别引三边的平行线,与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分),求这三个三角形的面积和的最小值,以及达到最小值时P的位置.解分别取OA,OB所在的直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.则AB的方程为x+y=1,记点P坐标为P(xP,yP),则以P为公共顶点的三个三角形的面积和S=(1-xP-yP)2,1 22 +1 22 +1 2所以 2S=+(1-xP-yP)2.2+ 2 由柯西不等式,得+(1-xP-yP)2(12+12+12)(xP+yP+1-xP-yP)2,2+ 2 10即 6S1,所以S ,当且仅当,即xP=yP=时,等号成立.1 61=1=1 - - 11 3故当xP=yP=时,面积和S最小,且最小值为 ,1 31 6此时点P坐标为.(1 3,1 3)