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1、小学 +初中 +高中小学 +初中 +高中第三讲 柯西不等式与排序不等式专题检测试卷( 三) ( 时间： 90 分钟满分： 120 分) 一、选择题 ( 本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分) 1设a1a2a3an，b1b2b3bn为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为( ) A反序和乱序和顺序和B反序和乱序和顺序和C反序和乱序和顺序和D反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定答案C 2已知m2n22，t2s28，则 |mtns| 的最大值为 ( ) A2 B4 C8 D16 答案B 解析(m2n2)(t2s2) (mtns)2，(mtns)228 16，|mtns|
2、 4.当且仅当msnt时，等号成立3已知a，b，c为正数，则 (abc)1ab1c的最小值为 ( ) A1B.3C3D 4 小学 +初中 +高中小学 +初中 +高中答案D 解析(abc)1ab1c(ab)2(c)21ab21c2ab1abc1c222 4，当且仅当abc时取等号4设a，b，c为正数，ab 4c1，则ab2c的最大值是 ( ) A.5B.3C23D.32答案B 解析1ab 4c(a)2(b)2(2c)213(a)2(b)2 (2c)2 (121212) (ab2c)213，(ab2c)23，即当且仅当ab4c时等号成立5函数f(x) 1cos2xcosx，则f(x) 的最大值是
3、( ) A.3B.2C1D2 答案A 解析由f(x)1cos2xcosx，得f(x) 2sin2xcosx21 sin2xcos2x3. 当且仅当cosx33时取等号 . 小学 +初中 +高中小学 +初中 +高中6设a，b，c均为实数，则abca22b23c2的最大值为 ( ) A.116B.666C.62D.116答案B 解析由 (a22b23c2) 11213a12b123c132，即(a22b23c2) 116(abc)2，abc2a22b23c2116. abca22b23c2666. 7已知a，b，x1，x2R，ab 1，x1x22，则M(ax1bx2)(bx1ax2) 与 4 的大
4、小关系是( ) AM4BM 4C M4D M4答案C 解析(ax1bx2)(bx1ax2) (ax1)2(bx2)2 (bx1)2(ax2)2 ab(x1x2)2(x1x2)24. 8已知xyz 1，则 2x23y2z2的最小值为 ( ) A.211B.311C.511D.611答案D 解析(2x23y2z2) 12131 (xyz)21，小学 +初中 +高中小学 +初中 +高中2x23y2z2611. 当且仅当2x123y13z1时，等号成立二、填空题 ( 本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分) 9函数y5x1102x的最大值为 _答案63 解析由柯西不等式，得y5x125x522x
5、15x272 63，当且仅当55x2x1 ，即x12727时，等号成立10如图，在矩形OPAQ中，a1a2，b1b2，则阴影部分的矩形面积之和_空白部分的矩形面积之和答案解析由题图可知，阴影部分的面积等于a1b1a2b2，而空白部分的面积等于a1b2a2b1，根据顺序和反序和可知，答案为.11已知 0 x1,0 y1，则函数f(x) x2y21x2 1y2的最小值是 _答案2 解析由三角不等式，得x2y21x2 1y2小学 +初中 +高中小学 +初中 +高中xx 1 2 yy1 22. 当且仅当x 1x，y1y，即x12，y12时，等号成立故f(x) 的最小值为2. 12设a( 2,1,2)，
6、|b| 6，则ab的最小值为 _，此时b_. 答案 18 (4， 2， 4) 解析根据柯西不等式的向量形成，有|ab| |a|b| ，|ab| 2212226 18. 当且仅当存在实数k，使akb时，等号成立18ab18.ab的最小值为18，此时b 2a(4 ， 2， 4)三、解答题 ( 本大题共6 小题，每小题10 分，共 60 分) 13设a，b，c是正实数，且abc9，求2a2b2c的最小值解(abc)2a2b2c(a)2(b)2(c)2 2a22b22c2a2ab2bc2c218，当且仅当abc3 时等号成立2a2b2c2，2a2b2c的最小值为2. 14(2017江苏 ) 已知a，b
7、，c，d为实数，且a2b24，c2d216，证明：acbd8.证明由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2) ，因为a2b2 4，c2d216，小学 +初中 +高中小学 +初中 +高中所以 (acbd)264，因此acbd8.15已知二次三项式f(x) ax2bxc的所有系数均为正数，且abc1，求证：对于任何正数x1，x2，当x1x21 时，必有f(x1)f(x2) 1.证明f(x1)f(x2) (ax21bx1c) (ax22bx2c) a(x1x2)2b x1x2c2f2(x1x2) f2(1) 1. 故f(x1)f(x2) 1.16已知x22y23z21817，求 3x2y
8、z的最小值解(x22y2 3z2) 32221323x2y23z132 (3x 2yz)2，(3z2yz)2(x2 2y23z2) 322213212， 233x2yz2 3，当且仅当x29y281z2，即x9317，y3317，z317时取“”3x2yz的最小值为 23. 17求三个实数x，y，z，使得它们同时满足下列方程：2x3yz13,4x29y2z2 2x15y3z82. 解将两个方程相加，得(2x)2(3y 3)2(z 2)2108，又第一个方程可变形为2x(3y3) (z2) 18，小学 +初中 +高中小学 +初中 +高中由及柯西不等式，得(2x)2(3y3)2(z2)2132x(3y3)(z2)2，即 10813182108，即柯西不等式中的等号成立所以 2x3y3z26，故x3，y1，z4. 18设x，y，zR，且x216y25z241，求xyz的取值范围解由柯西不等式，得42 (5)222 x42y52z224x45y52z22(xyz)2，即 251(xyz)2. |xyz| 5， 5xyz5.xyz的取值范围是 5,5