《高中数学人教A版选修4精品学案第三章《柯西不等式与排序不等式》17532.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A版选修4精品学案第三章《柯西不等式与排序不等式》17532.pdf（51页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高中数学人教 A版选修 4精品学案第三章 一 二维形式的柯西不等式 1认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义(难点)2通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题(重点)基础初探 教材整理 二维形式的柯西不等式 内容 等号成立的条件代数形式 若 a，b，c，d 都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2 当且仅当 adbc 时，等号成立向量形式 设 ，是 两 个 向 量，则|当且仅当 是零向量，或存在实数 k，使 k 时，等号成立三角形式 设 x1，y1，x2，y2R，那么 x21y21x22y22 x1x22y1y22 当且仅当 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三
2、点共线且 P1，P2在点 O两旁时，等号成立 已知 xy1，那么 2x23y2的最小值是()A.56 B.65 C.2536 D.3625【解析】2x23y2(2x23y2)121365652x22 3y33265(xy)265.【答案】B 小组合作型 二维柯西不等式的向量形式及应用 已知 p，q 均为正数，且 p3q32.求证：pq2.【精彩点拨】为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量【自主解答】设 mp32，q32，n(p12，q12)，则p2q2p32p12q32q12|mn|m|n|p3q3pq 2pq.又(pq)22(p2q2)，pq22p2q2 2pq，pq22 2pq，
3、则(pq)48(pq)又 pq0，(pq)38，故 pq2.使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量同时，要注意向量模的计算公式|a|x2y2对数学式子变形的影响 再练一题 1若本例的条件中，把“p3q32”改为“p2q22”，试判断结论是否仍然成立？【解】设 m(p，q)，n(1,1)，则 pqp1q1|mn|m|n|p2q21212.又 p2q22.pq 222.故仍有结论 pq2 成立.运用柯西不等式求最值 若 2x3y1，求 4x29y2的最小值【精彩点拨】由 2x3y1 以及 4x29y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(1212)作为一个因式而解决问题【
4、自主解答】由柯西不等式得(4x29y2)(1212)(2x3y)21.4x29y212，当且仅当 2x13y1，即 x14，y16时取等号4x29y2的最小值为12.1利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果 2常用的配凑的技巧有：巧拆常数；重新安排某些项的次序；适当添项；适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的 再练一题 2若 3x4y2，试求 x2y2的最小值及最小值点.【解】由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，得 25(x2y2)4.所以 x2y2425，当 且 仅 当x3y4时，“”成 立 为 求 最 小 值 点，需 解
5、方 程 组 3x4y2，x3y4，x625，y825.因此，当 x625，y825时，x2y2取得最小值，最小值为425，最小值点为625，825.探究共研型 二维柯西不等式代数形式的应用探究 在二维形式的柯西不等式中，取等号的条件可以写成abcd吗？【提示】不可以当 bd0 时，柯西不等式成立，但abcd不成立 已知|3x4y|5，求证：x2y21.【精彩点拨】探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明【自主解答】由柯西不等式可知(x2y2)(3242)(3x4y)2，所以(x2y2)3x4y23242.又因为|3x4y|5，所以3x4y232421，即 x2y21.1利
6、用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形 2变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口 再练一题 3设 a，bR且 ab2.求证：a22ab22b2.【证明】根据柯西不等式，有(2a)(2b)a22ab22b(2a)2(2b)2a2a2b2b22aa2a2bb2b2(ab)24.a22ab22b42a2b2，当且仅当2ab2b2ba2a，即 ab1 时等号成立a22ab22b2.练习：1设 x，yR，且 2x3y13，则 x2y2的
7、最小值为()A.13 B169 C13 D.0【解析】(2x3y)2(2232)(x2y2)，x2y213.【答案】C 2已知 a，bR，且 ab1，则(4a1 4b1)2的最大值是()A2 6 B.6 C6 D.12【解析】(4a14b1)2(14a114b1)2(1212)(4a14b1)24(ab)22(412)12，当且仅当4b14a1，即 ab12时等号成立故选 D.【答案】D 3平面向量 a，b 中，若 a(4，3)，|b|1，且 ab5，则向量 b_.【解析】|a|42325，且|b|1，ab|a|b|，因此，b 与 a 共线，且方向相同，b45，35.【答案】45，35 4已知
8、 x，y0，11x 11y的最小值为 4，则 xy_.【解析】11x 11y111xy211xy2，11xy24.又 xy0，xy1，xy1.【答案】1 5已知 x，y，a，bR，且axby1，求 xy 的最小值【解】构造两组实数 x，y；ax，by.x，y，a，bR，axby1，xy(x)2(y)2ax2by2(a b)2，当且仅当 xax yby，即xyab时取等号，(xy)min(ab)2.分层测评（九）(建议用时：45 分钟)一、选择题 1若 a2b21，x2y22，则 axby 的最大值为()A1 B2 C.2 D.4【解析】(axby)2(a2b2)(x2y2)2，axby 2.【
9、答案】C 2已知 a0，b0，且 ab2，则()Aab12 Bab12 Ca2b22 D.a2b23【解析】(1212)(a2b2)(ab)24，a2b22.【答案】C 3已知 a，bR，且 ab1，则 P(axby)2与 Qax2by2的关系是()APQ BPQ【解析】设 m(ax，by)，n(a，b)，则|axby|mn|m|n|ax2 by2 a2 b2ax2by2abax2by2，(axby)2ax2by2，即 PQ.【答案】A 4若 a，bR，且 a2b210，则 ab 的取值范围是()A2 5，2 5 B2 10，2 10 C 10，10 D.(5，5)【解析】(a2b2)12(1
10、)2(ab)2.a2b210，(ab)220.2 5ab2 5.【答案】A 5若 ab1 且 a，b 同号，则a1a2b1b2的最小值为()A1 B2 C.252 D.72【解析】a1a2b1b2a221a2b221b2(a2b2)11a2b24.ab1，abab2214，a2b212(a2b2)(11)12(ab)212，11a2b214217，a1a2b1b21724252.【答案】C 二、填空题 6设实数 x，y 满足 3x22y26，则 P2xy 的最大值为_【解析】由柯西不等式得(2xy)2(3x)2(2y)2232122)(3x22y2)4312611611，于是 2xy 11.【
11、答案】11 7设 xy0，则x24y2y21x2的最小值为_【解析】原式x22y21x2y2x1x2yy29(当且仅当 xy 2时取等号)【答案】9 8设 x，yR，且 x2y8，则9x2y的最小值为_【解析】(x2y)9x2y(x)2(2y)23x22y2 x3x 2y2y225，当且仅当x2y 2y3x，即 x245，y85时，“”成立又x2y8，9x2y258.【答案】258 三、解答题 9已知 为锐角，a，b 均为正实数求证：(ab)2a2cos 2b2sin2.【证明】设 macos，bsin，n(cos，sin)，则|ab|acos cos bsin sin|mn|m|n|acos
12、 2bsin 21 a2cos2b2sin2，(ab)2a2cos2b2sin2.10已知实数 a，b，c 满足 a2bc1，a2b2c21，求证：23c1.【证明】因为 a2bc1，a2b2c21，所以a2b1c，a2b21c2.由柯西不等式得(1222)(a2b2)(a2b)2，当且仅当 b2a 时，等号成立，即 5(1c2)(1c)2，整理得 3c2c20，解得23c1.能力提升 1函数 y x52 6x的最大值是()A.3 B.5 C3 D5【解析】根据柯西不等式，知 y1x526x1222x526x2 5当且仅当 x265时取等号.【答案】B 2已知 4x25y21，则 2x 5y
13、的最大值是()A.2 B1 C3 D9【解析】2x 5y2x1 5y12x2 5y21212 12 2.2x 5y 的最大值为 2.【答案】A 3函数 f(x)2x2 2x21的最大值为_【解析】设函数有意义时 x 满足12x22，由柯西不等式得f(x)22x22x2122(12)2x2x21292，f(x)3 22，当且仅当 2x2x2122，即 x232时取等号【答案】3 22 4在半径为 R 的圆内，求内接长方形的最大周长【解】如图所示，设内接长方形 ABCD 的长为 x，宽为4R2x2，于是 ABCD 的周长 l2(x4R2x2)2(1x14R2x2)由柯西不等式l2x2(4R2x2)
14、2 12(1212)122 22R4 2R，当且仅当x14R2x21，即 x 2R 时，等号成立此时，宽4R2 2R2 2R，即 ABCD 为正方形，故内接长方形为正方形时周长最大，其周长为 4 2R.二 一般形式的柯西不等式 1掌握三维形式和多维形式的柯西不等式(重点)2会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题(重点、难点)基础初探 教材整理 1 三维形式的柯西不等式 阅读教材 P37P38“探究”以上部分，完成下列问题 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3R，则(a21a22a23)(b21b22b23)(a1b1a2b2a3b3)2.当且仅当 b1b2b30 或存在一个数 k，使得 ai
15、kbi(i1,2,3)时，等号成立我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式 已知 x，y，zR且 xyz1，则 x2y2z2的最小值是()A1 B.13 C.23 D2【解析】根据柯西不等式，x2y2z213(121212)(x2y2z2)13(1x1y1z)213(xyz)213.【答案】B 教材整理 2 一般形式的柯西不等式 阅读教材 P38P40，完成下列问题 设 a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2.当且仅当 bi0(i1,2，n)或存在一个数 k，使得 aikbi(i1,2，n)时，等号成立
16、已知 a21a22a2n1，x21x22x2n1，则 a1x1a2x2anxn的最大值是()A1 B2 C3 D.4【解析】(a1x1a2x2anxn)2(a21a22a2n)(x21x22x2n)111，当且仅当x1a1x2a2xnan1 时取等号，a1x1a2x2anxn的最大值是 1.【答案】A 小组合作型 利用柯西不等式求最值 已知a，b，c(0，)，1a2b3c2，求a2b3c的最小值及取得最小值时 a，b，c 的值【精彩点拨】由于1a2b3c2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解【自主解答】a，b，c(0，)，1a2b3c(a2b3c)1a22b23c2(a)2
17、(2b)2(3c)21a a2b 2b3c3c2(123)236.又1a2b3c2，a2b3c18，当且仅当 abc3 时等号成立，综上，当 abc3 时，a2b3c 取得最小值 18.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果同时，要注意等号成立的条件 再练一题 1已知 x4y9z1，求 x2y2z2的最小值【解】由柯西不等式，知(x4y9z)2(124292)(x2y2z2)98(x2y2z2)又 x4y9z1，x2y2z2198，(*)当且仅当 xy4z9时，等号成立，x198，y249，z998时，(*)取等号因此，x2y2z2的最小值为198.运用柯西不等
18、式求参数的取值范围 已知正数 x，y，z 满足 xyzxyz，且不等式1xy1yz1zx恒成立，求 的取值范围【精彩点拨】“恒成立”问题需求1xy1yz1zx的最大值，设法应用柯西不等式求最值【自主解答】x0，y0，z0.且 xyzxyz.1yz1xz1xy1.又1xy1yz1zx121xy1yz1zx1211xy11yz11zx121212121xy1yz1zx1232，当且仅当 xyz，即 xyz 3时等号成立1xy1yz1zx的最大值为32.故1xy1yz1zx 恒成立时，应有 32.因此 的取值范围是32，.应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”
19、应用定理 再练一题 2已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，试求a 的取值范围.【解】由 abcd3，得 bcd3a，由 a22b23c26d25，得 2b23c26d25a2，(2b23c26d2)121316(bcd)2，即 2b23c26d2(bcd)2.由条件可得，5a2(3a)2，解得 1a2，所以实数 a 的取值范围是1,2探究共研型 利用柯西不等式证明不等式 探究 在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为 aikbi(i1,2,3，n)，可以吗？【提示】不可以若 bi0 而 ai0，则 k 不存在 已知 a，b，cR，求证：abbccabacbac9
20、.【精彩点拨】对应三维形式的柯西不等式，a1ab，a2bc，a3ca，b1ba，b2cb，b3ac，而 a1b1a2b2a3b31，因而得证【自主解答】a，b，cR，由柯西不等式，知abbcca bacbacab2bc2ca2 ba2cb2ac2abbabccbcaac2(111)29，abbcca bacbac9.1当 ai，bi是正数时，柯西不等式变形为(a1a2an)(b1b2bn)(a1b1 a2b2 anbn)2.2本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组 再练一题 3已知函数 f(x)
21、m|x2|，mR，且 f(x2)0 的解集为1,1(1)求 m 的值；(2)若 a，b，cR，且1a12b13cm，求证：a2b3c9.【解】(1)因为 f(x2)m|x|，f(x2)0 等价于|x|m.由|x|m 有解，得 m0，且其解集为x|mxm又 f(x2)0 的解集为1,1，故 m1.(2)证明：由(1)知1a12b13c1.又 a，b，cR，由柯西不等式得 a2b3c(a2b3c)1a12b13ca1a 2b12b 3c13c29.过关练习：1设 a(2,1,2)，|b|6，则 ab 的最小值为()A18 B6 C18 D.12【解析】|ab|a|b|，|ab|18.18ab18，
22、当 a，b 反向时，ab 最小，最小值为18.【答案】C 2若 a21a22a2n1，b21b22b2n4，则 a1b1a2b2anbn的取值范围是()A(，2)B2,2 C(，2 D.1,1【解析】(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2，(a1b1a2b2anbn)24，|a1b1a2b2anbn|2，即2a1b1a2b2anbn2，当且仅当 ai12bi(i1,2，n)时，右边等号成立；当且仅当 ai12bi(i1,2，n)时，左边等号成立，故选 B.【答案】B 3(2014陕西高考)设 a，b，m，nR，且 a2b25，manb5，则 m2n2的最小值
23、为_ 【解析】根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得 255(m2n2)，m2n25，m2n2的最小值为 5.【答案】5 4设 a，b，c 为正数，则(abc)4a9b36c的最小值为_.【解析】由 a，b，c 为正数，(abc)4a9b36c(a)2(b)2(c)22a23b26c2a2a b3b c6c2121，当且仅当a2b3c6k(k0)时等号成立故(abc)4a9b36c的最小值是 121.【答案】121 5已知实数 x，y，z 满足 x2yz1，求 tx24y2z2的最小值【解】由柯西不等式得(x24y2z2)(111)(x2yz)2.x2yz1，3(x24y2z
24、2)1，即 x24y2z213.当且仅当 x2yz13，即 x13，y16，z13时等号成立故 x24y2z2的最小值为13.分层测评（十）(建议用时：45 分钟)学业达标 一、选择题 1设 a，b，cR，且 abc1，则 a b c的最大值是()A1 B.3 C3 D.9【解析】由柯西不等式得(a)2(b)2(c)2(121212)(a bc)2，(a b c)2313，当且仅当 abc13时等号成立 a b c的最大值为 3.故选 B.【答案】B 2设 a，b，c 是正实数，且 abc9，则2a2b2c的最小值为()A4 B3 C6 D.2【解析】(abc)2a2b2c(a)2(b)2(c
25、)22a22b22c2a2a b2b c2c218.2a2b2c2.【答案】D 3 设a1，a2，an为 实 数，P a21a22a2nn，Q a1a2ann，则 P 与 Q 的大小关系为()APQ BPQ CPQ D.不确定【解析】由柯西不等式知a1a2an，a21a22a2n na1a2an，即得a21a22a2nna1a2ann，PQ.【答案】B 4若实数 xyz1，则 F2x2y23z2的最小值为()A1 B6 C11 D.611【解析】(2x2y23z2)12113 2x12y1 3z13(xyz)21，2x2y23z21116611，即 F611，当且仅当 2xy3z 时，取等号【
26、答案】D 5已知 x，y，z 均大于 0，且 xyz1，则1x4y9z的最小值为()A24 B30 C36 D48【解析】(xyz)1x4y9zx1x y2y z3z236，1x4y9z36.【答案】C 二、填空题 6已知 a，b，cR，且 2a2bc8，则(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是_【解析】由柯西不等式得：(441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32，9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2.2a2bc8，(a1)2(b2)2(c3)2499，(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是499.【答案】499 7已知 a，b，cR，a2b3c6，则
27、a24b29c2的最小值为_【解析】a2b3c6，1a12b13c6.(a24b29c2)(121212)(a2b3c)2，即 a24b29c212.当且仅当1a12b13c，即 a2，b1，c23时取等号【答案】12 8设 x，y，zR，若(x1)2(y2)2z24，则 3xy2z 的取值范围是_又 3xy2z 取最小值时，x 的值为_【解析】(x1)2(y2)2z232(1)2(2)2(3x3y22z)2,414(3xy2z5)2，2 143xy2z52 14，即 52 143xy2z52 14.若 3xy2z52 14，又x13y21z2t，3(3t1)(t2)2(2t)52 14，t1
28、47，x3 1471.【答案】52 14，52 14 3 1471 三、解答题 9已知正数 x，y，z 满足 xyz1.(1)求证：x2y2zy2z2xz2x2y13；(2)求 4x4y4z2的最小值【解】(1)证 明：x2y2zy2z2xz2x2y(y 2z z 2x x 2y)xy2zy2zyz2xz2xzx2yx2y1，即 3x2y2zy2z2xz2x2y1，x2y2zy2z2xz2x2y13.(2)由基本不等式，得 4x4y4z2334xyz2，因为 xyz1，所以 xyz21zz2z1223434，故 4x4y4z2334343 2，当且仅当 xy14，z12时等号成立，所以 4x4
29、y4z2的最小值为 3 2.10已知 f(x)ax2bxc的所有系数均为正数，且 abc1，求证：对于任何正数 x1，x2，当 x1x21 时，必有 f(x1)f(x2)1.【证明】由于 f(x)ax2bxc，且 a，b，c 大于 0，f(x1)f(x2)(ax21bx1c)(ax22bx2c)(ax1 ax2 bx1bx2c)2(ax1x2b x1x2c)2f(x1x2)2f(1)2.又 f(1)abc，且 abc1，f(x1)f(x2)1.能力提升 1若 2ab0，则 a42abb的最小值为()A1 B3 C8 D.12【解析】2ab0，2ab0，a42abb122abb82abb1233
30、2abb82abb3.当且仅当 2abb82abb，即 ab2 时等号成立，当 ab2 时，a42abb有最小值 3.【答案】B 2设 a，b，c，x，y，z 是正数，且 a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则abcxyz()A.14 B.13 C.12 D.34【解析】由柯西不等式得，(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2400，当且仅当axbycz12时取等号，因此有abcxyz12.【答案】C 3已知 a，b，cR，且 abc6，则 2a 2b1 2c3的最大值为_.【解析】由柯西不等式得：(2a2b12c3)2(12a12b112c3)2(121212)(
31、2a2b12c3)3(264)48.当且仅当 2a2b12c3，即 2a2b12c3 时等号成立又 abc6，a83，b136，c76时，2a2b12c3取得最大值 4 3.【答案】4 3 4ABC 的三边长为 a，b，c，其外接圆半径为 R.求证：(a2b2c2)1sin2A1sin2B1sin2C36R2.【证明】由三角形中的正弦定理，得sin Aa2R，所以1sin2A4R2a2，同理1sin2B4R2b2，1sin2C4R2c2，于是由柯西不等式可得左边(a2b2c2)4R2a24R2b24R2c2a2Rab2Rbc2Rc236R2，原不等式得证 三 排序不等式 1了解排序不等式的数学
32、思想和背景 2理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题(重点、难点)基础初探 教材整理 1 顺序和、乱序和、反序和的概念 阅读教材 P41P42“探究”以上部分，完成下列问题 设 a1a2a3an，b1b2b3bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，则称 ai与 bi(i1,2，n)的相同顺序相乘所得积的和 a1b1a2b2anbn为顺序和，和 a1c1a2c2ancn为乱序和，相反顺序相乘所得积的和 a1bna2bn1anb1称为反序和 教材整理 2 排序不等式 阅读教材 P42P44，完成下列问题 设 a1a2an，b1b2bn为两组实数，c
33、1，c2，cn是 b1，b2，bn的任一排列，则 a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b2a2b2anbn，当且仅当 a1a2an或 b1b2bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和乱序和顺序和 小组合作型 用排序不等式证明不等式(字母大小已定)已知 a，b，c 为正数，abc，求证：(1)1bc1ca1ab；(2)a2b2c2b2c2a2c2a2b21a21b21c2.【精彩点拨】由于题目条件中已明确 abc，故可以直接构造两个数组【自主解答】(1)ab0，于是1a1b.又 c0，1c0，从而1bc1ca，同理，bc0，于是1b1c，a0，1a0，于是得1ca1ab，
34、从而1bc1ca1ab.(2)由(1)知1bc1ca1ab0 且 abc0，1b2c21c2a21a2b2，a2b2c2.由排序不等式，顺序和乱序和得a2b2c2b2c2a2c2a2b2b2b2c2c2c2a2a2a2b21c21a21b21a21b21c2，故a2b2c2b2c2a2c2a2b21a21b21c2.利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组 再练一题 1本例题中条件不变，求证：a5b3c3b5c3a3c5a3b3c2a3a2b3b2c3.【证明】abc0，a5b5c5，1c1b1a0.1bc1a
35、c1ba，1b3c31a3c31b3a3，由顺序和乱序和得a5b3c3b5a3c3c5b3a3b5b3c3c5a3c3a5b3a3b2c3c2a3a2b3，a5b3c3b5a3c3c5b3a3c2a3a2b3b2c3.字母大小顺序不定的不等式证明 设 a，b，c 为正数，求证：a2b22cb2c22ac2a22ba3bcb3cac3ab.【精彩点拨】(1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出a，b，c的大小顺序解答本题时不妨先设定abc，再利用排序不等式加以证明【自主解答】不妨设 0abc，则 a3b3c3，00，则 x2y2z2，1z1y1x.由排序不等式，乱序和反序和x2yy
36、2zz2xx21xy21yz21zxyz.又 xyz1，x2yy2zz2x1，当且仅当 xyz13时，等号成立故 tx2yy2zz2x的最小值为 1.利用排序不等式求解简单的实际问题 若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要 45 min,25 min 和 30 min，每台电脑耽误 1 min，网吧就会损失 0.05 元在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？【精彩点拨】这是一个实际问题，需要转化为数学问题要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间 t1 min 时，三台电脑等候维修的总时间为 3t1 m
37、in，依此类推，等候的总时间为 3t12t2t3 min，求其最小值即可【自主解答】设 t1，t2，t3为 25,30,45 的任一排列，由排序原理知 3t12t2t332523045180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小1首先理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型 2三台电脑的维修时间 3t12t2t3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)再练一题 4有 5 个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这 5 个人的水桶需要时间分别是 4 min,8 min,6 min,10 min,5 min，那么如何安排这5 个人接水的顺序，才能使他们
38、等待的总时间最少？【解】根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为 4554638210184(min)即按注满时间为4 min,5 min,6 min,8 min,10 min 依次等水，等待的总时间最少 过关练习：1已知 xy，Mx4y4，Nx3yy3x，则 M 与 N 的大小关系是()AMN BMN CMQ BPQ CP0，则 a2b2c20，由排序不等式得：a2ab2bc2ca2bb2cc2a.PQ.【答案】B 3已知两组数 1,2,3 和 4,5,6，若 c1，c2，c3是 4,5,6 的一个排列，则 c12c23c3的最大值是_，最小值是_.【解析】由排序不等式，顺序和最大，反序和
39、最小，最大值为 14253632，最小值为 16253428.【答案】32 28 4某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件，5 件和 2 件现在选择商店中单价分别为3 元，2 元和 1 元的礼品，则至少要花_元，最多要花_元【解析】取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为 21425325，反序和为23425119.所以最少花费为19 元，最多花费为25 元【答案】19 25 5设 a1，a2，an是 n 个互不相同的正整数，求证：112131na1a222a332ann2.【证明】122232n2，1121221n2.设 c1，c2，cn是 a1，a2，an由小到大的一
40、个排列，即 c1c2c3cn，根据排序原理中，反序和乱序和，得 c1c222c332cnn2a1a222a332ann2，而 c1，c2，cn分别大于或等于 1,2，n，c1c222c332cnn21222332nn21121n，112131na1a222ann2.分层测评（十一）(建议用时：45 分钟)一、选择题 1设 ab0，Pa3b3，Qa2bab2，则 P 与 Q 的大小关系是()APQ BPQ CP0，a2b20.因此 a3b3a2bab2(排序不等式)，则 PQ.【答案】B 2设 a1a2a3an，b1b2b3bn为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为()A
41、反序和乱序和顺序和 B反序和乱序和顺序和 C反序和乱序和顺序和 D反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定【答案】C 3设正实数 a1，a2，a3的任一排列为 a1，a2，a3，则a1a1a2a2a3a3的最小值为()A3 B6 C9 D.12【解析】设 a1a2a30，则1a31a21a10，由乱序和不小于反序和知，a1a1a2a2a3a3a1a1a2a2a3a33，a1a1a2a2a3a3的最小值为3，故选A.【答案】A 4若 Ax21x22x2n，Bx1x2x2x3xn1xnxnx1，其中 x1，x2，xn都是正数，则 A 与 B 的大小关系为()AAB BAB CAB D.AB【解析】依序
42、列xn的各项都是正数，不妨设 0 x1x2xn，则 x2，x3，xn，x1为序列xn的一个排列依排序原理，得 x1x1x2x2xnxnx1x2x2x3xnx1，即x21x22x2nx1x2x2x3xnx1.故选 C.【答案】C 5已知 a，b，c 为正实数，则 a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)的正负情况是()A大于零 B大于等于零 C小于零 D.小于等于零【解析】设 abc0，所以 a3b3c3，根据排序原理，得 a3ab3bc3ca3bb3cc3a.又知 abacbc，a2b2c2，所以 a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab，a4b4c4a2bcb2cac2ab，即 a
43、2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.【答案】B 二、填空题 6若 a，b，cR，则bcacababc_abc.【解析】不妨设 abc0，则 bccaab，1a1b1c，bcacababcaccababcbabc.【答案】7有 4 人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要 5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为_s.【解析】等候的最短时间为：3443527141(s)【答案】41 8设 a1，a2，a3为正数，且 a1a2a31，则a1a2a3a2a3a1a3a1a2的最小值为_.【解析】不妨设 a3a1a20，则1a31a11
44、a2，所以 a1a2a2a30，则 a2b2c20，a3b3a2ab2ba2bb2a，a3b3ab(ab)(2)由(1)知，同理 b3c3bc(bc)，c3a3ac(ca)，所以1a3b3abc1b3c3abc1c3a3abc1abababc1bcbcabc1acacabc1abc1ab1bc1ca1abccababc1abc.故原不等式得证 10已知 a，b，c 都是正数，求abcbcacab的最小值【解】由对称性，不妨设 0cba，则有 abacbc0，所以01ab1ac1bc.由排序不等式得abcbaccabaacbabcbc，abcbaccabcacaabbbc.由知 2abcbacc
45、ab3，abcbaccab32.当且仅当 abc 时，abcbcacab取最小值32.能力提升 1锐角三角形中，设 Pabc2，Qacos Cbcos Bccos A，则 P，Q的关系为()APQ BPQ CPQ D.不能确定【解析】不妨设 ABC，则 abc，cos Acos Bcos C，则由排序不等式有 Qacos Cbcos Bccos Aacos Bbcos Cccos A R(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A)Rsin(AB)sin(BC)sin(AC)R(sin Csin Asin B)abc2P.【答案】C 2已知 abc1，a，b，c 为正数
46、，则1bc1ca1ab的最小值是_ 【解析】不妨设abc，1bc1ca1ab，abcbcacabbbcccaaab，abcbcacabcbcacabab，得abcbcacab32，1bc1ca1ab92.【答案】92 3在 RtABC 中，C 为直角，A，B 所对的边分别为 a，b，则 aAbB与4(ab)的大小关系为_.【解析】不妨设 ab0，则 AB0，由排序不等式 aAbBaBbAaAbBaAbB2(aAbB)a(AB)b(AB)2(ab)，aAbB4(ab)【答案】aAbB4(ab)4已知 012(sin 2sin 2sin 2)【证明】02，且 ysin x 在0，2上为增函数，yc
47、os x 在0，2上为减函数，0sin sin cos cos 0.根据排序不等式得：乱序和反序和sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 12(sin 2sin 2sin 2)故原不等式得证 章末分层突破 自我校对 一般形式的柯西不等式 柯西不等式的三角形式 反序和 顺序和 排序原理 利用柯西不等式证明简单不等式 柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式 已知a，b，c是实数，且abc1，求证：13a1 13b113c14 3.【规范解答】因为 a，b，c 是实数，且abc1，令 m
48、(13a1，13b1，13c1)，n(1,1,1)，则|mn|2(13a113b113c1)2，|m|2|n|23(13a1)(13b1)(13c1)313(abc)348.|mn|2|m|2|n|2，(13a1)13b113c1)248，13a113b113c14 3.再练一题 1设 a，b，x，y 都是正数，且 xyab，求证：a2axb2byab2.【证明】a，b，x，y 都大于 0，且 xyab.由柯西不等式，知a2axb2by(ax)(by)aaxaxbbyby2(ab)2.又 axby2(ab)0，所以a2axb2byab2.排序原理在不等式证明中的应用 应用排序不等式的技巧在于构
49、造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组 已知 a，b，c 为正实数，求证：abca2b22cb2c22ac2a22b.【规范解答】由于不等式关于a，b，c 对称，可设 abc0.于是 a2b2c2，1c1b1a.由排序不等式，得反序和乱序和，即a21ab21bc21ca21bb21cc21a，及 a21ab21bc21ca21cb21ac21b.以上两个同向不等式相加再除以 2，即得原不等式 再练一题 2设 a，b，cR，求证：a5b5c5a3bcb3acc3ab.【证明】不妨设 abc0，则 a4b4c4，运用排序不等式有：a5b5
50、c5aa4bb4cc4ac4ba4cb4.又 a3b3c30，且 abacbc0，所以 a4bb4cc4aa3abb3bcc3caa3bcb3acc3ab，即 a5b5c5a3bcb3acc3ab.利用柯西不等式、排序不等式求最值 有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足 设 a，b，c 为正实数，且 a2b3c13，求 3a 2b c的最大值【规范解答】由于 a，b，c 为正实数，根据柯西不等式，知(a2b3c)3113(a)2(2b)2(3c)2 32121323 a1 2b133c