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1、1二二 一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式课后篇巩固探究巩固探究A A 组1 1.已知a,b,c均大于 0,A=,B=,则A,B的大小关系是( )2+ 2+ 2 3 + + 3A.ABB.ABC.A0,所以.2+ 2+ 2 3 + + 3答案 B2 2.若x2+y2+z2=1,则x+y+z 的最大值等于( )2A.2B.4C.D.82解析由柯西不等式,可得12+12+()2(x2+y2+z2)(x+y+z)2,即(x+y+z)24,因此x+y+z22222当且仅当x=y=,即x=,y=,z=时,等号成立,即x+y+z的最大值等于 2.(? 21 21 22 2?)2答案 A3 3.已知+
2、=1,+=1,则a1x1+a2x2+anxn的最大值是( )21+ 2 2221+ 2 222A.1B.2C.3D.4解析(a1x1+a2x2+anxn)2(+)(+)=11=1,a1x1+a2x2+anxn的最21+ 2 2221+ 2 22大值是 1.答案 A4 4.设a,b,c均为正数且a+b+c=9,则的最小值为( )4 +9 +16 A.81B.49C.9D.7解析由柯西不等式,可得(a+b+c)81=9,当且仅当4 +9 +16 =1 9(4 +9 +16 )1 9(2 + 3 + 4 )2=1 9,即a=2,b=3,c=4 时,等号成立,故所求最小值为 9. 2= 3= 4答案
3、C5 5.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是( )A.B.C.6D.31 61 3解析由柯西不等式,得(12+12+12)x2+y2+(1-x-y)2x+y+(1-x-y)2=1,即x2+y2+(1-x-y)2 ,1 3当且仅当x=y=1-x-y,即x=y=时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值.1 31 3答案 B6 6.已知a,b,c0,且a+b+c=1,则的最大值为 . 4 + 1 + 4 + 1 + 4 + 13解析由柯西不等式,得()24 + 1 + 4 + 1 + 4 + 1=(1+1+1)24 + 14 + 14 + 1(12+12+12)(4a+1+
4、4b+1+4c+1)=34(a+b+c)+3=21.当且仅当a=b=c=时,取等号.1 3故的最大值为.4 + 1 + 4 + 1 + 4 + 121答案217 7.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,则的最小值为 . 2 +2 +2 解析因为(a+b+c)(2 +2 +2 )=()2+()2+()2(2 )2+(2 )2+?=18,?(2 )2(2 + 2 + 2 )2所以2当且仅当,即a=b=c=3 时,等号成立,故的最小值为2 +2 +2 (? 2= 2= 2?)2 +2 +2 2.答案 28 8.设a,b,c,x,y,z都是正数,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,a
5、x+by+cz=30,则= . + + + + 解析由柯西不等式知 2536=(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)(ax+by+cz)2=302=2536,当且仅当=k时,等号成立. = = 由k2(x2+y2+z2)2=2536,解得k=,5 64所以=k= . + + + + 5 6答案5 69 9.已知a+b+c=1,且a,b,c是正数,求证9.2 + +2 + +2 + 证明左边=2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)(1 + +1 + +1 + )(1+1+1)2=9.当且仅当a=b=c=时,等号成立,故原不等式成立.(1 + +1 + +1 + )1 31010.
6、已知x,y,zR R,且x-2y-3z=4,求x2+y2+z2的最小值.解由柯西不等式,得x+(-2)y+(-3)z212+(-2)2+(-3)2(x2+y2+z2),即(x-2y-3z)214(x2+y2+z2),所以 1614(x2+y2+z2).因此x2+y2+z2 ,当且仅当x=,即当x=,y=-,z=-时,x2+y2+z2的最小值为.8 7- 2=- 32 74 76 78 7B B 组1 1.已知x2+y2+z2=1,则x+2y+2z的最大值为( )A.1B.2C.3D.4解析由柯西不等式,得(x+2y+2z)2(12+22+22)(x2+y2+z2)=9,所以-3x+2y+2z3
7、.当且仅当|x|=时,等号成立.| 2|=|2|所以x+2y+2z的最大值为 3.答案 C2 2.导学号 26394054 已知a,b,c为正实数,且a+2b+3c=9,则的最大值3 + 2 + 等于( )5A.B.3913C.13D.18解析当且仅当3 + 2 + = 3 + 2 +1 3 3 (3 + 1 +1 3)( + 2 + 3) = 39(?时,等号成立,故最大值为. 3=2 1=3 1 3?)39答案 A3 3.设a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值是 . (4 +9 +36 )解析(a+b+c)(4 +9 +36 )=()2+()2+()2(2 )2+(3 )2+(6 )
8、2=(2+3+6)2=121.(2 + 3 + 6 )2当且仅当时,等号成立. 2= 3= 6答案 1214 4.设x,y,zR R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为 . 解析 2x+2y+z+8=02(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.考虑以下两组向量:u u=(2,2,1),v v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(u uv v)2|u u|2|v v|2,即2(x-1)+2(y+2)+(z-3)2(22+22+12)(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2.所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=9,当且仅当x=-1,
9、y=-4,z=2 时,等号成立,此时取得最小值 9.( - 9)2 9答案 95 5.导学号 26394055 已知x1,x2,x3,x4为实数,且x1+x2+x3+x4=6,=12,21+ 2 2+ 2 3+ 2 4求证 0xi3(i=1,2,3,4).6证明由柯西不等式,得(x2+x3+x4)2(1+1+1)(),22+ 2 3+ 2 4由题设条件,得x2+x3+x4=6-x1,=12-,22+ 2 3+ 2 421代入上式,得(6-x1)23(12-),2136-12x1+36-3,21214-12x10,0x13,21同理可证 0xi3(i=2,3,4).综上所述,0xi3(i=1,2,3,4).6 6.导学号 26394056 设实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,且a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值.解由已知,得a+b+c+d=8-e,a2+b2+c2+d2=16-e2,所以(8-e)2=(a+b+c+d)2(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)=4(16-e2),化简,得 5e2-16e00e,故emax=.16 516 5