《2019版高中数学 第三章 3.1 二维形式的柯西不等式试题 新人教A版选修4-5.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高中数学 第三章 3.1 二维形式的柯西不等式试题 新人教A版选修4-5.doc（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1一一 二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式课后篇巩固探究巩固探究1 1.若a2+b2=2,则a+b的最大值为( )A.1B.C.2D.42解析由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)(a+b)2,即(a+b)24,所以-2a+b2(当且仅当a=1,b=1或a=-1,b=-1 时,等号成立),即a+b的最大值为 2.答案 C2 2.已知=2,x,y0,则x+y的最小值是( )4 +9 A.B.C.D.525 225 45 2解析由=2,4 +9 可得x+y=( )2+ ( )2(2 )2+(3 )22(2+3)2=.1 2(2 + 3 )2=1 225 2当且仅当,即x=5,y=时等号
2、成立.3 = 2 15 2答案 A3 3.已知 3x+2y=1,则当x2+y2取最小值时,实数x,y的值为( )A.B. =3 13, =2 13? =2 13, =3 13?2C.D. =1 6, =1 4? =1 4, =1 6?解析因为x2+y2=(x2+y2)(32+22)(3x+2y)2=,所以当x2+y2有最小值,当且仅当时,1 131 131 131 13 3= 2等号成立,得 =3 13, =2 13.?答案 A4 4.函数y=+2的最大值是( ) - 56 - A.B.C.3D.535解析根据柯西不等式,知y=1+2,当 - 56 - 12+ 22( - 5)2+ ( 6 -
3、 )2= 5且仅当=2,即x=时,等号成立.6 - - 526 5答案 B5 5.已知m2+n2=,则m+2n的最大值为( )1 42A.B.C.D.63 26 26解析由柯西不等式可得(m2+n2)()2+22(m+2n)2,即6(m+2n)2,则m+2n,故221 4226 2m+2n的最大值为.26 2答案 B6 6.导学号 26394051 若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形,则长方形ABCD周长的最大值为( )A.2RB.2RC.4RD.4R223解析如图,设圆内接长方形ABCD的长为x,则宽为,于是ABCD的周长l=2(x+)42- 242- 2=2(1x+1).42- 2
4、由柯西不等式得l2x2+()2(12+12=22R=4R,当且仅当x1=42- 21 2)1 2221,即x=R时,等号成立.42- 22此时R,即四边形ABCD为正方形,故周长为最大的内接长方形42- 2= 42- ( 2)2= 2是正方形,其周长为 4R.2答案 D7 7.若 3x+4y=2,则x2+y2的最小值为 . 解析由柯西不等式(x2+y2)(32+42)(3x+4y)2,得 25(x2+y2)4,所以x2+y2.4 25(当且仅当 3= 4时,等号成立)解方程组3 + 4 = 2, 3= 4,?得 =6 25, =8 25.?因此,当x=,y=时,x2+y2取得最小值,最小值为.
5、6 258 254 25答案4 258 8.设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=,Q=,则P与Q的大小关系是 . + + + 4解析P= + ( )2+ ( )2( )2+( )2=Q当且仅当时,等号成立. + + (? = ?)答案PQ9 9.已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为 . 解析由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,可得(am+bn)(bm+an)() + 2=mn(a+b)2=2,即(am+bn)(bm+an)的最小值为 2.答案 21010.函数y=的最大值为 . - 4 + 25 - 5解析y=,
6、 - 4 + 25 - 5y=1 - 4 + 5 5 - 当且仅当,即x=时等号成立.(1 + 5)( - 4 + 5 - ) = 6( ?5 - = 5 - 425 6?)答案61111.已知a,bR R+,且a+b=1,则的最小值是 . 1 2+1 解析因为a,bR R+,且a+b=1,所以=(a+b),由柯西不等式得(a+b)1 2+1 (1 2+1 ),当且仅当,且a+b=1,即a=-1,b=2-(1 2+1 )(1 2+ 1 )2=(2 2+ 1)2=3 2+ 2 = 22时,取最小值.21 2+1 3 2+ 2答案3 2+ 21212.已知a,b,c为正数,且满足acos2+bsi
7、n2c,求证cos2+sin2.5证明由柯西不等式得cos2+sin2( )2+ ( )22 + 2=,( )2+ ( )2=2 + 2 故不等式成立.1313.设a,bR R+,且a+b=2.求证2.2 2 - +2 2 - 证明由柯西不等式,有(2-a)+(2-b)(2 2 - +2 2 - )=()2+()22 - 2 - ( 2 - )2+( 2 - )2(2 - 2 - + 2 - 2 - )2=(a+b)2=4.则2 2 - +2 2 - 4 (2 - ) + (2 - )=2.(当且仅当 2 - 2 - = 2 - 2 - 时,等号成立)故原不等式成立.1414.已知x2+y2=
8、2,且|x|y|,求的最小值.1( + )2+1( - )2解令u=x+y,v=x-y,则x=,y=. + 2 - 2x2+y2=2,(u+v)2+(u-v)2=8,u2+v2=4.由柯西不等式,得(u2+v2)4,(12+12)6当且仅当u2=v2=2,即x=,y=0,或x=0,y=时,的最小值是 1.221( + )2+1( - )21515.导学号 26394053 求函数y=的最小值.2- 2 + 3+2- 6 + 14解y=,( - 1)2+ 2+(3 - )2+ 5根据柯西不等式,有y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2( - 1)2+ 2(3 - )2+ 5(x-1)2+2+(3-x)2+5+2(x-1)(3-x)+=(x-1)+(3-x)2+()2=11+2.102 + 510当且仅当(x-1)=(3-x),即x=时,等号成立.523 2 + 52 + 5此时ymin=+1.11 + 2 10 =( 10 + 1)2= 10