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1、中考数学高频考点突破全等三角形1. 如图，在 ABC 中，AB=AC，A=36，DE 是 AC 的垂直平分线(1) 求证：BCD 是等腰三角形(2) BCD 的周长是 a，BC=b，求 ACD 的周长（用含 a，b 的代数式表示）2. 如图 1，已知 ABC 中 CAB 内部的射线 AD 与 ACB 的外角的平分线 CE 相交于点 P，若 ABC=40，CPA=20(1) 求证：AD 平分 CAB(2) 如图 2，点 F 是射线 AD 上一点，FG 垂直平分 BC 于点 G，FHAB 于点 H，连接 FC，若 AB=5，AC=3，求 HB3. 如图，在 ABC 中，BEAC 于点 E，BC 的
2、垂直平分线分别交 AB，BE 于 点 D，G，垂足为 H，CDAB，CD 交 BE 于点 F(1) 求证：BDFCDA，并写出 BF 与 AC 的数量关系(2) 若 DF=DG，求证： BE 平分 ABC； CE=12BF4. 如图，已知 D 是 BC 的中点，过点 D 作 BC 的垂线交 BAC 的平分线于点 E，EFAB 于点 F，EGAC 于点 G(1) 求证：BF=CG；(2) 若 AB=10，AC=6，求线段 CG 的长5. 已知 ABC 是等腰直角三角形，C=90, 点 M 是 AC 的中点，延长 BM 至点 D，使 DM=BM，连接 AD(1) 如图，求证 DAMBCM(2) 已
3、知点 N 是 BC 的中点，连接 AN如图，求证 BCMACN如图，延长 NA 至点 E，使 AE=NA，求证 BDDE6. 如图，D 是等边三角形 ABC 外的一点，BDC=120，DB=DC，点 E，F 分别在 AB，AC 上(1) 求证：AD 是 BC 的垂直平分线(2) 若 ED 平分 BEF，BC=5，求 AEF 的周长7. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，A=60，点 E 为 AB 上一点，连接 BD，CE，BD 与 CE 交于点 F，且 CEAD(1) 判断 BEF 的形状，并说明理由；(2) 若 AD=10，CE=7，求 CF 的长8. 如图，ABC 的外
4、角 DAC 的平分线交 BC 边的垂直平分线于 P 点，PDAB 于 D，PEAC 于 E(1) 求证：BD=CE；(2) 若 AB=6cm，AC=10cm，求 AD 的长9. 如图，ABC 中，AB=BC，BEAC 于点 E，ADBC 于点 D，BAD=45，AD 与 BE 交于点 F，连接 CF(1) 求证：BF=2AE(2) 若 CD=2，求 AD 的长10. 如图，ABC 中，AB=AC，EAF=12BAC，BFAE 于 E 交 AF 于点 F，连接 CF(1) 如图 1 所示，当 EAF 在 BAC 内部时，求证：EF=BE+CF(2) 如图 2 所示，当 EAF 的边 AE，AF
5、分别在 BAC 外部、内部时，求证：CF=BF+2BE11. 如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，E 是 AB 的中点，连接 DE 并延长交 CB 的延长线于点 F，点 M 在 BC 边上，且 MDF=ADF(1) 求证：ADEBFE(2) 连接 EM，如果 FM=DM，判断 EM 与 DF 的关系，并说明理由12. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，E 为 CD 中点，连接 AE 并延长 AE 交 BC 的延长线于点 F(1) 求证：CF=AD；(2) 若 AD=3，AB=8，当 BC 为多少时，点 B 在线段 AF 的垂直平分线上，为什么？13. 已知，在 ABC 中，点 E，F
6、分别在边 AB，AC 上，连接 EF(1) 如图 1，若点 D 是 BC 边上的中点，连接 DE，DF，有 DEDF求证：BE+CFEF(2) 如图 2，若点 D 在 BC 边下方，连接 BD，CD，DE，DF，有 ABD+ACD=180，DB=DC，BDC=120，EDF=60，请求出线段 BE，CF，EF 之间的等量关系式14. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=2x+6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，过点 B 的直线交 x 轴于点 C，且 AB=BC(1) 求直线 BC 的解析式；(2) 点 P 为线段 AB 上一点，点 Q 为线段 BC 延长线上一点，且 AP=CQ，设
7、点 Q 横坐标为 m，求点 P 的坐标（用含 m 的式子表示，不要求写出自变量 m 的取值范围）；(3) 在（2）的条件下，点 M 在 y 轴负半轴上，且 MP=MQ，若 BQM=45，求直线 PQ 的解析式15. 如图 1，ABC 是直角三角形，C=90，CAB 的角平分线 AE 与 AB 的垂直平分线 DE 相交于点 E(1) 如图 2，若点 E 正好落在边 BC 上求 B 的度数；证明：BC=3DE(2) 如图 3，若点 E 满足 C，E，D 共线求证：AD+DE=BC16. 如图，在等边三角形 ABC 右侧作射线 CP，ACP=060，点 A 关于射线 CP 的对称点为点 D，BD 交
8、 CP 于点 E，连接 AD，AE(1) 求 DBC 的大小（用含 的代数式表示）(2) 在 0”、“=”或“FG，即 BE+CFEF(2) 如图，延长 AB 到 M，使 BM=CF， ABD+ACD=180，又 ABD+MBD=180， MBD=ACD，而 BD=CD， BDMCDF， DM=DF，BDM=CDF， EDM=EDB+BDM=EDB+CDF=CDBEDF=12060=60=EDF, DEMDEF， EF=EM=EB+BM=EB+CF14. 【答案】(1) 直线 y=2x+6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， 点 B0,6，点 A3,0， AO=3，BO=6， AB=
9、BC，BOAC， AO=CO=3， 点 C3,0，设直线 BC 解析式为：y=kx+b，则 0=3k+b,b=6, 解得：k=2,b=6, 直线 BC 解析式为：y=2x+6(2) 如图 1，过点 P 作 PGAC 于点 G，过点 Q 作 HQAC 于点 H， 点 Q 横坐标为 m， 点 Qm,2m+6， AB=CB， BAC=BCA=CHQ， PGA=QHC=90，AP=CQ， PGAQHCAAS， PG=HQ=2m6，故点 P 的纵坐标为：2m6，直线 AB 的表达式为：y=2x+6，即 2m6=2x+6，解得：x=m6，故点 Pm6,2m6(3) 如图 2，连接 AM，CM，过点 P 作
10、 PEAC， AB=BC，BOAC， BO 是 AC 的垂直平分线， AM=CM，且 AP=CQ，PM=MQ， APMCQMSSS， PAM=MCQ，BQM=APM=45， AM=CM，AB=BC，BM=BM， ABMCBMSSS， BAM=BCM， BCM=MCQ，且 BCM+MCQ=180， BCM=MCQ=PAM=90，且 APM=45， APM=AMP=45， AP=AM， PAO+MAO=90，MAO+AMO=90， PAO=AMO，且 PEA=AOM=90，AM=AP， APEMAOAAS， AE=OM，PE=AO=3， 2m6=3， m=92， Q92,3，P32,3，设直线 P
11、Q 的解析式为：y=ax+c， 3=92a+c,3=32a+c, 解得：a=1,c=32, 直线 PQ 的解析式为：y=x+3215. 【答案】(1) AE 平分 CAB， CAE=DAE，又 ED 是 AB 的垂直平分线， EA=EB， B=DAE， CAE=DAE=B，又 C=90， B=1390=30； AE 平分 CAB，且 ECAC，EDAB， EC=ED，在 RtEDB 中，B=30 BE=2DE，BC=BE+CE=BE+DE=3DE(2) 过点 E 作 EFAC 于点 F ED 是 AB 的垂直平分线，且 C，E，D 共线， CD 也是 AB 的垂直平分线， CA=CB，又 AC
12、B=90， ABC 是等腰直角三角形 ACD=45， CEF 是等腰直角三角形 EF=CF， AE 平分 CAB，且 EFAC，EDAB， EF=ED， ED=FC，在 RtADE 和 RtAFE 中， EF=ED,AE=AE, RtADERtAFEHL， AD=AF， BC=AC=AF+FC=AD+DE16. 【答案】(1) 连接 CD， 点 A 与点 D 关于射线 CD 对称， CP 垂直平分 AD， CA=CP， ACP=DCP=， ABC 是等边三角形， CB=CA，ACB=60， CB=CD，BCD=ACB+ACP+DCP=60+2， DBC=180BCD2=60(2) AEB 大小
13、不发生变化，AEB=60(3) 在 BE 上截取 EF=EC，连接 CF由（2）AEB=60， CP 垂直平分 AD， EA=ED，AEP=DEP， AEP+DEP=180AEB=120， AEP=DEP=60， BEC=PED=60， EF=EC， CEF 是等边三角形， CE=CF=EF，ECF=60， ABC 是等边三角形， CA=CB，ACB=60， ACB=ECF， ACBACF=ECFACF，即 BCF=ACE，在 CBF 和 CAE 中， CB=CA,BCF=ACE,CF=CE, CBFCAE， BF=AE， BD=BF+ED+EF，BF=AE=DE，EF=CE BD=2AE+C
14、E【解析】(2) 在 CEA 和 CED 中， CA=CD,ACE=DCE,CE=CE, CEACEDSAS， CDE=CAE 由（1）知，CB=CD， CDE=CBE， CBE=CAE， CBE+1+ACB=180， CAE+2+AEB=180 1=2， AEB=ACB=60即 AEB 大小不发生变化，AEB=6017. 【答案】(1) (2) 结论：EF2=BE2+CF2如图 2 中，延长 ED 到 H，使得 DH=DE，连接 CH，FH BD=CD，BDE=CDH，DE=DH， BDECDHSAS， BE=CH，B=DCH， DE=DH，FDEH， FE=FH， A=90， B+ACB=
15、90， ACB+DCH=90， FCH=90， FH2=CH2+CF2， EF2=BE2+CF2(3) 如图 3 中，结论：EF=BE+CF DB=DC，B+ACD=180， 可以将 DBE 绕点 D 顺时针旋转得到 DCH，A，C，H 共线 BDC=130，EDF=65， CDH+CDF=BDE+CDF=65， FDE=FDH， DF=DF，DE=DH， FDEFDHSAS， EF=FH， FH=CF+CH=CF+BE， EF=BE+CF【解析】(1) 如图 1 中，延长 ED 到 H，使得 DH=DE，连接 CH，FH BD=CD，BDE=CDH，DE=DH， BDECDHSAS， BE=
16、CH， DE=DH，FDEH， FE=FH，在 FCH 中， CH+CFFH， BE+CFEF18. 【答案】(1) BDC=90，BD=CD， DCB=DBC=45， DCN+BCE=45 CEAB， BEC=90， DBC+DBA+BCE=90， DBA+BCE=90DBC=45， DCN=DBA(2) AF+AB=CF(3) 105 【解析】(2) 线段 AF，AB，CF 关系式 AF+AB=CF ADBC， ADB=DBC=45 BDC=90，BD=CD，DM 是 BC 边上中线， CDM=BDM=12BDC=45， ADB=NDC=45由（1）知，DBA=DCN， BDACDNASA
17、， AB=NC，AD=ND ADF=NDF=45，DF=DF， ADFNDFSAS， AF=NF， AF+AB=NF+NC=CF(3) 当点 E 恰好为 AB 中点时，BAD=105连接 AN，交 DF 于点 P，连接 PE由（2）知，AD=ND，AF=NF， ADF=NDF=45， 点 D，F 都在线段 AN 的垂直平分线上， ADN=90，从而 DAN=DNA=45， DF 垂直平分 AN， AP=NP，ADB=90 E 恰好为 AB 中点， PE=12AB=AE CEAB， AEN=90，而 AP=NP， PE=12AN=AP， AE=PE=AP， APE 为等边三角形， BAP=60，
18、 BAD=BAP+DAN=60+45=10519. 【答案】(1) 点 A 的坐标为 0,4，设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+4，代入 4,0 得：4k+4=0，解得：k=1，则直线 AB 的函数解析式为 y=x+4(2) 如图 2，连接 QP，QB PB，PD 的垂直平分线交于点 Q， QD=QP=QB=QF，以 Q 为圆心，以 QD 为半径作 Q，QF 是直径， EFy 轴， DEF=90， E 在 Q 上，由已知得：OB=OC，BOD=COD=90，又 OD=OD， BDOCDOSAS， BDO=CDO， CDO=ADP， BDE=ADP，连接 PE， ADP 是 DPE 的一个
19、外角， ADP=DEP+DPE， BDE 是 ABD 的一个外角， BDE=ABD+OAB， ADP=BDE，DEP=ABD， DPE=OAB， OA=OB=4，AOB=90， OAB=45， DPE=45， DFE=DPE=45， DEF=90， DEF 是等腰直角三角形， DF=2EF(3) 如图 3，过点 F 作 FHOB 于点 H DBO+OBF=90，OBF+BFH=90， DBO=BFH，又 DOB=BHF=90， BODFHB， OBFH=ODHB=BDFB=2， FH=2，OD=2BH， FHO=EOH=OEF=90， 四边形 OEFH 是矩形， OE=FH=2， EF=OH=
20、4BH=412OD， DE=EF， 2+OD=412OD，解得：OD=43， 点 D 的坐标为 0,43， 直线 CD 的解析式为 y=13x+43，由直线 AB 的函数解析式为 y=x+4；得 x+4=13x+43，解得：x=2，则点 P 的坐标为 2,220. 【答案】(1) 如图，过点 B 作 BHOA 于点 H，因为 AOB 为等边三角形，所以 BO=BA，因为 BHOA，所以 OH=AH，因为点 B 横坐标为 4，所以 OH=4，所以 OA=2HO=8(2) 如图，过点 M 作 MPAB 于点 P，所以 MPA=90，因为 BM=MN，所以 BP=PN，因为 AOB 为等边三角形，所
21、以 BA=AO=8，BAO=60，所以 AMP=30，所以 AP=12AM，因为 AM=8t，所以 AP=128t=412t，所以 BP=ABAP=4+12t，所以 BN=2BP=8+t，所以 d=8+t(3) 过点 N 作 NKOB，交 x 轴于点 K，过点 N 作 NRx 轴于点 R，因为 AOB 为等边三角形，所以 BOA=60=OAB，因为 NKOB，所以 NKA=BOA=60，且 OAB=NAK=60，所以 NAK=NKA=60，所以 AKN 是等边三角形，所以 AN=NK=AK，所以 MND 为等边三角形，所以 NMD=MND=60，MN=MD，所以 OMD+NMK=NMK+MNK
22、=18060=120，所以 OMD=MNK，所以 AN=8+t8=t，OM=t，所以 OM=AN=NK=AK=t，且 OMD=MNK，MD=MN，所以 OMDKNMSAS，所以 OD=MK，MOD=MKN=60，因为 MK=8t+t=8，所以 OD=8，因为 EH 垂直平分 MA，所以 AH=MH=12AM=128t=412t，所以 OH=OM+MH=t+412t=4+12t，因为 OEH=9060=30，所以 OE=2HO=8+t，所以 DE=8+t8=t，所以 DE=AN，因为 DOA=BAO，所以 BNOE，所以 NAF=DEF，又因为 AFN=EFD，AN=DE，所以 AFNEFDAAS，所以 FN=FD，又因为 MN=MD，所以 MFDN，因为 NRAK，所以 ARN=90，且 NAK=60，所以 ANR=30，所以 AR=12AN，因为 MR=AM+AR=AM+12AN，MF=AM+12AN，所以 MR=MF，且 MFDN，NRAK，所以 MNR=MND=60，所以 NMA=9060=30，因为 BAO=AMN+ANM，所以 AMN=ANM=30，所以 AM=AN，所以 8t=t，所以 t=4，所以 OH=4+124=6，所以点 E 的横坐标为 6学科网（北京）股份有限公司