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1、中考数学高频考点突破二次函数与三角形1如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，交抛物线的对称轴于点（1）求抛物线的解析式；（2）点是第二象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点的坐标；（3）点是对称轴左侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以，为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由2在平面直角坐标系中，规定：抛物线的“伴随直线”为例如：抛物线的“伴随直线”为，即（1）在上面规定下，抛物线的顶点坐标为_，“伴随直线”为_（2）如图，顶点在第一象限的抛物线与其“伴随直线”相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D若
2、为等腰三角形时，求a的值：如果点是直线BC上方抛物线上的一个动点，的面积记为S，当S取得最大值2时，求a的值3如图，二次函数的图象与轴交于，与轴交于点若点，同时从点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点的坐标；（2）当点运动到点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由（3）当，运动到秒时，沿翻折，点恰好落在抛物线上点处，请判定此时四边形的形状，并求出点坐标4如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+8（a0）与x轴交于点
3、A（8，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，AC交抛物线的对称轴l于点E（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第二象限内抛物线上的动点，连接PA，PC，当SPAC=SABC时，求点P的坐标；（3）点N是对称轴l左侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以M，N，E为顶点的三角形与AOC相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由5如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C连接BC，点D(t，0)为线段OB上一动点（不与O、B重合），DFx轴交抛物线于点F，交线段BC于点E连接AE、CF（1）求点A、点B和点C的坐标；（2）设AD
4、E的面积为S，求S的最大值；（3）若CEF为等腰三角形，请直接写出t的值6如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线yx2+bx+c经过点A和点B，且其顶点为D（1）求抛物线的表达式；（2）求BAD的正切值；（3）设点C为抛物线与x轴的另一个交点，点E为抛物线的对称轴与直线yx3的交点，点P是直线yx3上的动点，如果PAC与AED是相似三角形，求点P的坐标7如图10-1，以点为顶点的抛物线与直线交于两点，且点A坐标为，点B在y轴上（1）求抛物线解析式；（2）若点D是抛物线上位于直线上方的一点（如图10-2），过点D作轴于点E，交直线点F，求线段长度的最大值；
5、（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由8如图，二次函数的图象与x轴、y轴交于点、C三点，点P是抛物线位于一象限内图象上的一点（1）求二次函数的解析式；（2）作点P关于直线的对称点D，求四边形面积的最大值；（3）在（2）的条件下，连接线段，将线段绕点C逆时针旋转到，连接交抛物线于点F，交直线于点G，试求当为直角三角形时点F的坐标9已知：如图1，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性恒为等腰三角形，我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”（1）如图2，求出抛物线的“完
6、美三角形”斜边的长；抛物线与的完美三角形的斜边长的数量关系是_；（2）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为4，求的值；（3）若抛物线的“完美三角形”斜边长为，且的最大值为1，求，的值10我们定义：如图1，在与中，两三角形有公共顶点所在射线逆时针旋转到所在射线，所在射线逆时针旋转到所在射线，我们称与互为“旋补比例三角形”（1）如用1，与互为旋补比例三角形，时，_，_（2）如图2，在中，与互为旋补比例三角形，延长至点E，使，连结，求证：与互为旋补比例三角形（3）如图3在中，点A在x轴的正半轴上，点B在第二象限，抛物线经过点B，与y轴交点为（点按逆时针排列）与互为旋补比例三角形，点P在抛物线的对称轴上
7、站动，当点构成的三角形是以A为顶角顶点的等腰三角形时，求点Q的坐标11如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，D为抛物线顶点，连接，已知（1）求点D的坐标以及a的值；（2）如图，连接，交抛物线对称轴于点E，P为直线下方抛物线上的一个动点（不与AD重合），连接，求四边形面积的最大值及相应点P的坐标；（3）将直线沿射线方向平移个单位后得到直线l，直线l与抛物线的两个交点分别为M，N（M在N左侧），在抛物线对称轴上是否存在点K，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由12如图1，已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接、（1）求抛物线的
8、解析式；（2）如图2，点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交于点，过点作于点，当的周长最大时，求出的周长最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，当 的周长最大时，将点沿射线的方向平移个单位至点，再将线段沿射线方向平移，点、的对应点分别记为点、在平移过程中，点、是否能构成以为腰的等腰三角形，若能，直接写出点的横坐标；若不能，请说明理由13如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax，顶点为点N（1）求过A、C两点直线的解析式；（2）当点N在半圆M内时，求a的取值范围；（3）过点A作M
9、的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F，B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点的坐标14在平面直角坐标系中，已知抛物线（，是常数，）经过点，（1）求这条抛物线的表达式（2）在第一象限内对称轴上有一点，满足，求四边形的面积（3）为下方抛物线上一动点，连接，若为直角三角形，求点的坐标15已知地物线与轴交于点，点在该抛物线上（1）若抛物线的对称轴是直线，请用含的式子表示；（2）如图1，过点作轴的垂线段，垂足为点连结和，当为等边三角形时，求抛物线解析式；（3）如图2，在（2）条件下，已知为轴上的一动点，连结和，当时，求满足条件的点的坐标16如图，抛物线与轴相交于两点（点在点右侧）
10、，与轴正半轴交于点，且动点从点出发以每秒1个单位的速度向点运动，过作轴交第一象限的抛物线于点，交于点，连接，（1）求抛物线的解析式；（2）当的面积最大时，求点运动的时间；（3）若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标17如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于两点(点在点的左侧)，与轴交于点，连接（1）求点A、点和点的坐标；（2）如图，若点为第四象限内抛物线上一动点，点的横坐标为的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形?若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由18如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，
11、其对称轴与线段BC交于点E垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点（1）求二次函数解析式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在移动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案：1（1）；（2）P点坐标为(-2，12)或(-6，8)；（3）(-3，8) 或(-3，11) 或(-3，)【分
12、析】（1）直接将A(8，0)和点B(2，0)代入，解出a，b的值即可得出答案；（2）先求出点C的坐标及直线AC的解析式，再根据图及题意得出的面积；过点P作PGx轴，交x轴于点G，交AC于点F，设P(t，)，则F(t，t+8)，根据的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标；（3）由题意得出为等腰直角三角形，即以M，N，E为顶点的三角形也为等腰直角三角形进而分当MN=ME，且时、当MN=NE，且时、当MN=NE，且时的三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案【解析】（1）抛物线过点A(8，0)和点B(2，0)， ，解得：抛物线解析式为：（2）当时，C(0，8)，设直线AC解析
13、式为：，解得：，故直线AC解析式为：，过点P作PGx轴，交x轴于点G，交AC于点F，如图 设P(t，)，F(t，t+8)，即解得：对于，当时，；当时，P点坐标为(-2，12)或(-6，8)（3）根据题意可知l为A(-8，0)、B(0，8)，为等腰直角三角形当x=-3时，E(-3，5)以M，N，E为顶点的三角形与AOC相似，以M，N，E为顶点的三角形也为等腰直角三角形故分类讨论：当MN=ME，且时，如图设M (3，y)，N(x，y),MN=ME，即，N(x，)，解得：点N在l左侧，舍去当时，故此时M点坐标为(-3，8)当MN=NE，且时，如图，作于点F设M(3，y)，则根据等腰直角三角形的性质可
14、知，N点坐标为(，)，解得：点M在射线ED上，即在E点上方，舍去此时M点坐标为(-3，11)当ME=NE，且时，如图对于，当时，即，解得：（舍）N(，5)，M(-3, )【点评】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识点，综合性比较强，较难利用分类讨论的思想和添加合适的辅助线是解答类似题的关键2（1），；（2）；【分析】（1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式；（2）联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点A、B的坐标，还可求得抛物线与x轴的交点C、D的坐标，从而可求得AC2、BC2，根据图形可知ABC为等腰三角形
15、时，只能是AC=BC，从而可求得a的值；由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，过P作x轴的垂线交BC于点Q，设点P的横坐标为x，则可用x表示PQ的长，进一步表示出ABC的面积，利用二次函数的性质得到关于a的方程，求得a的值【解析】解：（1）顶点坐标为，“伴随直线”为（2）其伴随直线为，即，联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，在中，令可解得或，当为等腰三角形时，只存在一种可能为，如图所示，即，解得（抛物线开口向下，正值舍去）若为等腰三角形时，a的值为；设直线BC的解析式为，解得，直线BC解析式为，过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，设点P的横坐标为x，是直线BC上方抛物线上的一个动点，当时
16、，的面积有最大值，取得最大值时，即，解得【点评】本题为二次函数的综合题，涉及待定系数法、二次函数的性质、函数图象的交点、方程思想等知识，在（1）中注意伴随直线定义的理解，在（2）的第一问中，分别求得A、B、C、D 四点的坐标是关键，在第二问中用x的代数式表示出PBC的面积是解题的关键本题考查的知识点较多，综合性较强，难度适中3（1）；（2）存在，点坐标为、或或；（3）菱形，【分析】（1）根据韦达定理即可求得、的值，即可得到该二次函数的解析式，然后令，即可得到点的纵坐标，此题得解；（2）由题目已知条件可知，存在满足条件的点，根据已知条件以及第（1）问可得，分以下三种情况分别讨论即可：；，即可得到
17、点的坐标；（3）如图2，点关于与点对称，过点作于，根据题目已知条件以及翻折的意义可知四边形为菱形；根据可得，根据相似比即可求得、的值（用表示），即可求得点的坐标（用表示），根据，即可求得点的坐标（用表示），再根据在二次函数上，即可求得的值，进而可得点的坐标【解析】（1）二次函数的图象与轴交于，该二次函数的解析式为，当时，；（2）如图1，存在满足条件的点，当点运动到点时，此时，存在以下3种情况：图1当时，点坐标；，此时，点坐标；当时，设此时的坐标为，则，解得，或，或，综上所述：点坐标为、或或；（3）四边形为菱形，图2如图2，点关于与点对称，过点作于，沿翻折，点恰好落在抛物线上点处，平行四边形为菱
18、形，且，又，点在二次函数上，代入解得，【点评】本题考查了二次函数解析式的求解、二次函数和直线交点的求解、菱形的判定和性质、等腰三角形的性质、翻折的意义、相似三角形的判定和性质等知识点，解答本题的关键是综合利用以上知识点，利用表示出点的坐标，进行求解4（1）y=x2-3x+8；（2）点P坐标为（6，8）或（2，12）；（3）存在；M坐标为（3，8）或（3，5+）或（-3，11）【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a(x+8)(x-2)，根据x=0时，y=8，代入即可得出答案；（2）先求出直线AC解析式，再求出SPAC=SABC=24，过点P作PFy轴交AC于点F，设点P（t，t23t+8），则F
19、（t，t+8）根据面积公式列方程求解即可得出答案；（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=a(x+8)(x-2)x=0时，y=816a=8a=y=(x+8)(x-2)抛物线的解析式为y=x2-3x+8；（2）点A（-8，0），点C（0，8）直线AC解析式为y=x+8SABC=ABOC=40SPAC=SABC=24过点P作PFy
20、轴交AC于点F，设点P（t，t23t+8），则F（t，t+8）PF=t24tSPAC=PFOA=24即（t24t）8=24t1=6，t2=2点P坐标为（6，8）或（2，12）（3）存在C（0，8），A（-8，0），COA90，OAC为等腰直角三角形，抛物线的对称轴为，点E的横坐标为-3，又点E在直线AC上，点E的纵坐标为5，E（-3，5），设，当MNEM，EMN90，NMECOA，则，解得： 或（舍去），此时点M的坐标为（-3，8），当MEEN，当MEN90时，NMEAOC，则，解得：或（舍去），此时点M的坐标为；当MNEN，MNE90时，此时MNE与COA相似，此时的点M与点E关于的结果（3
21、，8）对称，设M（-3，m），则m885，解得m11，M（-3，11）；此时点M的坐标为（-3，11）；故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与OBC相似，点M的坐标为：点M坐标为（3，8）或或（-3，11）【点评】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线5（1）A(，0)，B(4，0)，C(0，-3)；（2）；（3）t的值为1，或【分析】（1）分别把y=0和x=0代入函数解析式，即可求出点A、点B和点C的坐标；（2）先求出BC解析式为，根据点D坐标为（t
22、，0），则E（t，），根据三角形面积公式即可得到S关于t的函数关系式，根据二次函数性质即可求解；（3）分别用含t的式子表示出EF2， ， 分CE=EF、CF=CE、CF=EF三种情况分类讨论求解，舍去不合题意的解，问题得解【解析】解：（1）当y=0时，解得：，A（，0），B（4，0），当x=0时，y=-3，C（0，-3）；（2）B（4，0），C（0，-3），BC解析式为.DFx轴，交线段BC于点E，点D坐标为（t，0），E（t，），DE=，AD=，S= ，S的最大值为；（3）点D坐标为（t，0），点F坐标为，EF2=，作CGEF于G，则，当CE=EF时， ，解得，；当CF=CE时， ，解得，；
23、当CF=EF时，解得，；t的值为1，或【点评】本题为二次函数综合题，考查了二次函数、勾股定理、等腰三角形分类讨论等知识，理解二次函数图象与性质，根据勾股定理表示出线段长，理解等腰三角形分类讨论思想是解题关键6（1）yx22x3；（2）；（3）P点坐标为（5，2）或（7，4）【分析】（1）根据一次函数yx-3可以求出A点和B点坐标，把A点和B点坐标代入即可求出抛物线的表达式；（2）利用勾股定理分别求出AB、AD、BD的长度，再根据勾股定理逆定理可以证明ABD是直角三角形，从而可以求出BAD的正切值；（3）先通过计算得出，则P点在x轴上方，然后分或两种情况进行讨论即可得到答案【解析】解：（1）在y
24、x-3中，x0时，y-3，y0时，x3，A(3，0)，B(0，-3)，把A(3，0)，B(0，-3)代入得：，解得，抛物线的表达式为；（2），D (1，-4)，又A(3，0)，B(0，-3)， ，ABD是直角三角形，且ADB90；（3）如图，OAOB3，AOB90，1245，又DEOB，3245，AED135，又PAC与AED相似，145，点P在x轴上方，且或，在y=x-3中，x=1时，y=-2，在中，y0时，x1=-1，x2=3，E(1，-2)，C(-1，0)，AC3-(-1)4，DE(-2)-(-4)2，或，解得：或，过点P作PQx轴于点Q，又4145，PAQ是等腰直角三角形，当时，AQ2
25、，此时P(5，2)，当时，AQ4，此时P(7，4)，综上所述，P点坐标为(5，2)或(7，4)【点评】本题为二次函数综合题考查一次函数与坐标轴的交点问题，利用待定系数法求函数解析式，两点的距离公式，勾股定理，三角函数解直角三角形，相似三角形的性质以及等腰直角三角形的判定和性质等知识利用数形结合的思想结合分类讨论并正确的作出辅助线是解答本题的关键7（1）抛物线的解析式；（2）当时，有最大值为2；（3）存在，点P的坐标分别为或【分析】（1）根据题意设抛物线的顶点式解析式，再把代入，利用待定系数法解题；（2）设，则F的坐标为，计算DF的长，利用配方法求最值即可；（3）过点A作于点，设的坐标为，得到点
26、A的坐标，解得即可解题；过点A作于点A，交直线于点，设的坐标为，得到，证明，利用相似三角形对应边成比例解得【解析】解：（1）设抛物线的解析式为顶点把代入解析式得：抛物线的解析式；（2）设，则F的坐标为当时，有最大值为2；（3）存在，过点A作于点点在对称轴直线上设的坐标为点A的坐标为点的坐标为过点A作于点A，交直线于点于点A于点点在对称轴直线上设的坐标为解此方程得：点的坐标为综上所述，点P的坐标分别为或【点评】本题考查二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、配方法求最值、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键8（1）；（2）16；（3）(，)或(，)【分
27、析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）过P作PN轴交BC于N，求得直线BC的解析式为，设P(，)，则N(，)，利用三角形面积公式以及二次函数的性质即可求解；（3）连接CD，DE交BC于点G，根据对称以及旋转的性质求得DGB=，再分当CFG=和GCF=两种情况讨论【解析】（1）二次函数的图象经过点A(1，0)、B(4，0)，解得：，二次函数的解析式为；（2）过P作PN轴交BC于N，对于，当时，点C的坐标为(0，4)，设直线BC的解析式为，解得，直线BC的解析式为，设P(，)，则N(，)，的最大值为8，四边形面积的最大值为；（3）连接CD，DE交BC于点G，P、D关于直线BC对称，CP=CD，C
28、BPD，DCB=PCB，由旋转的性质得CP=CE，且PCE=，CP=CD=CE，设DCB=PCB=，DGB=，当CFG=，则BCF=，过F作FTBC于T，过T作TN轴于N，过F作FQNT并交NT延长线于Q，OC=OB，OCB=，CNT和TQF都是等腰直角三角形，CNTTQF，设QF=TQ=，则NT=CN=，点F在的图象上，解得：(舍去)，点F的坐标为(，)；当GCF=，则CFBC，过F作FI轴于I，OCB=，GCF=，FCI=，FCI是等腰直角三角形，设FI=n，则CI=n，点F的坐标为(，)，点F在的图象上，解得：(舍去)，点F的坐标为(，) 综上，点F的坐标为(，) 或(，)【点评】本题主
29、要考查的是二次函数的综合应用，相似三角形的性质，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，二次函数的性质，特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，作出适当的辅助线，找出所求问题需要的条件9（1）；相等；（2）；（3），【分析】（1）过点作轴于，由题意可知为等腰直角三角形，设出点的坐标为，根据二次函数得出的值，然后得出的值；因为抛物线与的形状相同，所以抛物线与的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；（2）根据抛物线的性质相同得出抛物线的完美三角形全等，从而得出点的坐标，得出的值；根据最大值得出，根据抛物线的完美三角形的斜边长为得出点的坐标，然后代入抛物线求出和的值
30、（3）根据的最大值为1，得到化简得，抛物线的“完美三角形”斜边长为，所以抛物线的“完美三角形”斜边长为，得出点坐标，代入可得关系式，即可求出、的值【解析】（1）过点作轴于， AMB为等腰直角三角形，ABM=45，ABx轴，BMN=ABM=45，MBN=90-45=45，BMN=MBN，MN=BN，设点坐标为，代入抛物线，得，（舍去），MN=BN=1，在RtAMB中，抛物线的“完美三角形的斜边抛物线y=x2+1与y=x2的形状相同，抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；故答案为：相等 （2）抛物线与抛物线的形状相同，抛物线与抛物线的完美三角形”全等，抛物线的“完美
31、三角形”斜边的长为4，抛物线的“完美三角形”斜边的长为4，点坐标为或，（3）的最大值为1，抛物线的“完美三角形”斜边长为，抛物线的“完美三角形”斜边长为，点坐标为，代入抛物线，得，n0，【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏10（1）120；（2）见解析；（3），或，【分析】（1）根据题意直接得出结论即可（2）判定，结合旋补比例三角形的定义，证得，即可（3）根据题意，证得为等腰直角三角形，再分类画图，根据“一线三等角“构造全等，得出结论即可【解析】解：（1）由题意可知，故答案为：120
32、；（2）证明：，与互为旋补比例三角形，又，与互为旋补比例三角形（3），过点作轴于点，抛物线经过点和，解得，对称轴为直线，与互为旋补比例三角形，如图，过点作于点，即点与点重合，为等腰直角三角形，、为以为顶角的等腰三角形，当点在轴上方时，过点作于点，则，如图：此时点坐标为，为等腰直角三角形，又，；当点在轴下方时，过点作轴于点，过点作于点，则，如图：此时点坐标为，与中同理可证，综上，点的坐标为，或，【点评】本题考查了属于二次函数综合题，考查了二次函数在新定义中的应用，需要读懂定义，采用数形结合与分类讨论的方法，以及熟练掌握待定系数法、相似三角形的判定与性质、全等三角形的构造等知识点是解题的关键11（
33、1）；（2）四边形面积的最大值为；（3）存在，或或【分析】（1）由抛物线，令 求解 可得抛物线的对称轴为：直线 如图，记抛物线的对称轴与轴交于 求解 再利用，求解 可得再代入函数解析式求解即可得到答案；（2）如图，过作轴交于 由 可得：最大，则最大，再求解直线为： 直线为： 可得 设 可得 可得 由在的下方，则 可得：当时，的面积的最大值为： 从而可得四边形面积的最大值为 此时：（3）如图，点沿方向平移个单位到 则 过作交抛物线于 过作轴于 由 求解 与的解析式为为： 联立，求解 设 且是以为腰的等腰三角形，再分两种情况：当时， 当时，利用勾股定理可得 或或【解析】解：（1） ，令 抛物线的对
34、称轴为：直线 如图，记抛物线的对称轴与轴交于 所以抛物线的解析式为： 即 （2）如图，过作轴交于 为定点，则为定点，是定值，最大，则最大， 设为 解得： 所以直线为： 同理：直线为： ， 设 由在的下方，则 当时，的面积的最大值为： 所以：四边形面积的最大值为 此时：（3）如图，点沿方向平移个单位到 则 过作交抛物线于 过作轴于 设 则 所以设为 为： ，解得： 设 且是以为腰的等腰三角形当时，则 解得： 当时，则 综上：或或【点评】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与二次函数的解析式，列有关面积的二次函数的解析式，二次函数的性质，点的平移与直线的平移的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判
35、定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键12（1）；（2）周长最大值为：，此时；（3）能构成等腰三角形，点的横坐标为：或或【分析】（1）利用待定系数法将、三点代入到中，即可求得a、b、c的值；（2），过点P作轴交BC于点H，利用平行线的性质可得，利用其正切值相等即可得到，利用直角三角形的性质即可得到，则可得，在中，利用的正切值，即可求得与的关系，则，设，利用直线的解析式将点H的坐标表示为，即可求得，即当时，取得最大值，最大值为，进而即可求得点P的坐标；（3）利用待定系数法求出的解析式，再由，求出的解析式，据此可以求出的坐标，过点作直线，即可得直线的解析式，设，则，由（2）可知，则
36、可表示出和的长，进而根据和两种情况求得的值，进而即可求得的横坐标【解析】（1）点、在抛物线的图像上，将点A、B、C的坐标代入得：，解得，；（2）如图3，过点P作轴交BC于点H，图3轴，又，当取最大值时，取最大值，设，设直线的解析式为：，将点B、C的坐标代入得：，解得，当时，取得最大值，最大值为，的最大值，将代入到中，得，；（3）设直线的解析式为：，点、，解得，直线的解析式为：，设，（舍去），过点作直线，直线：，设，则，由（2）可知，,当时，整理得：，解得：，点的横坐标为：；当时，整理得：，解得：，的横坐标为或，综上，的横坐标为：或或【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数和一元二次函数的解析式
37、、平行线的性质、三角函数、三角形周长、一元二次函数的性质、平移的规律、求坐标系中两个点的距离等知识，解答本题的关键是正确的做出辅助线，利用平移规律，并灵活运用以上知识13（1）；（2）；（3）【分析】（1）依题意得坐标，用待定系数法即可求得过A、C两点直线的解析式；（2）由A、B两点坐标与抛物线的解析式可得顶点坐标，由抛物线、半圆的轴对称可得a的取值范围；（3）根据切线的性质定理，矩形的边长及勾股定理可得各边长，与相似，分情况讨论点在的下方与上方即可求得结果【解析】（1）在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，所以 设过A、C两点直线解析式为，则 解得 ，故过A、C两点直
38、线解析式为；（2）设过A、B两点抛物线的解析式为整理得则顶点的坐标为 ，由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点且与垂直的直线上，又点在半圆内，所以 解得；（3）设，则， 在中，由勾股定理得，得 由得，即 当点在的下方时，由，得 当点在的上方时，由，得 由得，即 当点在的下方时，由，得 当点在的上方时，由，得 综上点的坐标为，【点评】本题考查了圆、一次函数及二次函数，掌握它们的基本性质定理是解题的关键14（1）；（2）；（3）或【分析】（1）根据原解析式可确定该函数的对称轴，从而根据对称性确定抛物线经过原点，得到c的值，然后代入B的坐标求解得到a，即可得到答案；（2）将四边形分为和两部分
39、求解即可；（3）设D的坐标，分别表示出AB，BD，AD的长度，从而根据直角三角形的勾股定理建立方程求解即可【解析】（1）由题意得：抛物线对称轴，关于对称轴的对称点，则，将代入，得，则抛物线的表达式为：（2），又由（1）得对称轴为，的高，（3）设点坐标为，已知，为下方抛物线上一动点，为直角三角形，只能是，则，化简得，解得，故的坐标为或【点评】本题考查求二次函数的解析式，以及二次函数与直角三角形综合问题，准确求取解析式并利用直角三角形的性质进行存在性问题的判断是解题关键15（1）；（2）；（3），【分析】（1）直接根据对称轴为代入a，b计算即可得出答案；（2）首先根据点B的坐标及等边三角形求出AC
40、，OC的长度，然后利用勾股定理求出AO的长度，从而得出c的值，最后将点B代入解析式中即可求解；（3）根据等边三角形的性质及圆周角定理确定出点P的位置从而可确定出点P的坐标【解析】（1），（2）为等边三角形，轴，在中，把代入，得，（3）如图，由（2）知为等边三角形，由同弦所对圆周角等于圆心角的一半可知，以点为圆心，为半径作圆，经过点在轴上，点即为圆与轴的交点，由轴对称性可知，【点评】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，等边三角形的性质及圆的有关性质是解题的关键16（1）；（2）当的面积最大时，点运动的时间为秒；（3）的坐标为或【分析】（1）根据解析式求出A、B两点坐标，再根据，求出C
41、点坐标，代入解析式求a即可；（2）设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，表示DE长，再以DE为底表示DEC和DEB面积，求和得到的面积关于m的二次函数，利用二次函数性质求最大值，求出P点坐标即可；（3）设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，表示出有关线段长，根据不同对应关系分类讨论，列比例式即可【解析】（1）令，则，解得：，又，抛物线解析式为；（2）设点的坐标为，则点的坐标为，设直线的解析式为，将代入，得：，解得：直线的解析式为，点的坐标为，由二次函数的性质可知：当时，最大，此时，而，又点的运动速度为每秒1个单位，点运动的时间为秒，即当的面积最大时，点运动的时间为秒（3）设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，若以点为顶点的三角形与相似，则存在和两种情况，又轴，当时，