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1、中考数学专题锐角三角函数与圆的综合一、综合题1如图，AB是的弦，点C是在过点B的切线上，且且交AB于点P.（1）求证：（2）若的半径为，求证：为等边三角形.2如图，AB为O的直径，PD切O于点C，与BA的延长线交于点D，DEPO交PO延长线于点E，连接PB，EDBEPB.（1）求证：PB是O的切线. （2）若PB3，tanPDB ，求O的半径. 3如图，AB是O的直径，AC切O于点A，连接BC交O于点D，点E是 的中点，连接AE交BC于点F （1）求证：AC=CF； （2）若AB=4，AC=3，求BAE的正切值 4如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E，点F
2、为CE的中点，连接DF，DE，AD.（1）求证：CDDE.（2）若OA5，sinCAB ，求DF的长. 5如图，直线 与O相切于点D，过圆心O作EF 交O于E、F两点，点A是O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线 于B、C两点； （1）求证：ABC+ACB=90；（2）若O的半径 ，BD=12，求tanACB的值. 6如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O与边BC交于点D，DEAC，垂足为E，交AB的延长线于点F（1）求证：EF是O的切线； （2）若C60，AC12，求 的长 （3）若tanC2，AE8，求BF的长 7如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，CAB的平分线交O于点D，过
3、点D作BC的平行线分别交AC，AB的延长线于点E，F.（1）求证：EF是O的切线； （2）设AC=x，AF=y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长； （3）若BF=2， ，求AD的长. 8已知：如图，在ABC中，AB=AC，点P是底边BC上一点且满足PA=PB，O是PAB的外接圆，过点P作PDAB交AC于点D.（1）求证：PD是O的切线； （2）若BC=8，tanABC= ，求O的半径. 9如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D（1）求证：平分；（2）若，求的长10如图，点C是以为直径的半圆O上一动点，作半径的垂直平分线交于点F，交于点E，交切线于点D.（1）判断的形状
4、，并说明理由；（2）若的半径是2，求的长.11如图，AC是O的直径，BC，BD是O的弦，M为BC的中点，OM与BD交于点F，过点D作，交BC的延长线于点E，且CD平分（1）求证：DE是O的切线；（2）若DE=12，求BM的长12如图，是的直径，是的两条切线，切点分别为B，C延长、相交于点D（1）求证：；（2）设的半径为2，求的长13如图，是半圆的直径，半径，是延长线上任意一点，切半圆于点，连结，交于点.（1）求证：.（2）若，求的长.14如图，已知是的直径，是的切线，切点为点弦，直线、相交于点（1）求证：直线是的切线；（2）若：，求的值15如图，AB是O的弦，C为O上一点，过点C作AB的垂线与
5、AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与O交于点E，连接EC，（1）求证：CD是O的切线；（2）若，求AB的长16如图，内接于，的直径与弦相交于点，过点的切线交的延长线于点（1）求证：BC/DF；（2）若，求的长17如图，已知ABC的边AB是O的切线，切点为E，AC经过圆心O并与圆相交于点F，CB交O于D，连接CE，DE，EF，且DEEF.（1）求证：ABBC；（2）若BC3， ，求AF的长. 18如图，在ABC中，以BC为直径的O交AC于点D，点E在O上，且，连接BE交AC于点F，已知BABF（1）求证：AB是O的切线；（2）若AF6，求O的直径19如图，已知AB是O的直径，P是半径OB上一
6、点，作弦交O于点C，D，其中，.E是上一点，延长AE交CD的延长线于点F，延长BD交EF于点G，连结DE.（1）求证：.（2）连结BC，当四边形BCEG中有一组对边平行时，求DE的长.（3）当时，求的值.20如图，在中，点O在上，点D在上，以点O为圆心，为半径作圆，交的延长线于点E，交于点F， （1）求证：为O的切线；（2）若O的半径为3，求的长答案解析部分1【答案】（1）证明：.， ，BC切于点B，OB为半径， ，.（2）证明：如图，作于， 是等边三角形.【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得AOC=90，根据切线的性质可得OBC=90，根据等腰三角形的性质可得A=OBA，结合等角的余角相
7、等可得APO=ABC，推出CPB=CBP，据此证明； （2）作ODAB于D，根据垂径定理可得AD=BD=3，利用三角函数的概念求出cosOBD的值，根据特殊锐角三角函数值得到OBD的度数，进而求出CBP的度数，然后结合CP=CB以及等边三角形的判定定理进行证明.2【答案】（1）证明： ， ， ， ， ， 半径 ， 是 的切线.（2）解：如图，连接 ， ， . 和 是 的切线， ， ，设 的半径是 ，则 ， 切 于点 ， ， ， ， .【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理可证得E=PBO，利用垂直的定义可证得E=PBO=90，然后利用切线的判定定理可证得结论.（2）连接OC，利用解直角三
8、角形求出BD的长，利用勾股定理求出PD的长；再利用切线长定理可求出PC的长；设圆的半径为r，利用切线的性质证明OCD是直角三角形，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值.3【答案】（1）证明：连接AD,BE， CA是O的切线，CAB=90，AB是直径，AEB=90，E是弧BD的中点，BAE=DAEAB是O的直径，ADB=90CAD+DAB=DAB+B=90，CAD=BCAD+DAE =B+BAE， CAF=CFAAC=CF（2）解：AB=4，AC=3， BC=5AC=CF=3，BF=2 ，BD= AD= ，DF= tanBAE= tanDAE = .【解析】【分析】（1）连接AD,BE
9、，若要证明AC=CF，则只要证明CAE=EFB=AFC即可；（2）易证得BF=2，根据cosABC= = = ，可求出BD的长，进而得到AD和DF的长，然后根据tanBAE=tanDAE求得即可4【答案】（1）证明：ABAC， CB，圆内接四边形ABDE，CEDB，CEDC，CDDE，（2）解：连接BE， AB为直径，AEB90，sinCAB ，AB2OA10，BE8，ABAC，ABC为等腰三角形，AB为直径，ADC90ADBC，由三线合一得：D是BC的中点，点F为CE的中点，FD为CEB的中位线，DF 4.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得CB，由圆内接四边形的性质可得CEDB，
10、推出CEDC，据此证明；（2）连接BE，由圆周角定理可得AEB90，ADB=90，根据三角函数的概念可得BE=8，根据等腰三角形的性质可得D是BC的中点，推出FD为CEB的中位线，据此求解.5【答案】（1）证明：如图，EF是O的直径，EAF=90.ABC+ACB=90 （2）解：连接OD，则ODBD，过点E作EHBC，垂足为点H， EHOD.EFBC，EHOD，OE=OD，四边形EODH是正方形.EH=HD=OD=5.BD=12，BH=7.在RtBEH中，tanBEH= .又ABC+BEH=90,ABC+ACB=90,ACB=BEH.tanACB .【解析】【分析】（1）由直径所对圆周角是直角
11、的性质和三角形内角和定理可得结论.（2）求出tanBEH= ，由ACB=BEH可得结论.6【答案】（1）证明：连接OD AB=AC ABC=COD=OB ABC=ODBC=ODB ODAC又DEAC ODDE，即ODEF EF是O的切线（2）解：AB=AC=12 OB=OD= =6 由（1）得：C=ODB=600OBD是等边三角形 BOD=600 = 即 的长 （3）解：连接AD DEAC DEC=DEA=900在RtDEC中, 设CE=x,则DE=2xAB是直径 ADB=ADC=900ADE+CDE=900 在RtDEC中,C+CDE=900C=ADE 在RtADE中, AE=8，DE=4
12、则CE=2 AC=AE+CE=10 即直径AB=AC=10 则OD=OB=5OD/AE ODFAEF 即： 解得：BF= 即BF的长为 【解析】【分析】（1）连接OD，根据等边对等角可得ABC=C，ABC=ODB，从而可得C=ODB，利用同位角相等两直线平行，可得ODAC，由DEAC可证ODEF，即证EF是O的切线.（2）利用（1）可得C=ODB=600 ，从而可得OBD是等边三角形，即得BOD=600 ，利用已知条件求出半径，然后利用弧长公式计算即可.（3）连接AD，根据同角的余角相等可得C=ADE，可得,从而求出DE的长，继而求出CE、AC、OD的长.根据平行线可证ODFAEF，利用相似三
13、角形的对应边成比例可求出BF的长.7【答案】（1）证明：连接OD. AB是O的直径，ACB90.EFCB，EACB90.OAOD，OADODA.又OADEAD，ODAEAD.EAOD.ODFE90.EF是O的切线（2）解：连接CD. EFBC，ABCF.ABCADC，FADC.DAFCAD，FADDAC. .AD2FACAxy.即 （3）解：设O半径为r. RtDOF中， ，即 .解得r1.RtABC中， ，即 .AC .又AF1124，由(2)知 .【解析】【分析】（1） 连接OD.根据直径所对的圆周角是直角，可得ACB90.利用两直线平行，同位角相等，可得EACB90.根据等边对等角及角平
14、分线定义，可得ODAEAD，利用内错角相等，两直线平行，可得EAOD，利用两直线平行同位角相等，可得ODFE90，即证EF是O的切线. （2）连接CD. 根据两角分别相等的两个三角形相似，可证 FADDAC.，利用相似三角形的对应边成比例，可得 ，求出 AD2FACAxy即可. （3）设O半径为r.RtDOF中 ，由 ，可得 ，求出r=1,从而可得AF=4.RtABC中， ，可求出AC= ，利用AD2FACA，即可求出AD的长.8【答案】（1）证明；如图1，连接OP， PA=PB， ，OPAB，PDAB，OPPD，PD是O的切线；（2）如图2，过C作CGBA，交BA的延长线于G， RtBCG中
15、，tanABC= ，设CG= x，BG=2x，BC= x，BC=8，即 x=8，x= ，AC=a，则AB=a，AG= a，在RtACG中，由勾股定理得：AG2+CG2=AC2， ( a)2+( )2=a2，a=2 ，AB=2 ，BE= ，RtBEP中，同理可得：PE= ，设O的半径为r，则OB=r，OE=r ，由勾股定理得：r2=(r- )2+( )2，r= ，答：O的半径是 .【解析】【分析】（1）先根据圆的性质得： ，由垂径定理可得：OPAB，根据平行线可得：OPPD，所以PD是O的切线；（2）如图2，作辅助线，构建直角三角形，根据三角函数设CG= x，BG=2x，利用勾股定理计算x= ，
16、设AC=a，则AB=a，AG= a，在RtACG中，由勾股定理列方程可得a的值，同理设O的半径为r，同理列方程可得r的值.9【答案】（1）证明：如图1，连接OC，CD为切线，又，即平分；（2）解：如图2，连接BC，为的直径，即，解得，【解析】【分析】（1）先证明，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出，即可得出结论；（2）连接BC，由为的直径，得出，推出，得出AC的值，再得出AD的值，利用勾股定理求解即可。10【答案】（1）解：是等腰三角形理由：连接，如图：是的切线，即，即是等腰三角形；（2）解：的半径是2，为的直径，垂直平分，即，.【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得OCD=90
17、，根据等腰三角形的性质可得A=OCA，推出DCE=AEF，根据对顶角的性质可得DEC=AEF，则DC=DE，据此解答；（2）根据圆的半径可得AB=4，根据圆周角定理可得ACB=90，由三角函数的概念可得BC，利用勾股定理可得AC，根据垂直平分线的性质可得AF=1，证明AEFABC，根据相似三角形的性质可得AE，然后根据CE=AC-AE进行计算.11【答案】（1）证明：如图，连接OD，AD，OD，OC为半径，OD=OC ODC=OCDCD平分ACE，OCD=ECD，DEBC，DEC=90，DCE+CDE=90ODC+CDE=90，即：ODE=90，OD为半径，DE是O的切线；（2）解：如（1）图
18、，连接AD可得CDE=CAD，根据同弧所对的圆周角相等，可得CAD=DBE，CDE=DBE；RtCDE中，DE=12，tanCDE=， CE=8，由CDE=DBE，RtBDE中，DE=12，tanDBE=，BE=18，BC=BE-CE=10，M为BC的中点，OMBC，BM = BC =5【解析】【分析】（1）利用角平分线及角的运算可得ODC+CDE=90，即ODE=90，再结合OD为半径，即可得到DE是O的切线；（2）先利用tanCDE=，tanDBE=，求出CE=8，BE=18，再利用线段的和差可得BC=BE-CE=10，最后利用垂径定理可得BM=BC =5。12【答案】（1）证明：连接，交
19、于，是的两条切线，为直径，是的切线，；（2）解：连接，是的切线，的半径为2，设，解得【解析】【分析】（1）连接OP，交BC于点E，根据切线长定理可得PC=PB，CPO=BPO，根据垂直的概念可得PEB=90，根据切线的性质可得ABP=90，由同角的余角相等可得EPB=ABC，据此证明；（2）连接OC，根据切线的性质可得OCD=90，根据三角函数的概念可得OD，利用勾股定理可得DC，设PC=x，然后由勾股定理求解即可.13【答案】（1）证明：连结， 是的切线，.，.，.（2）解：连结，在中， 可设，.在中，解得，是半圆的直径，.又，.【解析】【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得出OED=90
20、，根据等腰三角形的性质得出A=AEO，从而得出DEF=DFE，即可得出DE=DF；（2）连接BE，根据锐角三角函数的定义设OF=x，AO=3x=OE=OC，从而得出DE=2x+2，OD=3x+2，再根据勾股定理得出关于x的方程，解方程求出x的值，从而得出AF、AB、OA的长，再证出AFOABE，得出，求出AE的长，即可得出EF的长.14【答案】（1）证明：如图所示，连接，是的切线，在和中， （SAS），为的半径，直线是的切线（2）解：，设，则，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，【解析】【分析】（1）连接OE，先利用“SAS”证明可得，即，再结合OC为的半径，即可得到直线AC是的切线；（2
21、）设，则，利用勾股定理求出BE的长和OA的长，再利用，再结合可得。15【答案】（1）证明：连接OC，CD是O的切线；（2）解：连接AC，BC，BE是O的直径，即：，【解析】【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质可得E=OCE，结合外角的性质可得BOC=2E，由已知条件可知ABE=2E，则ABE=BOC，推出ABOC，结合ABCD可得OCCD，据此证明；（2）连接AC、BC，根据圆周角定理可得BCE=90，根据同角的余角相等可得BCD=OCE，根据等腰三角形的性质可得E=OCE，结合三角函数的概念可得CD、AD，然后根据AB=AD-BD进行计算.16【答案】（1）证明：为的直径，是的切线，
22、；（2）解：连接， ，【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得ADBC，由切线的性质可得ADDF，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行可得BCDF；（2）连接CD，由BAD的正弦函数值，可求出CE=BE=4，利用勾股定理求出AE=8，由AD垂直平分BC，可得AC=AB=4，由CAD的余弦函数求出AD=10，最后根据CAD的正切三角函数即可求出DF.17【答案】（1）证明：如图，连接OE， AB是O的切线，切点为E，OEAB，OEA=90，EF=ED，FCE=DCE，OE=OC，FCE=OEC，OE CB，B=OEA=90，ABBC.（2）解：设O的半径OC=OE=OF=r， BC=3，
23、sinA= ，B=90，AC=5，在直角三角形AOE中， ，解得： ，AF=52r=52 = .【解析】【分析】（1）连接OE，根据切线的性质可得OEA=90，根据等腰三角形的性质可得FCE=DCE，FCE=OEC，推出OE CB，然后根据平行线的性质进行证明；（2）设O的半径OC=OE=OF=r，根据三角函数的概念可得AC=5，再次利用三角函数的概念求出r，接下来根据AF=5-2r进行计算 .18【答案】（1）证明：，BCDDBE，BABF，AAFB，BC是直径，BDC90，DBEAFB90，BCDA90，ABC90，即ABBC，AB是O的切线；（2）解：BABF，BDC90，AF6，DF3
24、，在RtABC中，sinACB，ACBDBE，sinDBE，在RtBDF中，sinDBF，即BF5，BA5，即，BC，即O的直径为【解析】【分析】（1）先证明BCDDBE，AAFB，再结合DBEAFB90，可得BCDA90，即可得到ABC90，即ABBC，从而得到AB是O的切线；（2）先利用，ACBDBE，可得，所以，求出BF和AC的长，最后利用勾股定理求出BC的长即可。19【答案】（1）证明：，直径，（2）解：当时，则，直径，当时，则，CE为的直径，.（3）解：在中，.【解析】【分析】（1）根据邻补角的性质可得DEG+AED=180，根据圆内接四边形的性质可得ACD+AED=180，根据同角
25、的补角相等得DEG=ACD，根据圆周角定理可得AEC=ACD，据此证明；（2）当CEBG时，则ECD=GDF，根据对顶角的性质可得CDB=GDF，则ECD=CDB，推出BC=DE，根据垂径定理可得CP=PD=4，然后求出OP、PB、DE即可；当BCEG时，则AEC=ECB，由圆周角定理得BCE=BAE，则ACD=BAE，由（1）知DEG=ACD，则APDE，根据平行线的性质可得EDP=APF=90，据此求解；（3）根据三角函数的概念可得PF，然后求出DF，根据同角的余角相等可得ACE=F，证明ACEDFC，然后根据相似三角形的性质进行计算.20【答案】（1）证明：如图，在中，为的切线（2）解：， ，在中，在中，设，则在中，解得，【解析】【分析】（1）由圆周角定理得出，由直角三角形的性质得出，即可得出结论；（2）利用勾股定理得出OA的值，设，则得出，推出k的值，再利用勾股定理得出AB的值，即可得出BD的值。 37 / 37学科网（北京）股份有限公司