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1、中考数学专题专练-锐角三角函数与圆的综合1如图O是ABC的外接圆，AC是O的直径，过圆心O的直线PFAB于D，交O于E，F，PB是O的切线，B为切点，连接AP，AF.（1）求证：直线PA为O的切线；（2）求证：AC2=4ODOP；（3）若BC=6，求AC的长.2如图，D是ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DEAB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点FBGAD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB（1）求证：BGCD；（2）设ABC外接圆的圆心为O，若AB= DH，OHD=80，求BDE的大小 3已知：锐角三角形ABC内接于O（），于点D，于点E，AD、
2、AE交于点F.（1）如图1，若O直径为17，求BF的长；（2）如图2，连接OA，若，求OAD的大小.4如图，E是矩形ABCD中CD边上一点，BCE沿BE折叠为BFE，点F落在AD上.（1）求证：ABFDFE；（2）若sinDFE= ，求tanEBC的值.5如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P(2，1).（1）求该反比例函数的关系式；（2）过P作PCy轴于点C，设点A关于y轴的对称点为A，求ABC的周长和sinBAC的值.6如图，为了测出旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上一点C，测得旗杆顶部的仰角为45，在C、B之间选择一点D（B,C,D三点共线），测得旗
3、杆顶部的仰角为75，且CD=8米.（1）求D到CA的距离； （2）求旗杆AB的高度（保留根号）. 7宁波市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上其中tan=2， MC= 50米（1）求无人机的飞行高度AM； （结果保留根号）（2）求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：1.414，1.732）8已知：如图，在ABC中，C=90，点D，E分别在边AB，AC上，DEBC，DE
4、=3，BC=9.（1）求 的值；（2）若BD=10，求sinA的值.9如图，在ABC中，C=60，O是ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP（1）求证：PA是O的切线；（2）若AB=2 ，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号） 10如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=BO=2，AOB=120（1）求a，b的值；（2）连结OM，求AOM的大小11如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30 米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45（1）求CAD的大小； （2）求楼CD的高度（结果保留根号）
5、 12已知：如图，在ABC中，AB=8，AC=9，A=48 求：（1）AB边上的高（精确到0.01）； （2）B的度数（精确到1） 13如图，以ABC的边AB为直径作O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，ACB=2BAE （1）求证：AC是O的切线； （2）若sinB= ，BD=5，求BF的长 14如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k0）的图象与反比例函数 （m0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）.线段OA=5，E为x轴上一点，且sinAOE= . （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求AOC的面
6、积. 15如图，AB是O的一条弦，点C是半径OA的中点，过点C作OA的垂线交AB于点E，且与BE的垂直平分线交于点D，连接BD.（1）求证：BD是O的切线； （2）若O的半径为 ，CE1，试求BD的长.16如图，在ABC中，AC=BC，ACB=90，O（圆心O在ABC内部）经过B、C两点，交AB于点E，过点E作O的切线交AC于点F延长CO交AB于点G，作EDAC交CG于点D（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）若BC=3，tanDEF=2，求BG的值17如图，AB是O的直径，弦CD与AB交于点E，过点B的切线BP与CD的延长线交于点P，连接OC，CB （1）求证：AEEB=CEED；
7、（2）若O的半径为3，OE=2BE， = ，求tanOBC的值及DP的长 18如图，点E在以AB为直径的O上，点C是 的中点，过点C作CD垂直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F （1）求证：CD是O的切线； （2）若cosCAD= ，BF=15，求AC的长 19如图，在直角坐标系中，已知点 (4,0)，等边三角形 的顶点 在反比例函数 的图象上 （1）求反比例函数的表达式（2）把 向右平移 个单位长度，对应得到 ，当这个函数图象经过 一边的中点时，求 的值20如图，在ABCD中 过点A作AEDC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且AFE=D （1）求证：ABFBEC； （2
8、）若AD=5，AB=8，sinD= ，求AF的长 答案解析部分1【答案】（1）证明：如图，连接OB. PB是O的切线，PBO=90，OA=OB，AOB是等腰三角形.BAPO于D，AD=BD，POA=POB.又PO=PO，PAOPBO（SAS），PAO=PBO=90，OAAP，OA是O的半径，直线PA为O的切线.（2）证明：直线PA为O的切线， PAO=90.BAPO于D，PDA=ODA =90，PAO=ODA，AOD=POA，OADOPA，.OA2=ODOP.又AC=2OA，AC2=4ODOP；（3）解：OA=OC，AD=BD，BC=6， OD=BC=3.设AD=x，tanF=，FD=2x，O
9、A=OF=FD-OD=2x-3，在RtAOD中，由勾股定理，得（2x-3）2=x2+32，解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去），AD=4，OA=2x-3=5，AC是O的直径，AC=2OA=10，AC的长为10.2【答案】（1）证明：如图1，PC=PB， PCB=PBC，四边形ABCD内接于圆，BAD+BCD=180，BCD+PCB=180，BAD=PCB，BAD=BFD，BFD=PCB=PBC，BCDF，DEAB，DEB=90，ABC=90，AC是O的直径，ADC=90，BGAD，AGB=90，ADC=AGB，BGCD；（2）解：由（1）得：BCDF，BGCD， 四边形BCDH是平行四
10、边形，BC=DH，在RtABC中，AB= DH，tanACB= = ，ACB=60，BAC=30，ADB=60，BC= AC，DH= AC， 当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则DAM=90，AMD+ADM=90DEAB，BED=90，BDE+ABD=90，AMD=ABD，ADM=BDE，DH= AC，DH=OD，DOH=OHD=80，ODH=20ADB=60，ADM+BDE=40，BDE=ADM=20， 当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，由得：ADE=BDN=20，ODH=20，BDE=BDN+ODH=40，综上所述，BDE的度数为20或403【答案
11、】（1）解：如图，过C作的直径CG，连接AG，BG，则GAC=90，GBC=90，在RtAGC中，GABE，GBAD，四边形AGBF是平行四边形BF=AG=8（2）解：如图，过C作的直径CG，连接AG，BG，AD与CG交于点H，由（1）得，四边形AGBF是平行四边形BF=AG，BG=AF，AC=AG又OG=OC，AOGCAOC=90，在AOH和CDH中，AOH=CDH=90，AHO=CHD，HCD=HAO，在RtBCG中，sinBCG=，BCG=30，OAD=30.4【答案】（1）证明：由题意可得A=D=C=BFE=90，ABF=90-AFB，DFE=180-BFE-AFB=90-AFB=AB
12、F，ABFDFE.（2）解：由折叠可得FB=BC，EF=EC，sinDFE= ， 即EF=3DE.AB=CD=DE+EC=DE+EF=4DE，DF= =DE =2 DE.ABFDFE， 即FB= = =3 DE.又FB=BC，EF=EC，在RtBCE中，tanEBC= = = = .5【答案】（1）解：设反比例函数的关系式为y= .点P(2，1)在反比例函数y= 的图象上，k=21=2.反比例函数的关系式为y= .（2）解：如图，过点C作CDAB，垂足为D.当x=0时，y=0+3=3，则点B的坐标为(0，3)，OB=3.当y=0时，0=-x+3，解得x=3，则点A的坐标为(3，0)，OA=3.
13、点A关于y轴的对称点为A，OA=OA=3.PCy轴，点P(2，1)，OC=1，BC=2.AOB=90，OA=OB=3，OC=1，AB=3 ，AC= .ABC的周长为3 + +2.SABC= BCAO= ABCD，BCAO=ABCD，即23=3 CD，CD= .CDAB，sin BAC= = = .6【答案】（1）解：过点D作DEAC于点E， 测得旗杆顶部的仰角为45,即C=45，CD=8m， DE=CD sin45 = m，即D到CA的距离为 m（2）解： C测得旗杆顶部的仰角为45,即C=45， 又 D测得旗杆顶部的仰角为75,即ADB=75， CAD=ADB-C=30，在 中，CAD=30
14、， AE= DE=4 , AC=AE+EC=AE+ED=(4 +4 )m，在 中，C=45， AB=(4+4 )m.7【答案】（1）解：ABMC，ACM= ，AM=MCtan= 50 2 =100 (米).（2）解：如图，作BHMC于H点，HBD=90-30=60，HD=BHtanCBD=100 =300，CD=AH+HC =AB+HC =50+300-50 =350-501.73=263(米). 故河宽CD长为263米.8【答案】（1）解：DEBC，ADEABC， = .又DE=3，BC=9， = = .（2）解： 根据(1) = 得： = ，BD=10，DE=3，BC=9， = ，AD=5
15、，AB=15.在RtAB中，sin A= = = 9【答案】（1）解：如图，连接OA； C=60，AOB=120；而OA=OB，OAB=OBA=30；而AB=AP，P=ABO=30；AOB=OAP+P，OAP=12030=90，PA是O的切线（2）解：如图，过点O作OMAB，则AM=BM= ， tan30= ，sin30= ，OM=1，OA=2； = 1= ， = ，图中阴影部分的面积= 10【答案】（1）解：如图，过点A作AEy轴于点E，AO=OB=2，AOB=120，AOE=30，AE=1，EO= ，A点坐标为：（1， ），B点坐标为：（2，0），将两点代入y=ax2+bx得： ，解得：
16、a= ，b= （2）解：由（1）可知：抛物线的表达式为：y= x2 x；过点M作MFOB于点F，y= x2 x= （x22x）= （x1）2 ，M点坐标为：（1， ），tanFOM= = ，FOM=30，AOM=30+120=15011【答案】（1）解：过A作AECD于E，DAE=45，DE=AE=BC=30，EC=AB=30，tanCAE=，CAE=30，CAD=CAE+DAE=30+45=75；（2）解：CD=CE+DE=30+30 .12【答案】（1）解：作AB边上的高CH，垂足为H， 在RtACH中， ，CH=ACsinA=9sin486.69（2）解：在RtACH中， ， AH=AC
17、cosA=9cos48，在RtBCH中， ，B733213【答案】（1）证明：连接AD E是弧BD的中点， = ，BAD=2BAEACB=2BAE，ACB=BAD，AB为O直径，ADB=90，DAC+ACB=90BAC=DAC+BAD=90AC是O的切线（2）解：过点F作FGAB于点G BAE=DAE，ADB=90，GF=DF，在RtBGF中，BGF=90，sinB= = ，即 = ，解得，BF=314【答案】（1）解：过点A作ADx轴于D点，如图 sinAOE= ，OA=5，sinAO E= = = ，AD=4，DO= =3，而点A在第二象限，点A的坐标为（3，4），将A（3，4）代入y=
18、，得m=12，反比例函数的解析式为y= ；将B（6，n）代入y= ，得n=2；将A（3，4）和B（6，2）分别代入y=kx+b（k0），得 ，解得 ，所求的一次函数的解析式为y= x+2；（2）解：在y= x+2中，令y=0， 即 x+2=0，解得x=3，C点坐标为（0，3），即OC=3，SAOC= ADOC= 43=6.15【答案】（1）证明：连接OB，OB=OA, DE= DB ,A=OBA，DEB=ABD , 又CDOA ,A+AEC=A+DEB=90，OBA+ABD= 90 ,OBBD，BD是O的切线；（2）解：如图，作OHAB， O的半径为 ，点C是半径OA的中点，AC=OA=,CE
19、=1 ,tanA= .A=30 ,ACE=90，DEB=AEC=60,DF垂直平分BE ,DE= DB，DEB是等边三角形，BE=BD， 设EF=BF=x，AB= 2x+2， 过O作OHAB于H，AH=BH=x+1， AO=25 , .DEB是等边三角形， .BE= BD , 设EF= BF=x， .AB= 2x+2， 过O作OHAB于H，AH= BH=x+1， AO=2AO=3，AH=AB=6 ,BD=BE=AB-AE=4.16【答案】（1）解：连接CE，在ABC中，AC=BC，ACB=90，B=45，COE=2B=90，EF是O的切线，FEO=90，EFOC，DECF，四边形CDEF是平行
20、四边形；（2）解：过G作GNBC于M，GMB是等腰直角三角形，MB=GM，四边形CDEF是平行四边形，FCD=FED，ACD+GCB=GCB+CGM=90，CGM=ACD，CGM=DEF，tanDEF=2，tanCGM= =2，CM=2GM，CM+BM=2GM+GM=3，GM=1，BG= GM= 17【答案】（1）证明：连接AD， A=BCD，AED=CEB，AEDCEB， = ，AEEB=CEED；（2）解：O的半径为3， OA=OB=OC=3，OE=2BE，OE=2，BE=1，AE=5， = ，设CE=9x，DE=5x，AEEB=CEED，51=9x5x，解得：x1= ，x2= （不合题意
21、舍去）CE=9x=3，DE=5x= ，过点C作CFAB于F，OC=CE=3，OF=EF= OE=1，BF=2，在RtOCF中，CFO=90，CF2+OF2=OC2，CF=2 ，在RtCFB中，CFB=90，tanOBC= = = ，CFAB于F，CFB=90，BP是O的切线，AB是O的直径，EBP=90，CFB=EBP，在CFE和PBE中 ，CFEPBE（ASA），EP=CE=3，DP=EPED=3 = 18【答案】（1）证明：连接OC，如图1所示 点C是 的中点， = ，OCBEAB是O的直径，ADBE，ADOCADCD，OCCD，CD是O的切线（2）解：如图，连结BC，AB为O的直径，AC
22、B=90，由（1）知，CAD=CAB，又CAD=CBE，CBE=CAB=CAD，cosCBE=cosCAB=cosCAD=，在RtABC中，设AC=4k，AB=5k，5k=20，k=4，AC=1619【答案】（1）解：如图1 过点A作ACOB于点C.OAB是等边三角形，AOB=60，OC= OB.B(4，0），OB=OA=4.OC=2，AC= 把点（2， ）的坐标代入y= ，得k= .y= （2）解：（I）如图2 点D是AB的中点，过点D作DEx轴于点E.由题意得AB=4，ABE=60.在RtDEB中,BD=2,DE= ,BE=1.OE=3.把y= 代入y= ，得x=4.OF=4.a=OO=1
23、.（)如图3,点F是AO的中点，过点F作FHx轴于点H由题意得AO=4，AOB=60在RtFOH中，FH= ，OH=1.把y= 代入y= ，得x=4.OH=4.a=OO=3.综上，a的值为1或3.20【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ABCD，ADBC，AD=BC，D+C=180，ABF=BEC，AFB+AFE=180，C=AFB，ABFBEC；（2）解：AEDC，ABDC， AED=BAE=90，在RtABE中，根据勾股定理得：BE= = =4 ，在RtADE中，AE=ADsinD=5 =4，BC=AD=5，由（1）得：ABFBEC， ，即 ，解得：AF=2 ADFDEC， 26 / 26学科网（北京）股份有限公司