中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合.docx

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1、中考数学专题锐角三角函数与圆的综合一、综合题1如图，在O中，OE垂直于弦AB，垂足为点D，交O于点C，EAC=CAB （1）求证：直线AE是O的切线， （2）若AB=8，sinE= ，求O的半径 2如图，在O中，AB为直径，D、E为圆上两点，C为圆外一点，且E+C=90（1）求证：BC为O的切线（2）若sinA= ，BC=6，求O的半径3如图，ABC中，CDAB于点D，D经过点B，与BC交于点E，与AB交与点F已知tanA= ，cotABC= ，AD=8 求（1）D的半径； （2）CE的长 4如图，ABO的直径，D、E为O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交O

2、于点F，连接AE、DE、DF （1）求证：E=C； （2）若DF=12cm，cosE= ，E是 的中点，求DE的长 5如图，以ABC的边AB为直径作O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，ACB=2BAE （1）求证：AC是O的切线； （2）若sinB= ，BD=5，求BF的长 6如图，ABC中，以BC为直径的O交AB于点D，AE平分BAC交BC于点E，交CD于点F且CE=CF（1）求证：直线CA是O的切线；（2）若BD= DC，求 的值7如图，P为O外的一点，过点P作O的两条割线，分别交O于A、B和C、D，且AB是O的直径，已知PA=OA=4，AC=CD（1）求DC的长

3、；（2）求cosB的值8如图，由矩形ABCD的顶点D引一条直线分别交BC及AB的延长线于F，G，连接AF并延长交BGF的外接圆于H，连接GH，BH（1）求证：DFAHBG；（2）过A点引圆的切线AE，E为切点，AE=3 ，CF：FB=1：2，求AB的长； （3）在（2）的条件下，又知AD=6，求tanHBC的值9如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E（1）求证：DFAC；（2）求tanE的值10如图AB是O的直径，PA与O相切于点A，BP与O相交于点D，C为O上的一点，分别连接CB、CD，

4、BCD=60（1）求ABD的度数；（2）若AB=6，求PD的长度11如图，在ABC中，以BC为直径的O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且ABG=2C（1）求证：EG是O的切线；（2）若tanC= ，AC=8，求O的半径12如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E（1）求证：DFAC；（2）求tanE的值13如图，线段AB为O的直径，点C，E在O上， = ，CDAB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F （1）求证：CF=BF；（2）若cosAB

5、E= ，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，O的半径为6求证：直线CM是O的切线 14如图，在ABC中，以BC为直径的O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且ABG=2C（1）求证：EG是O的切线；（2）若tanC= ，AC=8，求O的半径 15如图AB是O的直径，PA与O相切于点A，BP与O相交于点D，C为O上的一点，分别连接CB、CD，BCD=60（1）求ABD的度数；（2）若AB=6，求PD的长度16如图，已知在ABC中，AB=AC，D是ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E（1）求证：AD的延长线平分CDE；（2）若BAC=30，且

6、ABC底边BC边上高为1，求ABC外接圆的周长17如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点P在O上，1=BCD（1）求证：CBPD；（2）若BC=3，sinBPD= ，求O的直径 18如图，在半径为5cm的O中，直径AB与弦CD相交于点P，CAB=50，APD=80（1）求ABD的大小；（2）求弦BD的长19如图在RtABC中，C=90，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB，分别交于点D、E，且CBD=A；（1）判断直线BD与O的位置关系，并证明你的结论； （2）若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的长. 20已知：如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，CDAB，垂足为

7、点D，F是弧AC的中点，OF与AC相交于点E，AC=8 cm，EF=2cm.（1）求AO的长；（2）求sinc的值.答案解析部分1【答案】（1）证明：连接OA， OE垂直于弦AB，OCA+CAD=90，CO=OA，OCA=OAC，EAC=CAB，EAC+OAC=90，OAAE，即直线AE是O的切线（2）解：作CFAE于F， EAC=CAB，CF=CD，AB=8，AD=4，sinE= ， = ， = ，AE= ，DE= ，CF=2，CD=2，设O的半径r，在RtAOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r2）2+42，解得r=5O的半径为5【解析】【分析】（1）首先得出OCA+CAD=90，进

8、而求出EAC+OAC=90，即可得出答案（2）作CFAE于F，根据角平分线的性质和三角函数求得AE= ，DE= ，进一步求得CF=CD=2，然后根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可求得 2【答案】（1）证明：A与E所对的弧是 弧BD ，A=E，又E+C=90，A+C=90，ABC=18090=90，AB为直径，BC为O的切线.（2）解：sinA= ，BC=6， = ，即 = ，AC=10，在RtABC中，AB= = =8，又AB为直径，O的半径是 8=4.【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得A=E，同等量代换得A+C=90，再由三角形内角和得ABC=90，根据切线的判定即可得B

9、C为O的切线.（2）由三角函数正弦定义得：sinA= ，从而得AC=10，在RtABC中，根据勾股定理得AB=8，从而得O的半径.3【答案】（1）解：CDAB，AD=8，tanA= ， 在RtACD中，tanA= = ，AD=8，CD=4，在RtCBD，cotABC= = ，BD=3，D的半径为3（2）解：过圆心D作DHBC，垂足为H， BH=EH，在RtCBD中CDB=90，BC= =5，cosABC= = ，在RtBDH中，BHD=90，cosABC= = ，BD=3，BH= ，BH=EH，BE=2BH= ，CE=BCBE=5 = 【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义得出CD和BD，从

10、而得出D的半径；（2）过圆心D作DHBC，根据垂径定理得出BH=EH，由勾股定理得出BC，再由三角函数的定义得出BE，从而得出CE即可 4【答案】（1）证明：连接AD， AB是O的直径，ADB=90，即ADBC，CD=BD，AD垂直平分BC，AB=AC，B=C，又B=E，E=C（2）解：连接OE， CFD=E=C，FD=CD=BD=12，cosE=cosB= ，AB=20，E是 的中点，AB是O的直径，AOE=90，AO=OE=10，AE=10 ，E是 的中点，ADE=BDE=45，DG=AG=ADsin45=16 =8 ，EG= =6 ，DE=DG+GE=14 【解析】【分析】（1）直接利用

11、圆周角定理得出ADBC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出E=C；（2）根据cosE= ，得出AB的长，即可求出AE的长，解直角三角形即可得到结论 5【答案】（1）证明：连接AD E是弧BD的中点， = ，BAD=2BAEACB=2BAE，ACB=BAD，AB为O直径，ADB=90，DAC+ACB=90BAC=DAC+BAD=90AC是O的切线（2）解：过点F作FGAB于点G BAE=DAE，ADB=90，GF=DF，在RtBGF中，BGF=90，sinB= = ，即 = ，解得，BF=3【解析】【分析】（1）连接AD，根据题意证明BAC=90，根据切线的判定定理证明；（2）过

12、点F作FGAB于点G，过点F作FGAB于点G根据角平分线的性质得到GF=DF，根据正弦的定义计算即可 6【答案】（1）证明：如图，BC为直径，BDC=ADC=90，1+3=90AE平分BAC，CE=CF，1=2，4=5，2+3=90，3=4，2+5=90，ACB=90，即ACBC，直线CA是O的切线（2）解：由（1）可知，1=2，3=5，ADFACE， ，BD= DC，tanABC= ，ABC+BAC=90，ACD+BAC=90，ABC=ACD，tanACD= ，sinACD= ， 【解析】【分析】本题是一道圆的综合题，圆的切线垂直于过切点的直径，这是解第一问的关键；第二问利用锐角三角函数可求

13、的解.7【答案】（1）解：连接OC、BC、AD，AC=DC， CDA=CAD， 又CAD=CBD，CDA=ACB， CBD=CBA， DBA=2CBA， 又COA=2CBA， DBA=COA， OCBD， 设CD=x， CP：CD=OP：OB， CP：x=8：4， CP=2x， CPPD=APBP， 2x（2x+x）=4（4+4+4）， x=2 ， 即CD=2 ；（2）解：OCBD，OC:BD=OP:PB，4：BD=（4+4）：4，BD=6，在RtABD中，cosB= = = 【解析】【分析】 （1） 连接OC、BC、AD， 根据等边对等角得出 CDA=CAD，根据同弧所对的圆周角相等得出 C

14、AD=CBD，CDA=ACB， 故 CBD=CBA， 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出 DBA=2CBA， 故 DBA=2CBA， 根据同位角相等，二直线平行得出 OCBD， 设CD=x， 根据平行线分线段成比例定理得出 CP：CD=OP：OB， 根据比例式表示出CP的长，根据割线长定理得出 CPPD=APBP， 根据等积式建立方程，求解得出x的值，从而得出答案；（2）根据平行线分线段成比例定理得出 OC：BD=OP：PB， 根据比例式建立方程，求解得出BD的值，然后根据余弦函数的定义即可得出答案。8【答案】（1）证明：HBG=HFG，HFG=AFD，HBG=AFDBHG=BFG=CF

15、D=ADG，DFAHBG（2）解：CDAB，CD=AB， ， 即AG=3AB AE为O的切线， AE2=ABAG AB=3（3）解：AD=BC=6，CF：FB=1：2，CF=2，BF=4ABC=90，AF= AE2=AFAH， AH= FH=AHAF= FH=AHAF= FBG=90，FG= ， FG为圆的直径， HG= tanHGF= = HBC=HGF tanHBC= 【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出 HBG=HFG，根据对顶角相等得出HFG=AFD， 故 HBG=AFD，根据同弧所对的圆周角相等得出 BHG=BFG，根据二直线平行内错角相等得出CFD=ADG，又 CFD

16、=BFG，故BHG=ADG，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出 DFAHBG；（2）根据平行线分线段成比例定理得出,故 = ，进而得出 ， 即AG=3AB，根据切割线定理得出 AE2=ABAG ，从而得出方程，求解即可；（3）首先根据 AD=BC=6，CF：FB=1：2， 算出CF,BF的长，根据勾股定理算出AF的长，根据切割线定理得出 AE2=AFAH， 根据等积式算出AH,进而算出FH，根据90圆周角所对的弦是直径得出 FG为圆的直径， 再根据勾股定理算出HG，根据同弧所对的圆周角相等得出 HBC=HGF ，根据等角的同名三角函数值相等及三角函数的定义即可得出答案。9【答案】（1）证

17、明：如图，连接OD， BC是O的直径，BDC=90，CDAB，AC=BC，AD=BD，OB=OC，OD是ABC的中位线ODAC，DF为O的切线，ODDF，DFAC（2）解: 如图，连接BG， BC是O的直径，BGC=90，EFC=90=BGC，EFBG，CBG=E，RtBDC中，BD=3，BC=5，CD=4，SABC= ，64=5BG，BG= ，由勾股定理得：CG= = ，tanCBG=tanE= = = 【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得BDC=90，由等腰三角形的熊志可得OD是中位线，则ODAC，根据切线的性质可得结论；（2）连接BG，根据圆周角定理的推论和已知可证明EFBG

18、，则CBG=E，再用三角形的面积求出BG，勾股定理求出CG，从而求出CBG的正切值.10【答案】（1）解：方法一：如图1，连接AD BA是O直径，BDA=90 = ，BAD=C=60ABD=90BAD=9060=30方法二：如图2，连接DA、OD，则BOD=2C=260=120OB=OD，OBD=ODB= （180120）=30即ABD=30（2）解：如图1，AP是O的切线， BAP=90在RtBAD中，ABD=30，DA= BA= 6=3BD= DA=3 在RtBAP中，cosABD= ，cos30= = BP=4 PD=BPBD=4 3 = 【解析】【分析】（1） 连接AD，由直径所对的圆

19、周角是直角可得BDA=90，由同弧所对的圆周角相等可得BAD=C ，则 ABD=90BAD 可求解；（2）由切线的性质可得 BAP=90，在RtBAP中，根据cosABD= 可求得PB的长，则PD=BPBD 可求解。11【答案】（1）解：如图：连接OE，BE ABG=2C，ABG=C+AC=ABC=AB，BC是直径CEB=90，且AB=BCCE=AE，且CO=OBOEABGEABEGOE，且OE是半径EG是O的切线（2）解：AC=8， CE=AE=4tanC= = BE=2BC= =2 CO= 即O半径为 【解析】【分析】（1） 连接OE，BE ，由题意易证 C=A；由直径所对的圆周角是直角可

20、得CEB=90， 在根据等腰三角形的三线合一可得AE=CE，于是由三角形的中位线定理可得 OEAB ，结合已知可得 EGOE，由切线的判定可得EG是O的切线 ；（2）由题意根据 tanC= 可求得BE的长，再由勾股定理可求得BC的长，则 半径 CO = BC可求解。12【答案】（1）证明：如图，连接OD， BC是O的直径，BDC=90，CDAB，AC=BC，AD=BD，OB=OC，OD是ABC的中位线ODAC，DF为O的切线，ODDF，DFAC；（2）解：如图，连接BG， BC是O的直径，BGC=90，EFC=90=BGC，EFBG，CBG=E，RtBDC中，BD=3，BC=5，CD=4，SA

21、BC= ，64=5BG，BG= ，由勾股定理得：CG= = ，tanCBG=tanE= = = 【解析】【分析】（1） 如图，连接OD， 根据直径所对的圆周角是直角得出 BDC=90， 根据等腰三角形的三线合一得出 AD=BD， 根据三角形的中位线平行于第三边得出 ODAC， 根据圆的切线垂直于经过切点的半径得出 ODDF， 根据平行线的性质得出 DFAC；（2） 如图，连接BG， 根据直径所对的圆周角是直角得出 BGC=90， 然后根据同位角相等二直线平行得出 EFBG， 根据二直线平行内错角相等得出 CBG=E， RtBDC中 ，根据勾股定理算出CD的长，然后根据面积法，由 SABC= 算

22、出BG的长，最后根据勾股定理算出CG的长，根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，由 tanCBG=tanE= 即可算出答案。13【答案】（1）证明：延长CD交O于G，如图， CDAB， = ， = ， = ，CBE=GCB，CF=BF；（2）解：连接OC交BE于H，如图， = ，OCBE，在RtOBH中，cosOBH= = ，BH= 6= ，OH= = ， = = ， = = ， = ，而HOB=COM，OHBOCM，OCM=OHB=90，OCCM，直线CM是O的切线【解析】【分析】（1） 延长CD交O于G，如图， 根据垂径定理得出 = ， 又 = ， 故 = ， 根据等弧所对的圆周角

23、相等 CBE=GCB， 再根据等角对等边即可得出结论： CF=BF；（2）根据垂径定理得出 OCBE， 根据余弦函数的定义，由 cosOBH= 算出BH的长，然后根据勾股定理算出OH的长，接着利用有两组对边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得出 OHBOCM ，由相似三角形对应角相等得出 OCM=OHB=90， 从而根据垂直于半径外端点的直线是圆的切线即可得出结论。14【答案】（1）解：如图：连接OE，BE ABG=2C，ABG=C+AC=ABC=AB，BC是直径CEB=90，且AB=BCCE=AE，且CO=OBOEABGEABEGOE，且OE是半径EG是O的切线（2）解：AC=8， CE

24、=AE=4tanC= = BE=2BC= =2 CO= 即O半径为 【解析】【分析】（1） 如图：连接OE，BE ，根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角的和得出 ABG=C+A ，又 ABG=2C ，故 C=A ，根据等角对等边得出 BC=AB， 根据直径所对的圆周角是直角得出 CEB=90 ，然后根据等腰三角形的三线合一得出 CE=AE ，根据三角形的中位线定理得出 OEAB ，再根据平行线的性质得出 EGOE，又OE是半径 ，根据垂直于半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线即可得出 EG是O的切线 ；（2）根据正切函数的定义，由 tanC= = 即可算出BE的长，然后根据勾股定理算

25、出BC的长，从而得出答案。15【答案】（1）解：方法一：如图1，连接AD BA是O直径，BDA=90 = ，BAD=C=60ABD=90BAD=9060=30方法二：如图2，连接DA、OD，则BOD=2C=260=120OB=OD，OBD=ODB= （180120）=30即ABD=30（2）解：如图2，AP是O的切线， BAP=90在RtBAD中，ABD=30，DA= BA= 6=3BD= DA=3 在RtBAP中，cosABD= ，cos30= = BP=4 PD=BPBD=4 3 = 【解析】【分析】（1） 方法一：如图1，连接AD 根据直径所对的圆周角相等得出 BDA=90，根据同弧所对

26、的圆周角相等得出 BAD=C=60 再根据三角形的内角和即可算出 ABD 的度数； 方法二：如图2，连接DA、OD，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出BOD=2C=260=120，然后根据等边对等角得出 OBD=ODB= （180120）=30 从而得出答案；（2）根据切线的性质得出 BAP=90，然后根据含30角的直角三角形的边之间的关系算出DA,BD的长，再根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 cosABD= ， 即可算出BP的长，进而根据 PD=BPBD 即可算出答案。16【答案】（1）证明：如图，设F为AD延长线上一点， A，B，C，D四点共圆，CDF=ABC，AB=AC，

27、ABC=ACB，ADB=ACB，ADB=CDF，ADB=EDF（对顶角相等），EDF=CDF，即AD的延长线平分CDE（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，连接OC， AB=AC， = ，AHBC，OAC=OAB= BAC= 30=15，COH=2OAC=30，设圆半径为r，则OH=OCcos30= r，ABC中BC边上的高为1，AH=OA+OH=r+ r=1，解得：r=2（2 ），ABC的外接圆的周长为：4（2 ）【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，可得CDF=ABC ，利用等腰三角形的性质，可证得ABC=ACB，再利用对顶角相等即等量代换，可证得EDF=CDF，即

28、可证得结论。（2） 设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，连接OC，利用垂径定理的推论，可证AHBC，求出OAC的度数，再利用圆周角定理求出COH的度数，设圆半径为r，利用解直角三角形可求出OH= r ，再由AH=OA+OH=1，建立关于r的方程，解方程求出r的值，然后求出ABC的外接圆周长即可。17【答案】（1）证明：D=1，1=BCD， D=BCD，CBPD；（2）解：连接AC， AB是O的直径，ACB=90，CDAB， = ，BPD=CAB，sinCAB=sinBPD= ，即 = ，BC=3，AB=5，即O的直径是5【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出 D=1 ，根据

29、垂径定理得出 = ， 根据等弧所对的圆周角相等得出 1=BCD， 故 D=BCD， 根据内错角相等，两直线平行得出 CBPD；（2）根据直径所对的圆周角是直角得出 ACB=90，根据垂径定理得出 = ， 根据等弧所对的圆周角相等得出 BPD=CAB， 根据等角的同名三角函数值相等得出 sinCAB=sinBPD= ， 最后根据三角函数的定义即可算出AB的长。18【答案】（1）解：APD是APC的外角，CAB=50，APD=80， C=8050=30，ABD=C=30；（2）解：过点O作OEBD于点E，则BD=2BE， ABD=30，OB=5cm，BE=OBcos30=5 = cm，BD=2BE

30、=5 cm【解析】【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角的和，由C=APD-CAB即可算出C的度数，根据同弧所对的圆周角相等得出 ABD的度数；（2） 过点O作OEBD于点E，根据垂径定理得出BD=2BE， 根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 BE=OBcos30 即可算出BE的长，进而得出答案。19【答案】（1）解：直线BD与O相切. 证明：如图，连接OD. OA=ODA=ADOC=90，CBD+CDB=90又CBD=AADO+CDB=90ODB=90直线BD与O相切（2）解：解法一：如图，连接DE. AE是O的直径，ADE=90AD：AO=6：5cosA=AD：A

31、E=3：5C=90，CBD=AcosCBD=BC：BD=3：5BC=2，BD= ；解法二：如图，过点O作OHAD于点H. AH=DH= ADAD：AO=6：5cosA=AH：AO=3：5（3分）C=90，CBD=AcosCBD=BC：BD=3：5，BC=2，BD= 【解析】【分析】（1） 连接OD，由等边对等角可得A=ADO，结合已知可得ADO=CBD，由直角三角形的两锐角互余可得CBD+CDB=90，所以ADO+CDB=90 ，即 ODB=90 ，根据圆的切线的判定即可得出 直线BD与O相切； （2）连接DE，由直径所对的圆周角是直角可得ADE=90 ，在直角三角形ADE中，结合已知解这个直

32、角三角形可求解。20【答案】（1）解：F是 的中点， ， 又OF是半径，OFAC，AE=CE，AC=8cm，AE=4cm，在RtAEO中，AE2+EO2=AO2， 又EF=2cm，42+（AO-2）2=AO2，解得AO=5，AO=5cm（2）解：OEAC， A+AOE=90，CDAB，A+C=90，AOE=C，sinC=sinAOE，sinAOE= = ， sinC= 【解析】【分析】（1）由 F是 的中点结合垂径定理可判断OFAC，从而在RtAEO中，利用勾股定理即可求出AO长； （2）求sinc的值可通过C=AOE，进而转化成到RtAOE中去求sinAOE的值。 33 / 33学科网（北京）股份有限公司