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1、2.3平稳随机过程的功率谱 n 确知信号我们经常用傅立叶变换求其频谱函数,以确定它的频率成分,我们称为频谱分析.对于随机信号我们也希望借助傅立叶变换来研究信号的频率成分,这也就是我们所说的功率谱分析.n 现代功率谱分析主要有ARMA谱分析.最大似然谱分析.最大频率分析.最大熵谱分析以及特征植分解等方法.n 本节主要介绍平稳随机过程的经典频谱分析方法.2.3.1随机过程的功率谱密度n 信号频谱密度存在的条件是它具有有限的能量.随机信号的能量一般是无限的,但只要注意到它的平均功率是有限的,我们就可以利用傅立叶变换这一工具.n 首先考虑随机过程的一个样本函数x(t),并截取-T到T的一段,记为xT(
2、t)由于截取的样本函数xT(t)满足频谱密度存在的条件,它存在频谱密度.由于样本函数的频谱是样本空间元素e的函数,用 XT(w,e)表示得xT(t)的平均功率可以由时域积分求出:由帕塞伐尔定理;可以得到:上式方括号内的部分是样本函数xT(t)在单位频带上的功率,称为样本的功率谱密度.n如果我们对所有样本的平均功率W取统计平均,就得到随机过程的功率谱密度 如果x(t)为平稳过程,均值必为常数,则 由此可见,平稳过程的平均功率等于其均方值或功率谱密度在整个频域上的积分.如果x(t)为各态历经过程,功率谱可由一个样本函数得到:平稳过程的平均功率和功率谱密度之间的关系:平均功率等于其均方值或功率谱密度
3、在整个频域上的积分.即:又因为:RX(0)=EX2(t)所以:W=RX(0)自相关函数与功率谱密度的关系:-维纳-辛钦定理n表征的是功率谱密度和自相关函数之间是傅立叶变换关系.2.3.2功率谱密度的性质练习(1):练习二:n 由于实平稳过程X(t)的自相关函数是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。下面简单给出只有正频率的单边功率谱密度GX(w)和双边功率谱密度SX(w)的关系。2.3.3联合平稳随机过程的互功率谱密度 上节我们曾定义了两个联合随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数，我们也可以用傅立叶变换来定义它们的互功率谱密度，简称互谱密度。定义为：互谱密度一般用来研究两个随机过程之和，但两个随机过程必须是各自平稳且联合平稳的。n 下面我们给出互谱密度和互相关函数之间的傅氏变换关系。实平稳随机过程X(t)和Y(t)的互谱密度有以下性质:n性质3 如果X(t)和Y(t)互相正交，互谱密度为零。n性质4 如果X(t)和Y(t)是互不 相关的两个随机过程，且数学期望不为零，则有n性质5 互谱密度的幅度平方满足n作业：:课后1,6,9,12题