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1、电子信息技术导论献给进入信息领域学习的你！随机信号处理教程随机信号处理教程v第第1章章 概率论基础概率论基础v第第2章章 随机过程随机过程v第第3章章 随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度v第第4章章 随机信号通过线性系统随机信号通过线性系统v第第5章章 窄带系统和窄带随机信号窄带系统和窄带随机信号v第第6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统v第第7章章 马尔可夫过程马尔可夫过程第第2 2章章 随机过程随机过程1234756随机过程的概念 随机过程的统计描述 平稳随机过程 随机过程的各态历经性 平稳随机过程自相关函数的性质 随机过程的联合概率分布和互相关函数 正态随机过程 2
2、.1随机过程的概念随机过程的概念v定义定义1 1 设随机试验设随机试验E E的样本空间为的样本空间为S=xS=x，如果对于每一个，如果对于每一个样本，总可以依某种规则确定一时间样本，总可以依某种规则确定一时间t t的函数的函数 与之对应。于是，对于所有与之对应。于是，对于所有 的来说，就得到一族的来说，就得到一族时间时间t t的函数，我们称此族时间的函数，我们称此族时间t t的函数为随机过程。的函数为随机过程。v定义定义2 2 如果对于每一固定的时刻如果对于每一固定的时刻 ，都是都是随机变量，那么，则称随机变量，那么，则称 是随机过程。是随机过程。(T是时间t的变化范围)2.1随机过程的概念随
3、机过程的概念随机过程是一族时间函数随机过程是一族时间函数 随机过程是一个确知的时间函数随机过程是一个确知的时间函数 随机过程是一个随机变量随机过程是一个随机变量 随机过程是一个确定值随机过程是一个确定值 随机过程 的四种含义T和x都是变量T是变量X是固定值T是固定值X是变量T和x都是固定值2.1随机过程的概念随机过程的概念1234连续型随机过程按按照照时时间间和和状状态态是是连连续续还还是是离离散散来来分分类类 连续随机序列 离散型随机过程离散随机序列 2.2随机过程的统计描述随机过程的统计描述一维分布函数和概率密度函数 对于某一个固定时刻 ，随机过程在t时刻的状态 是一个随机变量，随机事件
4、的概率为它是t和x的二元函数，记为称 为随机过程 的一维分布函数。如果存在非负二元函数 ，使 成立，则称 为随机过程 的一维概率密度函数。2.2随机过程的统计描述随机过程的统计描述v为了描述随机过程为了描述随机过程 在任意两个时刻在任意两个时刻 和和 的状态之间的的状态之间的内在联系，可以引入二维随机变量内在联系，可以引入二维随机变量 的分布函数的分布函数 ，它是二随机事件，它是二随机事件 和和 同时出现的概率，同时出现的概率，即即 称称 为随机过程为随机过程 的二维分布函数的二维分布函数 同样，如果存在非负函数同样，如果存在非负函数 ，使，使 成立，则称成立，则称 为随机过程为随机过程X(t
5、X(t)的二维概率密度函的二维概率密度函数。且数。且2.2随机过程的统计描述随机过程的统计描述自协方差函数自协方差函数数学期望数学期望 均方值均方值 方差方差 自相关函数自相关函数随机过程的数字特征随机过程的数字特征2.2随机过程的统计描述随机过程的统计描述一维特征函数一维特征函数 二维特征函数二维特征函数n n维特征函数维特征函数2.2随机过程的统计描述随机过程的统计描述v对于某一固定时刻对于某一固定时刻t t，随机变量，随机变量 的特征函数为的特征函数为 (2.2.16)(2.2.16)称为随机过程称为随机过程 的一维特征函数，它是的一维特征函数，它是u u和和t t的的函数。函数。为随机
6、过程为随机过程 的一维概率密度函数，它与的一维概率密度函数，它与 构成一对傅立叶变换，有构成一对傅立叶变换，有 (2.2.17)(2.2.17)将式将式(2.1.16)(2.1.16)的两端对变量的两端对变量u u求求n n阶偏导数，得阶偏导数，得 (2.2.18)(2.2.18)所以，随机过程所以，随机过程 的的n n阶原点阶原点 (2.2.19)(2.2.19)因此，利用式因此，利用式(2.2.19)(2.2.19)可以方便地求得随机过程的数学期望可以方便地求得随机过程的数学期望和均方值。和均方值。2.3平稳随机过程平稳随机过程v如果对于任意如果对于任意n n个时刻个时刻t1t1，、，、t
7、2t2，tntn和任意实数和任意实数，随机过程随机过程 的的n n维分布函数维分布函数(或概率密度函数或概率密度函数)满足关系满足关系 或或则称随机过程则称随机过程 为严平稳过程，或称窄平稳过程或狭义为严平稳过程，或称窄平稳过程或狭义平稳过程。也就是说，如果随机过程的平稳过程。也就是说，如果随机过程的n n维分布函数维分布函数(或或n n维概率密度函数维概率密度函数)不随时间起点选择不同而改变，则这种不随时间起点选择不同而改变，则这种随机过程称为严平稳过程，随机过程称为严平稳过程，2.3平稳随机过程平稳随机过程严平稳过程的n维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在其一、二维概率密度及数字特征
8、上具有的性质 严平稳随机严平稳随机过程的一维过程的一维概率密度函概率密度函数与时间无数与时间无关。关。严平稳随机严平稳随机过程的二维过程的二维概率密度函概率密度函数只与数只与t1，t2的时间间隔的时间间隔有关，而与有关，而与时间起点无时间起点无关。关。严平稳随机过程严平稳随机过程ext2.3平稳随机过程平稳随机过程X(tX(t)为宽平稳为宽平稳过程或广义平过程或广义平稳过程稳过程 若随机过程若随机过程若随机过程若随机过程X(tX(t)满足如下条件：满足如下条件：满足如下条件：满足如下条件：2.3平稳随机过程平稳随机过程v般般来来说说，若若产产生生随随机机过过程程的的主主要要物物理理条条件件在在
9、时时间间进进程程中中不不变变化化，那那么么此此过过程程就就可可以以认认为为是是平平稳稳的的。在在电电子子信信息息技技术术的的实实际际应应用用中中所所遇遇到到的的随随机机过过程程，差差不不多多都都可可以以认认为为是是平平稳稳随随机机过过程程。例例如如，一一个个工工作作在在稳稳定定状状态态下下的的接接收收机机，其其输输出出噪噪声声就就可可以以认认为为是是平平稳稳的的。但但当当刚刚接接上上电电源源，该该接接收收机机还还工工作作在在过过渡渡过过程程状状态态下下时时，此此时时的的输输出出噪噪声声是是非非平平稳稳的的。另另外外，有有些些非非平平稳稳过过程程，在在一一定定的的时时间间范范围围内内可可以以作作
10、为为平平稳稳过过程程来来处处理理。实实际际上上，在在很很多多问问题题的的研研究究中中往往往往也也并并不不需需要要在在所所在在时时间间都都平平稳稳，只只要要在在我我们们观观测测的的有有限限时时间内过程平稳就行了。间内过程平稳就行了。2.4随机过程的各态历经性随机过程的各态历经性v在具备一定的补充条件下，对平稳随机过程的一个样本函在具备一定的补充条件下，对平稳随机过程的一个样本函数取时间均值，在观察时间足够长时，从概率意义上趋近数取时间均值，在观察时间足够长时，从概率意义上趋近于该随机过程的集合均值。对于这样的随机过程，我们说于该随机过程的集合均值。对于这样的随机过程，我们说它具有各态历经性或遍历
11、性。它具有各态历经性或遍历性。v按照严格的意义，如果一个平稳随机过程的各种时间平均按照严格的意义，如果一个平稳随机过程的各种时间平均(时间足够长时间足够长)依概率依概率l l收敛于相应的集合平均，则称该随收敛于相应的集合平均，则称该随机过程具有严各态历经性或狭义各态历经性，并称该随机机过程具有严各态历经性或狭义各态历经性，并称该随机过程为严各态历经过程或狭义各态历经过程。过程为严各态历经过程或狭义各态历经过程。2.4随机过程的各态历经性随机过程的各态历经性v工程上通常只是在相关理论的范围内考虑各态历经过程，称之为宽各态历经过程或广义各态历经过程。v设是设是 随机过程随机过程 的任意一条样本函数
12、，的任意一条样本函数，沿整个时沿整个时间轴的时间平均运算间轴的时间平均运算 称为随机过程称为随机过程 的时间均值。的时间均值。沿整个时间轴的时沿整个时间轴的时间平均运算间平均运算 称为随机过程称为随机过程 时间自相关函数。时间自相关函数。v设是设是 一个平稳随机过程，如果一个平稳随机过程，如果 依概率依概率1 1成立，则称随机过程成立，则称随机过程 的均值具有各态历经性；的均值具有各态历经性；如果如果 依概率依概率1 1成立，则称随机过程成立，则称随机过程 的自相关函数具有各态的自相关函数具有各态历经性。历经性。v若平稳随机过程若平稳随机过程 的均值和白相关函数均具有各态历经的均值和白相关函数
13、均具有各态历经性，则称该随机过程是宽各态历经过程或广义各态历经过性，则称该随机过程是宽各态历经过程或广义各态历经过程。程。2.4随机过程的各态历经性随机过程的各态历经性2.5 平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的性质1234平稳随机过程的自相关函数在零点处的值为随机过程的均方值，且为非负值 平稳随机过程的自相关函数在时有极大值 如果平稳随机过程 满足条件 ，则称它为周期平稳随机过程，其中T为随机过程的周期。平稳随机过程自相关函数的性质 平稳随机过程的自相关函数是偶函数 2.5 平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的性质5678对于随机过程 ，当 时，我们称随机过程
14、 含有直流分量 。当随机过程 含有直流分量时，它的自相关函数 也会有一常数项 ，它是直流成分所包含的平均功率。若平稳随机过程 含有一个周期分量，则 也含有一个同周期的周期分量。对任何不含周期分量的非周期平稳随机过程均有 平稳随机过程的自相关函数的傅立叶变换是非负函数 平稳随机过程自相关函数的性质 2.6随机过程的联合概率分布和互相关函数随机过程的联合概率分布和互相关函数v如果两个随机过程和的概率密度函数分别为如果两个随机过程和的概率密度函数分别为 和和 ，定义此两个随机过程的，定义此两个随机过程的n n+m m维联合分布函数为维联合分布函数为 如果存在非负函数如果存在非负函数 ，使使 则称则称
15、 为此两个随为此两个随机过程的机过程的n n+m m维联合概率密度函数。维联合概率密度函数。2.6随机过程的联合概率分布和互相关函数随机过程的联合概率分布和互相关函数v如果有如果有 或或 成立，则称两个随机过程成立，则称两个随机过程 和和 相互独立。相互独立。显然，若两个随机过程的n+m维概率分布给定，则两个随机过程的全部统计特性也就确定了。2.6随机过程的联合概率分布和互相关函数随机过程的联合概率分布和互相关函数v设有两个随机过程设有两个随机过程X(tX(t)和和Y(tY(t)，它们在任意两个时，它们在任意两个时刻刻t1t1、t2t2的状态分别为的状态分别为X(t1)X(t1)和和Y(t2)
16、Y(t2)，则随机过，则随机过程和的互相关函数定义为程和的互相关函数定义为 式中，式中，是随机过是随机过程程X(tX(t)和和Y(tY(t)的二维联合的二维联合概率密度函数。概率密度函数。v如果，则称随机过程Y(t)和X(t)是相互正交的。v如果 ，则称随机过程Y(t)和X(t)互不相关。2.6随机过程的联合概率分布和互相关函数随机过程的联合概率分布和互相关函数123如果两个随机过程Y(t)和和X(t)都是宽平稳随机过程，且它们的互相关函数是单变量 的函数，即则称随机过程Y(t)和和X(t)为联合宽平稳的。性质2.7 正态随机过程正态随机过程v定义：定义：v若若n n维随机变量维随机变量 是正
17、态分布的，则称该随机是正态分布的，则称该随机过程为正态随机过程或高斯随机过程，它的过程为正态随机过程或高斯随机过程，它的n n维概率密度维概率密度函数为函数为 式中式中m m、x x为为n n维向量维向量 C C为为n n维矩阵维矩阵2.7 正态随机过程正态随机过程v由于正态随机过程被它的一、二阶矩函数函数所唯一地确由于正态随机过程被它的一、二阶矩函数函数所唯一地确定，因此，正态随机过程满足宽平稳条件时，它也必然是定，因此，正态随机过程满足宽平稳条件时，它也必然是严平稳的。严平稳的。v对于平稳正态随机过程，常用到它的一、二维概率密度函对于平稳正态随机过程，常用到它的一、二维概率密度函数，其表示式分别为数，其表示式分别为其中，其中，