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1、5.1 随机信号简介 , 2 , 1),(itxi组成随机过程的样本函数总体组成随机过程的样本函数总体 NkkNxtxNtm111)(1lim)(均值：均值： NkkkNxtxtxNttR11111)()(1lim),(自相关函数：自相关函数：v平稳随机过程平稳随机过程均值和时间无关，是常数；自相关函数与时均值和时间无关，是常数；自相关函数与时间的起点无关，只与两点的时间差有关。间的起点无关，只与两点的时间差有关。v不同样本函数计算的均值、自相关函数都不同样本函数计算的均值、自相关函数都一样，则称此随机过程为各态遍历的。一样，则称此随机过程为各态遍历的。v 非平稳随机过程非平稳随机过程 包括所
2、有不满足平稳性要求的随机过程。非包括所有不满足平稳性要求的随机过程。非平稳随机过程的特性一般是随时间而变化的。平稳随机过程的特性一般是随时间而变化的。5.2 随机信号的相关分析5.2.15.2.1自相关函数及应用自相关函数及应用1 1 定义定义一般随机信号一般随机信号 dxtxpxtXEtDXX),()()(22NiNXinxinxnXnXEnnR121*21*21),(),(lim)()(),(NiNXinxnXEn1),(lim)()( 212121212121),;,()()(),(dxdxttxxpxxtXtXEttRXXdxtxxptXEtXX);()()(概概 率率 密密 度度21
3、2),(1lim )()(NiNXinxNnXEtD广义平稳随机信号广义平稳随机信号各态遍历随机信号各态遍历随机信号 )()()(),(*21mnXnXEmRnnRXX12nnm)()(nXEnXXxNNnNXnxNnXE)(121lim)()()()(121lim)()()(mRmnxnxNmnXnXEmRxNNnNX2. 2. 自相关函数性质自相关函数性质n性质性质1 若若 X(n) 是实信号，是实信号， n性质性质2 n性质性质3 周期平稳过程的自相关函数必是周期函数，周期平稳过程的自相关函数必是周期函数，且与过程的周期相同。且与过程的周期相同。 ( )()XXRmRm)()0(mRRX
4、Xn性质性质4 n性质性质5 不包含任何周期分量的非周期平稳过程不包含任何周期分量的非周期平稳过程满足满足 2( )(0)=XRE Xn2)()(limXXXmRmR3.3.自相关函数的估计自相关函数的估计v直接估计直接估计)()(1)(10mnxnxNmRNnx)()(1)(10mnxnxmNmRmNnx)()()(121lim)()()(mRmnxnxNmnXnXEmRxNNnNX)()(1)(10mnxnxNmRmNnx无偏无偏估计估计v快速计算快速计算利用利用FFT来实现的快速计算来实现的快速计算 )()(1)(10mnxnxNmRNnNNx求傅立叶变换，得求傅立叶变换，得 mjNNm
5、NNnNmjNNmxemnxnxNemR )()(1)(1) 1(101) 1(mjNnNNmNNemnxnxN)()(1101)1()()(1)(10mnxnxNmRNnx1201,.,1 , 0)()(2NnNNnnxnxNNmjNNmxemR)(1)1()(1201) 1(22)()(1mnjNnNNmNnjNemnxenxN令l=n+m2212012022)(1)()(1jNljNnNlNnjNeXNelxenxNmjNNmxemR)(1)1(22)(1jNeXN&自相关函数自相关函数 和和 的功率谱是的功率谱是 一对傅立叶变换一对傅立叶变换 )(mRx)(2nxN4 4 自相关函数的
6、应用自相关函数的应用)sin()(0txtxdtttxTRTTTx)(sin)sin(1lim)(2/2/20)( tddt1令令,则则 txdtxRxcos2cossincossinsin2)(20205.2.25.2.2互相关函数及应用互相关函数及应用1 1 定义定义一般随机信号一般随机信号 dxdyttyxpxytYtXEttRYXXY),;,()()(),(21,2121联合概率密度联合概率密度 )()(),(21*21nYnXEnnRXY广义平稳随机信号广义平稳随机信号各态遍历随机信号各态遍历随机信号 121221( , )( ) ( )( )XYXYRt tE X t Y tRtt
7、 )()(),(*21mnXnXEnnRXYdttytxTtytxERTTNxy)()(21lim)()()()()(121lim)()()(mnynxNmnynxEmRNNnNxy 2 2、互相关函数性质、互相关函数性质t互相关函数与均值互相关函数与均值 、标准差、标准差 有如下关系有如下关系t不是偶函数，也不对称。不是偶函数，也不对称。)()(yxxyRRyxyxxyyxyxR)(xyR0 xy xyxy t若 与 是两个完全独立无关的信号，则t 的最大峰值一般不在的最大峰值一般不在 处。处。( )0 xyR 0)(tx( )y t( )xyRv直接方法：直接方法： mNnxymnynxm
8、NmR10)()(1)(mNnyxmnxnymNmR10)()(1)(3.3.互相关函数的估计互相关函数的估计v间接估计法（快速傅立叶变换）间接估计法（快速傅立叶变换） 先通过先通过FFT求得互功率谱函数，然后计算互谱的逆傅里求得互功率谱函数，然后计算互谱的逆傅里叶变换叶变换 。 FFTFFT序列相乘序列相乘IFFT( )x n( )h n( )y n( )( )X k H k( )H k共轭共轭( )H kn测量滞后时间测量滞后时间 当系统的输出与输入之间有一定的时间差时，当系统的输出与输入之间有一定的时间差时，互相关函数在时间差等于信号通过系统所需时间互相关函数在时间差等于信号通过系统所需
9、时间值时，将出现峰值值时，将出现峰值设信号传播速度为V ，a和b两点距L，则信号由a点传播到b点的时间延迟VLL4 4 互相关函数的应用互相关函数的应用热轧钢运动速度测定热轧钢运动速度测定 互相关函数测试框图 n确定传递通道确定传递通道()()(smnxnsEmRx n 从噪声信号中检测信号有无从噪声信号中检测信号有无)()()n(nunsx 解：设随机信号解：设随机信号x(n)x(n)中含有加性噪声中含有加性噪声u(n)u(n)，s(n)s(n)为有为有 用信号，则：用信号，则：)()()()(mnunsmnsnsE )m(sR )()(mnsnsE 0)()( mnunsE测定系统的频率响
10、应原理图测定系统的频率响应原理图 )kmn( x)k(h)n( xE)mn( y)n( xE)m(Rkxy)kmn( x)n( xE)k(hk)()(kmRkhxxk)m(h*)m(Rxx)m(h)m(Rxy互相关FFT( )h n()jH e( )x n( )y n( )( )xyRmh m2()jNH en系统识别系统识别5.3.1 5.3.1 随机信号的功率谱密度随机信号的功率谱密度 ( )( )( )Tj tj tTTTTXx t edtx t edt deXtxtjTT)(21)(1 1 定义定义TtTttxtxT,0,)()(t( )x tTT05.3 随机信号的功率谱估计F由于由
11、于 是随机过程是随机过程 的一个样本函数，取的一个样本函数，取哪一个样本函数取决于试验结果哪一个样本函数取决于试验结果 ，且，且 是随机的。因此，是随机的。因此， 和和 也都是试验结也都是试验结果的随机函数，可写成果的随机函数，可写成 和和 。)(tx)(tX)(TX)(txT),(TX),(txT若若 是实函数，可得某个样本函数的平均功率是实函数，可得某个样本函数的平均功率 )(txG21lim( , )2TTTTGxtdtT11lim( , )( , )22TjtTTTTxtXeddtT 11lim( , )( , )22TTjtTTTTTXxtedt dT 211lim( , )22TT
12、XdT 211lim( , )22TTXdT 样本函数的功率谱密度函数 如果对所有试验结果如果对所有试验结果 取统计平均取统计平均 21( )lim( , )2XTTPEXT 21lim( , )2TTEXT 随机过程的功率谱密度函数，随机过程的功率谱密度函数，简称简称功率谱密度功率谱密度。 5.3.2 5.3.2 功率谱密度的性质功率谱密度的性质n非负性，非负性，是是实函数实函数n当随机信号是实过程时，其功率谱是偶函当随机信号是实过程时，其功率谱是偶函数，即数，即( )0XP )(XP( )()XXPP 5.3.3 5.3.3 功率谱密度与自相关函数的关系功率谱密度与自相关函数的关系1211
13、221()lim( , )( , )2TTjtjtXTTTTTPExtedtxtedtT12()12121lim( )( )2TTjttTTTTTE Xt Xtedt dtT 121212( , )( )( )( , )TXTTRt tE X t X tTt tT F引入21()lim(, )2XTTPEXT 连续时间随机信号连续时间随机信号 12()12121( )lim( , )2TTjttXXTTTPRt t edt dtT v 变量替换11ttdtdt2122ttttddt1()lim( ,)2T tTjXXT tTTPRt tdtedT 1()lim( ,)2TjXXTTPRt td
14、t edT ( )jXRed M自相关函数和功率谱密度构成傅立叶变换对 维纳辛钦定理或维纳辛钦公式 de )(R)(PjXX离散时间随机序列具有零均值实平稳随机序列的功率谱密度 与序列的自相关函数 是一对离散时间傅立叶变换对。 )(XP)(mRXmjmXXemRP)()(5.3.4 5.3.4 功率谱估计的方法功率谱估计的方法 按定义从无限区间求得真实频谱，实际是在按定义从无限区间求得真实频谱，实际是在有限域中计算，这只是真实频谱的一种估计值，有限域中计算，这只是真实频谱的一种估计值，称为谱估计。称为谱估计。mjN)N(mxmjmxe )m(Re )m(R)(P 11)m(x)m(xN)m(R
15、x 1kNPkP2)()( )(jxeP21)(jNeXN )(kPx21)(kXNN)(kPxKmmkp1)(K1)n(xN)e(XjN 数据数据分段分段)(nx)(nxi加窗加窗处理处理)()()(nwnxnxii 计算各段计算各段FFT)(kXi求各段求各段功率谱功率谱)(kPi求平均求平均功率谱功率谱)(kP原理：使分段数增加，而每段的长度又不减小原理：使分段数增加，而每段的长度又不减小)()()(nxnxnx NnnxNnx11)()(其中：其中： 与功率谱估计有关的MATLAB函数Pxx, f=periodogram (xn, nfft, fs, window)Pxx, f=per
16、iodogram (xn, nfft, fs, window, range)Pxx, f=pwelch (xn, nfft, fs, window, noverlap)Pxx, f=pwelch (xn, nfft, fs, window, noverlap, range)Pxx=pwelch (xn, window, noverlap)Pxx, f=spectrum (xn, nfft, fs, window, noverlap, dflag)Pxy=csd(x, y)Pxy=csd(x, y, nfft)Pxy, f=psd(x, y, nfft, fs)Pxy=csd(x, y, nff
17、t, fs, window)Pxy=csd(x, y, nfft, fs, window, noverlap) Pxy=csd(x, y, nfft, fs, window, noverlap, dflag) 00.511.522.53-60-40-200204060FrenquencyPower Spectral(db)PSD estimation :Periodogram00.511.522.53-60-40-200204060FrenquencyPower Spectral(db)Welch PSD estimation ,M= 6400.511.522.53-60-40-200204060FrenquencyPower Spectral(db)Welch PSD estimation ,M= 128精品课件精品课件！精品课件精品课件！00.511.522.53-60-40-200204060FrenquencyPower Spectral(db)Welch PSD estimation ,M= 256