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1、随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的数学期望第1页，共65页，编辑于2022年，星期三第2页，共65页，编辑于2022年，星期三第一节第一节 随机变量的随机变量的 数学期望数学期望一、数学期望的概念一、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质三、数学期望的性质 四、应用实例四、应用实例第3页，共65页，编辑于2022年，星期三一、数学期望的概念一、数学期望的概念1.1.问题的提出问题的提出问题的提出问题的提出 1654年年,一个名叫一个名叫梅累的骑士就梅累的骑士就“两个赌徒两个赌徒约定约定赌若干局赌若干局,且谁先赢且谁
2、先赢 c 局便算赢家局便算赢家,若在一若在一赌徒胜赌徒胜a局局(ac),另一赌徒胜另一赌徒胜b局局(bc)时便终止时便终止赌博赌博,问应如何分赌本问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡为题求教于帕斯卡,帕帕斯卡与费马通信讨论这一问题斯卡与费马通信讨论这一问题,于于1654 年共同年共同建立了概率论的第一个基本概念建立了概率论的第一个基本概念 数学期望数学期望第4页，共65页，编辑于2022年，星期三 A、B两人赌技相同两人赌技相同,各出赌金各出赌金100元元,并约定并约定先胜三局者为胜先胜三局者为胜,取得全部取得全部 200元元.由于出现意外由于出现意外情况情况,在在 A 胜胜 2 局、局、B 胜胜
3、1局时局时,不得不终止赌博不得不终止赌博,如果要分赌金如果要分赌金,该如何分配才算公平该如何分配才算公平?引例引例1 分赌本问题分赌本问题(产生背景产生背景)第5页，共65页，编辑于2022年，星期三A胜胜2局局B胜胜1局局前三局前三局:后二局后二局:把已赌过的三局把已赌过的三局(A 胜胜2局、局、B 胜胜1局局)与上述结果与上述结果相结合相结合,即即A、B赌完五局赌完五局:A AA B B AB BA胜胜B胜胜分析分析假设继续赌两局假设继续赌两局,则结果有以下四种情况则结果有以下四种情况:A AA B B AB BA胜胜B负负 A胜胜B负负 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 A胜胜B
4、负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 第6页，共65页，编辑于2022年，星期三因此因此,A 能能“期望期望”得到的数目应为得到的数目应为 而而B 能能“期望期望”得到的数目得到的数目,则为则为故有故有,在赌技相同的情况下在赌技相同的情况下,A、B最终获胜的最终获胜的可能性大小之比为可能性大小之比为 3:1.即即A 应获得赌金的应获得赌金的 而而 B 只能获得赌金的只能获得赌金的第7页，共65页，编辑于2022年，星期三因而因而A期望所得的赌金即为期望所得的赌金即为X的的“期望期望”值值,等于等于X的可能值与其概率之积的累加的可能值与其概率之积的累加.即为即为若设随机变量若设随机变量 X 为为:在
5、在 A 胜胜2局局B 胜胜1局的前提局的前提下下,继续赌下去继续赌下去 A 最终所得的赌金最终所得的赌金.则则X 所取可能值为所取可能值为:其概率分别为其概率分别为:第8页，共65页，编辑于2022年，星期三 设设某某教教练练员员有有甲甲、乙乙两两名名射射击击运运动动员员,现现需需要要选选拔拔其其中中的的一一名名参参加加运运动动会会,根根据据过过去去的的记录显示记录显示,二人的技术水平如下二人的技术水平如下:乙射手乙射手 甲射手甲射手试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?引例引例2 选拔运动员选拔运动员第9页，共65页，编辑于2022年，星期三解解运动员的水平是通过其平均水平来衡量的运动员
6、的水平是通过其平均水平来衡量的,故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.因而甲、乙两射手的平均水平分别为因而甲、乙两射手的平均水平分别为甲射手甲射手乙射手乙射手第10页，共65页，编辑于2022年，星期三引例引例3 加权平均成绩加权平均成绩为该生各门课程的为该生各门课程的算术平均成绩算术平均成绩.设某学生四年大学各门功课设某学生四年大学各门功课 成绩分别为成绩分别为其学分分别为其学分分别为,则则称称第11页，共65页，编辑于2022年，星期三 显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种而而为该生的为该生的加权平均成绩加权平均成绩.,可见加权平均才充分的体现可见加
7、权平均才充分的体现了了特例特例,即即平均值的意义平均值的意义.第12页，共65页，编辑于2022年，星期三通过上述通过上述3个引例个引例,我们可以给出如下定义我们可以给出如下定义2.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望若级数若级数,则称则称绝对收敛绝对收敛,即即级数级数的和为随机变量的和为随机变量 X 的的数学期望数学期望,记为记为E X,即即定义定义3.1 设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布律为的分布律为第13页，共65页，编辑于2022年，星期三注注1 E X 是一个实数是一个实数,而而非非变量变量,它是一种它是一种加加权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不
8、同,它从本质上体现它从本质上体现了随机变量了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值,也称也称均值均值.注注2 级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不随保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的取可能值的平均值平均值,它不因可能值的排列次序而改变它不因可能值的排列次序而改变.第14页，共65页，编辑于2022年，星期三设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 n,p 二项分布二项分布,例例1(二项分布二项分布)设随机变量设随机变量XB n
9、,p,求求E X.解解则有则有3.常见离散型随机变量的数学期望常见离散型随机变量的数学期望其分布律为其分布律为第15页，共65页，编辑于2022年，星期三同时可得两点分布同时可得两点分布B 1,p 的数学期望为的数学期望为 p.np第16页，共65页，编辑于2022年，星期三解解则有则有例例2(泊松分布泊松分布)因而泊松分布因而泊松分布P 的数学期望为的数学期望为 .设设X ,且其分布律为且其分布律为设随机变量设随机变量 X P(),求求E X.第17页，共65页，编辑于2022年，星期三解解这是因为这是因为例例3(几何分布几何分布)设随机变量设随机变量X 的分布律为的分布律为则有则有设随机变
10、量设随机变量X 服从几何分布服从几何分布,求求E(X).第18页，共65页，编辑于2022年，星期三常见离散型分布的数学期望小结常见离散型分布的数学期望小结第19页，共65页，编辑于2022年，星期三4.连续型随机变量数学期望的定义连续型随机变量数学期望的定义定义定义3.2设连续型随机变量设连续型随机变量X 的分布密度为的分布密度为则称积分则称积分的值为随机变量的值为随机变量X 的的即即数学期望数学期望,p x,记为记为E X,即即第20页，共65页，编辑于2022年，星期三例例4(均匀分布均匀分布)解解则有则有5.常见连续型随机变量的数学期望常见连续型随机变量的数学期望设随机变量设随机变量X
11、服从均匀分布服从均匀分布,因而均匀分布数学期望位于区间的中点因而均匀分布数学期望位于区间的中点.求求E(X).第21页，共65页，编辑于2022年，星期三则有则有解解例例5(正态分布正态分布)设随机变量设随机变量 ,求求E X.设设 ,其分布密度函数其分布密度函数第22页，共65页，编辑于2022年，星期三所以所以令令因而参数因而参数 为为正态分布的数学期望正态分布的数学期望.第23页，共65页，编辑于2022年，星期三例例6 (指数分布指数分布)求求E X.解解第24页，共65页，编辑于2022年，星期三解解例例7(伽玛伽玛分布分布)当当 1时时,X服从指数分布服从指数分布Exp ,这时这时
12、 设随机变量设随机变量X ,则密度函数为则密度函数为设随机变量设随机变量X ,求求E X.第25页，共65页，编辑于2022年，星期三常见连续型分布的数学期望小结常见连续型分布的数学期望小结第26页，共65页，编辑于2022年，星期三例例8解解但是但是6.数学期望不存在的实例数学期望不存在的实例设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为由于由于因而其数学期望因而其数学期望E X 不存在不存在.求求E X.第27页，共65页，编辑于2022年，星期三二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望(一一)一维随机变量函数的数学期望一维随机变量函数的数学期望 1.问题的提出问题的提
13、出XE(X)数学期望数学期望f是连续函数,f(X)是随机变量,如:aX+b,X2等等.f(X)数学期望数学期望第28页，共65页，编辑于2022年，星期三如何计算随机变量函数的数学期望如何计算随机变量函数的数学期望?方法方法1(定义法定义法):f(X)是随机变量是随机变量,按照数学期望按照数学期望的定义计算的定义计算E f(X).2.一维随机变量函数数学期望的计算一维随机变量函数数学期望的计算关键关键:由由X的分布求出的分布求出f(X)的分布的分布.见2.3节的相关内容难点难点:一般一般f(X)形式比较复杂的形式比较复杂的,很难求出其分布很难求出其分布.第29页，共65页，编辑于2022年，星
14、期三方法方法2(公式法公式法):定理定理3.1 设设X是一个随机变量是一个随机变量,Y f(X),则则 当当X为离散型时为离散型时,P(X xk)pk,(k 1,2,);当当X为连续型时为连续型时,X的密度函数为的密度函数为p(x).求Ef(X)时,只需知道X的分布即可.第30页，共65页，编辑于2022年，星期三 证证现在只证明定理的特殊情形现在只证明定理的特殊情形:设设X的密度函数为的密度函数为函数函数 f单调连续单调连续,x f 1 y 为其反函数为其反函数,并且可导并且可导,同时同时 y ,则则第31页，共65页，编辑于2022年，星期三即即第32页，共65页，编辑于2022年，星期三
15、例例9设设某某种种商商品品的的需需求求量量X是是服服从从10,30上上的的均均匀匀分分布布的的随随机机变变量量,而而经经销销商商店店进进货货数数量量为区间为区间10,30中的某一整数中的某一整数,商店每销售一单商店每销售一单位位商商品品可可获获利利500元元.若若供供大大于于求求则则削削价价处处理理,每每 处处 理理1单单位位商商品品亏亏损损100元元;若若供供不不应应求求,则则可可从从外外部部调调剂剂供供应应,此此时时每每一一单单位位商商品品仅仅获获利利300元元.为为使使商商品品所所获获利利润润期期望望值值不不少少于于9280元元,试确定最少进货量试确定最少进货量.(考研试题考研试题)第3
16、3页，共65页，编辑于2022年，星期三解解 设进货量为设进货量为a,则利润为则利润为因此期望利润为因此期望利润为第34页，共65页，编辑于2022年，星期三因此因此即最少进货量为即最少进货量为21单单.第35页，共65页，编辑于2022年，星期三 对于二维随机变量而言对于二维随机变量而言,其函数的数学期望其函数的数学期望计算方法可以由类似于计算方法可以由类似于定理定理3.1得到得到.1.二维离散型情形二维离散型情形(二二)二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望设设 X,Y 为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量,Z f X,Y 为为 二元函数二元函数,如果如果E Z 存在存在
17、,其中其中 X,Y 的联合概率分布为的联合概率分布为pij.第36页，共65页，编辑于2022年，星期三2.二维连续型情形二维连续型情形设设 X,Y 为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量,Z f X,Y 为为二元连续函数二元连续函数,如果如果E Z 存在存在,则则其中其中 X,Y 的联合概率密度为的联合概率密度为p x,y.第37页，共65页，编辑于2022年，星期三例例 10 设设 X,Y 的分布律为的分布律为解解 X的分布律为的分布律为求求E X,E Y,第38页，共65页，编辑于2022年，星期三因为因为(X,Y)的分布律为的分布律为Y的分布律为的分布律为第39页，共65页，编辑于2
18、022年，星期三Y/X的分布律为的分布律为计算可得计算可得第40页，共65页，编辑于2022年，星期三 5.第41页，共65页，编辑于2022年，星期三例例11 设设X N(0,1),Y N(0,1),X 与与Y相互独立相互独立,解解(作极坐标变换作极坐标变换)第42页，共65页，编辑于2022年，星期三三、数学期望的性质三、数学期望的性质性质性质3.1 设设C是常数是常数,则有则有E CC.证证性质性质3.2 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有证证性质性质3.3 设设 X、Y 是两个随机变量是两个随机变量,则有则有第43页，共65页，编辑于2022年，星期三证
19、证推广推广第44页，共65页，编辑于2022年，星期三性质性质3.4 设设 X、Y是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,则有则有注注 连续型随机变量连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随机的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似变量数学期望的性质类似.上述证明只证了一类上述证明只证了一类.证证第45页，共65页，编辑于2022年，星期三例例12解解旅旅客客有有9个个到到达达一一个个车车站站车车站站可可以以下下车车.如如没没有有旅客下车就不停车旅客下车就不停车,以以X表示停车的次数表示停车的次数,求求E X (设设每每位位旅旅客客在在各各个个车车站站下下车车是是等等可可能能的的,并并
20、设设各旅客是否下车相互独立各旅客是否下车相互独立).引入随机变量引入随机变量Xi,一民航送客车载有一民航送客车载有 25 位旅客自机场开出位旅客自机场开出,第46页，共65页，编辑于2022年，星期三第47页，共65页，编辑于2022年，星期三解解例例13且且X,Y,Z相互独立相互独立,求随机变量求随机变量W 2X+3Y 4Z 1 的数学期望的数学期望.设随机变量设随机变量X N 0,1,Y U 0,1,ZB 5,0.5,第48页，共65页，编辑于2022年，星期三四、应用实例四、应用实例厂家的销售策略厂家的销售策略厂家的销售策略厂家的销售策略按按规规定定:出出售售的的设设备备在在售售出出的的
21、一一年年内内损损坏坏可可予予以以调调换换.若若出出售售一一台台设设备备赢赢利利100元元,调调换换一一台台设备厂方需花费设备厂方需花费300元元.求厂方出售一台设备净求厂方出售一台设备净赢利赢利Y的数学期望的数学期望.解解依题设依题设,有有某设备寿命某设备寿命X(以年计以年计)服从服从的指数分布的指数分布.第49页，共65页，编辑于2022年，星期三寿命不超过寿命不超过1年的概率年的概率出售的设备在售出一年之出售的设备在售出一年之内调换的概率内调换的概率寿命超过寿命超过1年的概率年的概率不需调换的概率不需调换的概率因此因此出售一台设备净赢利出售一台设备净赢利Y 的分布律为的分布律为.第50页，
22、共65页，编辑于2022年，星期三发行彩票的创收利润发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票某一彩票中心发行彩票10万张万张,每张每张2元元.设头等奖设头等奖1个个,奖金奖金 1万元万元,二等奖二等奖2个个,奖金各奖金各5千元千元;三等奖三等奖10个个,奖金各奖金各1千元千元;四等奖四等奖100个个,奖金各奖金各1百元百元;五等奖五等奖1000个个,奖金各奖金各10元元.每张彩票的成本费为每张彩票的成本费为0.3元元,请计算彩票发行单请计算彩票发行单位的创收利润位的创收利润.解解设每张彩票中奖的数额为随机变量设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则则第51页，共65页，编辑于2022年，星期三每张
23、彩票平均能得到奖金每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为万张彩票的创收利润为 0.5(元元).每张彩票平均可赚每张彩票平均可赚 2 0.5 0.3 1.2(元元).第52页，共65页，编辑于2022年，星期三如何确定投资决策方向如何确定投资决策方向?某人现有某人现有10万元现金万元现金,想投资于想投资于某某 项项 目目,为为期期一一年年.欲欲 估估成成 功功的的 机机 会会为为30%,并可获利并可获利8万元万元,失败失败的机会的机会为为70%,将将损损失失2万万 元元.若若存存入入银银行行,同同期期间间的的利利率率为为5%,哪哪一一种种方方案案可
24、可使投资的效益较大使投资的效益较大?解解设设X为投资利润为投资利润,则则存入银行的利息存入银行的利息:故应选择投资故应选择投资.第53页，共65页，编辑于2022年，星期三内容小结内容小结1.数学期望是一个实数数学期望是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加权平均加权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上它从本质上体现了随机变量体现了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值.2.数学期望的性质数学期望的性质第54页，共65页，编辑于2022年，星期三第55页，共65页，编辑于2022年，星期三求证求证:随机变量随机变量X没有数学期望没有数学期望.证证
25、由定义由定义,数学期望应为数学期望应为由微积分学可知由微积分学可知,右边的级数发散右边的级数发散.因此因此,随机变量随机变量X 没有数学期望没有数学期望.设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为备用题备用题例例 8-1第56页，共65页，编辑于2022年，星期三解解由于由于例例8-2 (柯西柯西分布分布)设随机变量设随机变量X服从柯西分布服从柯西分布,求求E X.因因X服从柯西分布服从柯西分布,则其密度函数为则其密度函数为因而其数学期望因而其数学期望E(X)不存在不存在.第57页，共65页，编辑于2022年，星期三游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,例例9-1解
26、解已知已知X在在0,60上服从均匀分布上服从均匀分布,其密度为其密度为电梯于每个正点的第电梯于每个正点的第5分钟、第分钟、第25分钟和第分钟和第55分钟从底层起行分钟从底层起行.假设在早上的假设在早上的8点的第点的第X分钟分钟到达底层候梯处到达底层候梯处,且且X在在0,60上服从均匀分布上服从均匀分布求游客等候时间的数学期望求游客等候时间的数学期望.（考研试题）（考研试题）第58页，共65页，编辑于2022年，星期三设设Y是游客等候电梯的时间是游客等候电梯的时间(单位单位:分分),则则因此因此第59页，共65页，编辑于2022年，星期三 11.67第60页，共65页，编辑于2022年，星期三解
27、解例例 9-2设随机变量设随机变量X的分布密度函数为的分布密度函数为试求试求 .(考研试题考研试题)第61页，共65页，编辑于2022年，星期三解解例例 9-3（报童问题）设某报童每日的潜在卖报数（报童问题）设某报童每日的潜在卖报数若记真正卖报数为若记真正卖报数为Y,则则Y与与X的关系如下：的关系如下：X服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.如果每卖出一份报如果每卖出一份报可报酬可报酬a,卖不掉而退回则每份赔偿卖不掉而退回则每份赔偿b,若某报童若某报童买进买进n份报份报,试求其期望所得试求其期望所得.进一步进一步,再求最佳再求最佳的卖报份数的卖报份数.第62页，共65页，编辑于2022年，星期三因此期望所得为因此期望所得为记所得为记所得为Z,则则Z与与Y的关系如下的关系如下:则则Y的分布为的分布为第63页，共65页，编辑于2022年，星期三当当a,b,给定后给定后,求求n使使M n 达到极大达到极大.第64页，共65页，编辑于2022年，星期三利用软件包求得计算结果如下利用软件包求得计算结果如下:第65页，共65页，编辑于2022年，星期三