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1、随机变量的数字特征第1页，共29页，编辑于2022年，星期三 而且在一些实际应而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了数字特征就够了.和抽象自与和抽象自与平均值的偏差程度的平均值的偏差程度的方差方差.平均寿命越长平均寿命越长,灯泡的质量就越好灯泡的质量就越好,主要应看这批灯泡的主要应看这批灯泡的平均寿命平均寿命和灯泡和灯泡寿命相寿命相对于平均寿命的偏差对于平均寿命的偏差,但在实际问题中，概率分布一般是较难确定的但在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.因此，在对随机变量的研究中，确
2、定某些数字特征是重要的因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是抽象自平均值的在这些数字特征中，最常用的是抽象自平均值的期望期望 我们先介绍随机变量的我们先介绍随机变量的数学期望数学期望.评定一批灯泡的质量评定一批灯泡的质量,灯泡寿命相对于平均寿命的偏差越小灯泡寿命相对于平均寿命的偏差越小,灯泡的质量就越稳定灯泡的质量就越稳定第2页，共29页，编辑于2022年，星期三抽象出 随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一.它的定义它的定义来自习惯上的平均值概念来自习惯上的平均值概念.我们从离散型随机变量的数学期望
3、开始我们从离散型随机变量的数学期望开始.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入：、概念的引入：例例1 甲班有甲班有30名学生，他们名学生，他们的数学考试成绩的数学考试成绩(按五级记分按五级记分)如右表所示如右表所示,则该班的平均成绩则该班的平均成绩 成绩 1 2 3 4 5人数频率 2 5 10 8 5 2/30 5/30 10/30 8/30 5/30 平均值 =以频率为权的加权平均 改以频率为权的加权平均频率和概率的关系 以概率为权 的加权平均数学期望数学期望 试验次数很大时,频率会接近于概率pk第3页，共29页，编
4、辑于2022年，星期三 离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛级数的和离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛级数的和如果如果 收敛收敛,定义定义1(P111 定义定义1)设离散型随机变量设离散型随机变量X 的分布列是的分布列是 P(X=xi)=pi,i=1,2,则称则称 为为 X 的的数学期望数学期望(期望期望)记为记为 .设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,或或均值均值,例例2 从学校乘汽车到火车站的途中有从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗个交通岗,试求途中遇到红灯次数的数学期望试求途中遇到红灯次数的数学期望.解解 设设 X 为遇到的红灯数为遇到
5、的红灯数,则则 X 的分布列为的分布列为 0 1 2 3Xpk7/125 54/125 36/125 8/125其概率为其概率为2/5,它是随机变量所有取值的以概率为权的加权平均它是随机变量所有取值的以概率为权的加权平均 第4页，共29页，编辑于2022年，星期三 在数轴上任取很密的分点在数轴上任取很密的分点 x1 x2 x3 0，求求 E(X).解解 物理力学解释：物理力学解释：设有一个总质量为设有一个总质量为 1 的质点系分布在的质点系分布在 x 轴上，轴上，各质点坐标位置为各质点坐标位置为 各质点质量分别为各质点质量分别为连续分布着，其线密度为连续分布着，其线密度为 f(x)总质量总质量
6、则则X 的数学期望的数学期望与总质量之比为与总质量之比为仍为仍为 EX 质点系的质心坐标这表明这表明EX 可以视为可以视为X 的取值中心的坐标的取值中心的坐标拉普拉斯分布第6页，共29页，编辑于2022年，星期三例例4(P113(P113 例例9)9)设随机变量设随机变量 X 密度为密度为试证试证 E(X)不存在不存在.解解 柯西分布=+,E(X)不存在不存在.不绝对收敛第7页，共29页，编辑于2022年，星期三 这意味着这意味着,若从该地区抽查很多个成年男子若从该地区抽查很多个成年男子,分别测量分别测量 他们的身高，他们的身高，若若XU(a,b),),则则若若XN(,2),),则则若若X P
7、(),),则则已学过的重要分布的数学期望：已学过的重要分布的数学期望：由期望的定义不难算得由期望的定义不难算得 例例 已知某地区成年男子身高已知某地区成年男子身高 X N(1.68,2),),那么那么,这些身高平均值的近似是这些身高平均值的近似是1.68.若若XB(n,p),则则 EX=np.若若XE(),),则则 EX=1/，第8页，共29页，编辑于2022年，星期三 如果如果 收敛收敛,一旦知道了一旦知道了g(X)的分布的分布,就可以按照期望定义把就可以按照期望定义把 E g(X)计算出来计算出来.它的分布可以由已知的它的分布可以由已知的X 的的分布求出来分布求出来.设已知随机变量设已知随
8、机变量X 的分布的分布 三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望一种方法是一种方法是:下面的定理指出答案是肯定的下面的定理指出答案是肯定的.类似类似 EX 的推理，可建立如下的定理的推理，可建立如下的定理:定理定理1(P114(P114 定理定理1)1)设随机变量设随机变量Y 是随机变量是随机变量X 的连续函数的连续函数Y=g(X),比较复杂(1)(1)设设 X 为离散型随机变量为离散型随机变量,其分布列为其分布列为P(X=xi)=pi,i=1,2,是否可以不先求是否可以不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X 的分布求得的分布求得E g(X)呢？呢？(2)(2)设设X 是连续
9、型随机变量是连续型随机变量,其密度函数为其密度函数为 f(x),如果如果 收敛收敛,则则 则则 如何计算如何计算 X X 的某个函数的某个函数 g(X)g(X)的期望的期望？g(X)也是随机变量也是随机变量,第9页，共29页，编辑于2022年，星期三其中其中 k 是正整数是正整数.将将g(X)特殊化，可得到多种其他的数字特征特殊化，可得到多种其他的数字特征:k 阶原点距，阶原点距，k 阶中心距，阶中心距，k 阶绝对原点距，阶绝对原点距，k 阶绝对中心距，阶绝对中心距，由此公式求由此公式求E g(X)时时,甚至甚至不必知道不必知道 g(X)的分布的分布,直接利用直接利用X 的分布就的分布就可以了
10、可以了.推广推广 设随机变量设随机变量Z 是随机变量是随机变量X,Y 的连续函数的连续函数Y=g(X,Y),则则 联合分布列联合分布列 联合密度联合密度 绝对收敛绝对收敛 这给求随机变量函数的期望带来很大方便这给求随机变量函数的期望带来很大方便.第10页，共29页，编辑于2022年，星期三=0.1+0.2 +0.4 +0.3例例5 设随机变量设随机变量X 的分布列为的分布列为pkX -1 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.3求求 E(2X-1),),E(X 2).解解 E(2X-1)-1)例例6(P116(P116例例12)12)设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为的联
11、合密度函数为 求求 EX,E(XY).).解解 EXE(XY)=1.4;第11页，共29页，编辑于2022年，星期三1.=C;四、数学期望的性质四、数学期望的性质定理定理3(P.117)设设C是常数，则是常数，则 EC常数常数 C 只取一个可能值只取一个可能值 C 的随机变量的随机变量 X,概率为概率为 1,EX=C 1=C.2.若若C 是常数，则是常数，则 E(CX)=C EX;3.E(X1+X2)=EX1+EX2;保线性运算保线性运算 设设X,Y 独立，则独立，则 4.E(XY)=EX EY;5.若若 X 0,则则 EX 0;若若 X1 X2,则则 EX1 EX2;反之未必成立:E(XY)
12、=E(X)E(Y)X,Y 独立 保序性 X1-X2 0 E(X1-X2)0 EX1-EX2 0 6.|EX|E|X|;7.若若EX 2,EY 2 都存在都存在,则则E(XY)存在存在,且且 E(XY)2 EX 2 EY 2.柯西许瓦兹不等式 积分的绝对值 绝对值的积分 绝对值性质 第12页，共29页，编辑于2022年，星期三 设每次命中率设每次命中率为为 p,例例8 对某一目标连续射击对某一目标连续射击,直到命中直到命中n 次为止次为止.五、期望及其性质的应用五、期望及其性质的应用求消耗子弹数求消耗子弹数 X 的数学期望的数学期望.解解 设设 Xi 表示从第表示从第 i 1 次命中后至第次命中
13、后至第 i 次命中时所消耗的子弹数，次命中时所消耗的子弹数，则则 X=X1+X2+Xn,且且 Xi 的分布列为的分布列为 P(Xi=k)=(1-(1-p)k-1p,这种将这种将 X 分解为有限多个随机变量之和分解为有限多个随机变量之和,再利用期望性质求得再利用期望性质求得X 的期望的方法是较常见的基本方法的期望的方法是较常见的基本方法.P119 例例15 第13页，共29页，编辑于2022年，星期三 而商场每销售一单位而商场每销售一单位商品可获利商品可获利500元元,若供大于求若供大于求,则削价处理则削价处理,每单位商品每单位商品亏损亏损100元元;例例7 7(P114(P114 例例11)1
14、1)某种商品每周的需求量某种商品每周的需求量 XU 10,30,若供不应求若供不应求,则可从外部调剂供应则可从外部调剂供应,此时每单位商品可获利此时每单位商品可获利300元元.要使商场获得最大的收益要使商场获得最大的收益,问应进货多少问应进货多少?解解 设应进货量为设应进货量为 a(10至至 30 间的某一整数间的某一整数),),利润为利润为Y,则则 连续 故当故当 a=23.33 时时,EY 最大最大,故应进货故应进货 23 吨吨.第14页，共29页，编辑于2022年，星期三 为了补偿为了补偿乙的不利地位乙的不利地位,另行规定两人下的赌注不相等另行规定两人下的赌注不相等,设甲、乙两人玩必分胜
15、负的赌博游戏，设甲、乙两人玩必分胜负的赌博游戏，解解 设甲赢的钱数为设甲赢的钱数为X，乙赢的钱数为，乙赢的钱数为Y，依题意依题意EX =b p+(-(-a)q,EY=a q+(-(-b)p.为对双方公正为对双方公正,应有应有b p-a q=a q-b p,例例9 假定游戏的规则不公正假定游戏的规则不公正,以致两人获胜的概率以致两人获胜的概率不等，不等，甲为甲为 a,乙为乙为b,a b.现在的问题是：现在的问题是：a 究竟应比究竟应比 b 大多少大多少,才能做到公正？才能做到公正？甲为甲为p,乙为乙为q，p q,p+q=1.EX =EY 第15页，共29页，编辑于2022年，星期三 如经营工艺品
16、如经营工艺品,风险小但获利少风险小但获利少(95会赚会赚,但利润为但利润为1000元元)数学家可以从期望值来观察风险，分析风险，以便数学家可以从期望值来观察风险，分析风险，以便作出正确的决策来规避风险作出正确的决策来规避风险 例如例如,一个体户有资金一笔一个体户有资金一笔,想经营西瓜想经营西瓜,于是计算期望值：于是计算期望值：若经营西瓜的期望值若经营西瓜的期望值 E1=0.72000=1400元元,而经营工艺品的期望值而经营工艺品的期望值 E2=0.951000=950元元.所以权衡下来情愿所以权衡下来情愿“搏一记搏一记”去经营西瓜去经营西瓜,因它的期望值高因它的期望值高.该该 如如 何何 决
17、决 策？策？期望与风险并存期望与风险并存风险大但利润高风险大但利润高(成功的概率为成功的概率为0.7,获利获利2000元元),第16页，共29页，编辑于2022年，星期三 我们介绍了随机变量的我们介绍了随机变量的数学期望数学期望，它反映了随机变量取值的，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.小结小结 保线性运算保线性运算 七条性质七条性质:独立性与积独立性与积 保序性保序性 绝对值性质绝对值性质 柯西柯西许瓦兹不等式许瓦兹不等式 E(XY)2 EX 2 EY 2第17页，共29页，编辑于2022年，星期三2 随机变量的方差与标准
18、差随机变量的方差与标准差 上节的例上节的例1 甲班有甲班有30名学生，他名学生，他们的数学考试成绩们的数学考试成绩(按五级按五级记分记分)如右表所示如右表所示,成绩 1 2 3 4 5人数 2 5 10 8 5成绩 1 2 3 4 5人数 0 0 14 6 0 乙班有乙班有20名学生，他们的数名学生，他们的数学考试成绩学考试成绩如右表所示如右表所示,则该班的平均成绩也是则该班的平均成绩也是 你认为两个班的成绩一样吗你认为两个班的成绩一样吗?为此需要引进另一个数字特征为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度中心附近的离散程度.这个数字特征
19、就是我们要介绍的这个数字特征就是我们要介绍的 我们已经介绍了随机变量的数学期望我们已经介绍了随机变量的数学期望,它体现的是随机变量取值的平它体现的是随机变量取值的平均水平均水平,是随机变量的一个重要数字特征是随机变量的一个重要数字特征.但很多场合，仅仅知道平均值是不够的但很多场合，仅仅知道平均值是不够的.则该班的平均成绩则该班的平均成绩 第18页，共29页，编辑于2022年，星期三 则称其为则称其为 X 的的方差方差,采用平方是为了保证一切差值X-E(X)都起正面的作用 方差的算术平方根方差的算术平方根 称为称为标准差标准差.定义定义 设设X 是一个随机变量，是一个随机变量，即即 DX=E X
20、-EX 2 一、方差的定义一、方差的定义 记为记为 DX,它与 X 具有相同的量纲在实际问题中经常使用 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.若若X 的取值比较集中的取值比较集中,则方差较小；则方差较小；反之反之,则方差较大则方差较大.由定义知由定义知,方差是随机变量方差是随机变量X 的函数的函数g(X)=X-EX 2 的数学期望的数学期望.甲乙两个班的平均成绩都是甲乙两个班的平均成绩都是 3.3,若若E(X-EX )2 DY,两人技术水平相当两人技术水平相当,但乙的技术比甲稳定但乙的技术比甲稳定.第20页，共29页，编辑于2022年
21、，星期三 DX=EX 2-(-(EX)2 展开 DX=E(X-EX)2=E X 2-2X EX+(EX)2 =EX 2-2(EX)2+(EX)2=EX 2-(-(EX)2利用期望性质常见分布的方差：常见分布的方差：计算方差的一个简化公式计算方差的一个简化公式 若若X B(n,p),则则 DX=n p(1-(1-p).若若X P(),),则则若若XU(a,b),),则则若若XN(,2),),则则若X 的取值比较集中则方差较小标准正态若若XE(),),则则 DX=1/2 第21页，共29页，编辑于2022年，星期三P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,n 其中其中 0 p 1,求求DX.解
22、解 记记 q=1-p求和与求导交换次序无穷递缩等比级数求和公式例例2(P.122例例8)设随机变量设随机变量X 服从几何分布服从几何分布,概率函数为概率函数为+E(X)DX=EX 2-(-(EX)2 例例3连续型随机变量的例子请自读请自读 k 2=k(k-1+1)第22页，共29页，编辑于2022年，星期三 设随机变量设随机变量 X 有期望和方差，有期望和方差，由切比雪夫不等式可看出由切比雪夫不等式可看出：DX 越小越小,则事件则事件|X-EX|0,证证(仅就连续的情形给出证明仅就连续的情形给出证明)则则 0,设设X 的密度函数为的密度函数为 f(x),即随机变量即随机变量X 集中在期望附近的
23、可能性越大集中在期望附近的可能性越大.在未知分布的情形下估计 P(|X-EX|)第23页，共29页，编辑于2022年，星期三 当方差已知时当方差已知时,切比雪夫不等式给出了随机变量切比雪夫不等式给出了随机变量X与它的期望的偏与它的期望的偏差不小于差不小于 的概率的估计式的概率的估计式.切比雪夫不等式切比雪夫不等式 可见，可见，对任给的分布对任给的分布，只要期，只要期望和方差望和方差 2 存在，则随机变量存在，则随机变量X 取取值偏离值偏离 EX 超过超过 3 的概率小于的概率小于 0.111.设设 并取并取在未知分布的情形下估计在未知分布的情形下估计 P(|(|X-EX|)第24页，共29页，
24、编辑于2022年，星期三 则一周产量在则一周产量在 40 60 之间的概率至少之间的概率至少有多大？有多大？例例4 已知某厂的周产量是均值为已知某厂的周产量是均值为 50 的随机变量，的随机变量，若已知周产量的方差为若已知周产量的方差为 25，解解 设设 X 为周产量，为周产量，由由切比雪夫不等式切比雪夫不等式知知:则一周产量在则一周产量在 40 60 之间的概率至少有之间的概率至少有 3/4.第25页，共29页，编辑于2022年，星期三 利用切比雪夫不等式求：利用切比雪夫不等式求：n 多大时多大时,才能使得在才能使得在 n 次独立重复试验中次独立重复试验中,事件事件 A 出现的频率在出现的频
25、率在 0.74 0.76 之间的概率至少为之间的概率至少为 0.90?解解 设设 X 为为 n 次试验中事件次试验中事件 A 出现的次数，出现的次数，EX=0.75 n,的最小的的最小的 n.则则 X B(n,0.75),),所求为满足所求为满足DX=0.750.25 n=0.1875 n,例例5 在每次试验中在每次试验中,事件事件 A 发生的概率为发生的概率为 0.75,=P(0.74 n X 0.76 n)=P(-(-0.01n X-0.75 n 0.01n)=P(X-EX 0.01n)=P(X-EX 0,证明：证明：EY=0,DY=1.证证 =0，D(X-EX)=DX+D(EX)-2 E
26、(X-EX)()(EX-E(EX)=0 =0 =DX 为为 X 的的标准化随机变量标准化随机变量.称称 标准化随机变量的数字特征无量纲便于比较第28页，共29页，编辑于2022年，星期三n 次随机取值的平均值的期望不变次随机取值的平均值的期望不变测量时测量时,常以多次重复测量所得值的平均值作为该指标的真值常以多次重复测量所得值的平均值作为该指标的真值令令求求解解 取多次测量均值的理论依据取多次测量均值的理论依据但偏差比任一次取值的偏差缩小了但偏差比任一次取值的偏差缩小了n 倍倍若被测物的真值为若被测物的真值为,n 次重复测量可认为是互不影响的次重复测量可认为是互不影响的,且每次测量的结果且每次测量的结果 Xi 都在真值都在真值的附近波动的附近波动 (1)(1)(2)(2)(1)(1)表明表明 n 次测量的算术平均值仍在真值次测量的算术平均值仍在真值附近取值附近取值,(2)(2)则表明则表明 更加接近真值更加接近真值,且且 n 越大越大,接近程度就越好接近程度就越好.在一定的精度的概率要求下在一定的精度的概率要求下,如何确定试验的重复次数如何确定试验的重复次数 n?在下章中给出回答在下章中给出回答.例例7(P124(P124 例例23)23)设设X1,X2,Xn相互独立相互独立,在对误差要求较高的精密测量中在对误差要求较高的精密测量中 第29页，共29页，编辑于2022年，星期三