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1、 第二节第二节 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、数学期望的概念一、数学期望的概念二、数学期望的性质二、数学期望的性质 通过前面的学习知道，对于一个随机变量若已知它的概通过前面的学习知道，对于一个随机变量若已知它的概率分布，就可以计算出我们要求的各种情形的概率。率分布，就可以计算出我们要求的各种情形的概率。然而，在实际问题中所遇到的随机变量，其分布一般情然而，在实际问题中所遇到的随机变量，其分布一般情况下是未知的，而求出它的分布不是一件容易的事。况下是未知的，而求出它的分布不是一件容易的事。在一些实际问题中，我们并不一定要知道某个随机变量在一些实际问题中，我们并不一定要知道某个随机变量的
2、分布，而只需要知道一些能够集中反映其分布特征和性的分布，而只需要知道一些能够集中反映其分布特征和性质的指标就可以解决问题。质的指标就可以解决问题。例如例如,在评价某地区粮食产量水平时在评价某地区粮食产量水平时,通常只要知道该通常只要知道该地区粮食的平均产量地区粮食的平均产量;又如又如,在评论一批在评论一批灯泡灯泡的质量时的质量时,既既要注意要注意其其平均平均使用寿命使用寿命,又要注意又要注意灯泡寿命灯泡寿命与平均与平均寿命寿命的偏离程度的偏离程度.实际上实际上,描述随机变量的平均值和偏离程度的描述随机变量的平均值和偏离程度的数字特征在理论和实践上都具有重要的意义数字特征在理论和实践上都具有重要
3、的意义,它们它们能更直接能更直接,更简洁更简洁,更清晰和更实用地反映出随机更清晰和更实用地反映出随机变量的本质变量的本质.将要讨论随机变量的常用数字特征将要讨论随机变量的常用数字特征:数学期望数学期望,方差方差.1.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望一、数学期望的概念一、数学期望的概念 若级数若级数 发散发散,则称则称X的数学期望不存在的数学期望不存在.关于定义的两点说明关于定义的两点说明 (1)E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加权平均加权平均,与一般的算术平均值不同与一般的算术平均值不同,它从本质上体现了随机变量它从本质上体现了随机变量 X 取可
4、能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值,也称也称均值均值.(2)级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量是反映随机变量X 取可能值的平均值取可能值的平均值,它不应随可能值的它不应随可能值的排列次序而改变排列次序而改变.绝对收敛是一个必要条件，它们可以保证顺序的绝对收敛是一个必要条件，它们可以保证顺序的变化不影响数学期望中级数的收敛性变化不影响数学期望中级数的收敛性.例如设随机变量例如设随机变量X 取值取值相应的概率为相应的概率为所以所以X的数学期
5、望不存在的数学期望不存在.由于由于 发散，发散，例例 1此例说明了数学期望更完整地刻化了此例说明了数学期望更完整地刻化了X的均值状态。的均值状态。2.连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望若若 发散发散,称称X的数学期望不存在的数学期望不存在.注注:并非所有随机变量都有数学期望并非所有随机变量都有数学期望.例如例如,若若X 的密度为的密度为由于广义积分由于广义积分发散发散,所以所以E(X)不存在不存在.例例2 设设X的密度函数为的密度函数为 求求E(X).解解 例例3 设随机变量设随机变量X f(x),E(X)=7/12,其中其中解：解：由题意知由题意知解方程组得解方程组得 a=1,
6、b=1/2.求求a与与b的值的值.随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计算的的分布，我们需要计算的不是不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期望，比如的某个函数的期望，比如说说g(X)的期望的期望.那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？1.离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望解解设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为则有则有因此离散型随机变量函数的数学期望为因此离散型随机变量函数的数学期望为若若 Y=g(X),且且则有则有则有则有2.连续型随机变量函数的数学期望连续型随机变量函数的数学期望若若 X 是连
7、续型的是连续型的,它的分布密度为它的分布密度为 f(x),则则例例4 设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为 称称X服从服从a,b上的均匀分布上的均匀分布.求求及及解解 市场上对某种产品每年的需求量为市场上对某种产品每年的需求量为X 吨吨 ，XU(2000,4000),每出售一吨可赚每出售一吨可赚3万元万元 ,售售 不出去，则每吨需仓库保管费不出去，则每吨需仓库保管费1 1万元，问应该生万元，问应该生 产这种商品多少吨产这种商品多少吨,才能使平均利润最大？才能使平均利润最大？例例5解解设每年生产设每年生产 y 吨的利润为吨的利润为 Y，2000 y 4000故故 y=3500 时时，EY 最大最大，EY=8250万元万元1.设设 C 是常数是常数,则有则有证明证明2.设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,k 是常数是常数,则有则有二、数学期望的性质二、数学期望的性质3.E(aX+b)=aEX+b4.E(X+Y)=E(X)+E(Y）注注:这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形.5、对对任意的两个随机任意的两个随机变变量函数量函数且且存在，存在，则则有有 .解解例例6