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1、随机变量的方差第1页，共16页，编辑于2022年，星期三 上一节介绍的数学期望，它体现了随机变量取值上一节介绍的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要数字特征的平均水平，是随机变量的一个重要数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的，我但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的，我 们还想知道随机变量取值偏离平均值的程度们还想知道随机变量取值偏离平均值的程度。为此需要引进另一个数字特征为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机用它来度量随机 变量取值在其均值附近的离散程度变量取值在其均值附近的离散程度.一、方差的定义一、方差的定义 第2页，共16页，编辑于2022年，
2、星期三例：检验两批灯泡的质量例：检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样从中分别随机抽样5只只,测得使用测得使用寿命如下寿命如下:A:2000 1500 1000 500 1000;B:1500 1500 1000 1000 1000;(单位单位:小时小时),试比较这两批灯泡质量的好坏试比较这两批灯泡质量的好坏.计算得计算得:平均寿命分别为平均寿命分别为:A:1200,B:1200,观察得观察得:A中使用寿命与平均寿命偏离较大中使用寿命与平均寿命偏离较大,B中使用中使用寿命与平均寿命偏离较小寿命与平均寿命偏离较小,所以所以,B产品质量较好产品质量较好.数学期望数学期望方差方差 这个反映这个反映“偏
3、离程度偏离程度”的指标是随机变量的另一的指标是随机变量的另一个特征，我们称之为个特征，我们称之为方差方差，它，它刻划了随机变量的取值刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度相对于其数学期望的离散程度.第3页，共16页，编辑于2022年，星期三 方差的定义方差的定义 或或 第4页，共16页，编辑于2022年，星期三注注1 由方差定义，若随机变量由方差定义，若随机变量X X的方差的方差D(X)存在，存在，则则 注注2 若随机变量若随机变量X的数学期望存在，而的数学期望存在，而X的方差的方差 不一定存在；不一定存在；若若X的方差存在，则的方差存在，则X的数学期望必存在的数学期望必存在.第5页，
4、共16页，编辑于2022年，星期三离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差方差的计算方差的计算 (1)利用定义计算利用定义计算 第6页，共16页，编辑于2022年，星期三证明证明(2)利用公式计算利用公式计算第7页，共16页，编辑于2022年，星期三证明证明二、方差的性质二、方差的性质(1)设设 C 是常数是常数,则有则有(2)设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,a,b 是常数是常数,则有则有 D(aX+b)=aD(X)证明证明 第8页，共16页，编辑于2022年，星期三例例1 设随机变量设随机变量X的期望的期望E(X)和方差和方差D(X)都存在，
5、都存在，且且D(X)0,令令 称称为为X的的标标准化随机准化随机变变量量，求，求解解 第9页，共16页，编辑于2022年，星期三例例2 设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为求求D(X).解解于是于是第10页，共16页，编辑于2022年，星期三例例3 已知随机变量已知随机变量X的数学期望的数学期望EX=2.4,方差方差 DX=1.44,则则X2的数学期望的数学期望EX2=()7.2例例4 已知随机变量已知随机变量 X的数学期望和方差均为的数学期望和方差均为2，求随机变量，求随机变量 Z=3X-2的期望和方差的期望和方差 EZ,DZ.解：解：EZ=3EX-2=4DZ=9DX=18第11页
6、，共16页，编辑于2022年，星期三其中其中 k 是正整数是正整数.三、矩三、矩第12页，共16页，编辑于2022年，星期三四、切比雪夫不等式四、切比雪夫不等式 设设随机随机变变量量X的方差的方差D(X)存在，则对任意的存在，则对任意的，有，有或或第13页，共16页，编辑于2022年，星期三得得证明证明取连续型随机变量的情况来证明取连续型随机变量的情况来证明.第14页，共16页，编辑于2022年，星期三例例1 1 设随机变量设随机变量的数学期望的数学期望E=，方差，方差 D=2则由切比雪夫不等式有则由切比雪夫不等式有解：根据切比雪夫不等式解：根据切比雪夫不等式第15页，共16页，编辑于2022年，星期三例例2.设设X用切比雪夫不等式证明用切比雪夫不等式证明证明证明:EX=n+1EX2=(n+1)(n+2)所以所以,DX=EX2-(EX)2=n+1其中其中,=n+1第16页，共16页，编辑于2022年，星期三