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1、随机变量和数学期望第1页，共14页，编辑于2022年，星期三复习引入随机变量随机变量的分布律估计一下他今晚完成作业的时间？k123456P(=k)0.20.40.250.050.050.05取值的加权加权平均数（时）第2页，共14页，编辑于2022年，星期三数学期望一般地，如果随机变量 可以取x1,x2,xn中的任意一个值，取这些值对应的概率分别为 p1,p2,pn，那么随机变量 的数学期望数学期望为E=x1p1+x2p2+xnpn.第3页，共14页，编辑于2022年，星期三备注1.数学期望是以概率为权的随机变量的加权平均数；2.数学期望并不一定等同于常识中的“期望”“数学期望”也许与随机变量
2、的每个取值都不相等.第4页，共14页，编辑于2022年，星期三例题1.一种填字彩票，购票者花1元买一张小卡，购买者在卡上填10以内的三个数字(允许重复).如果三个数字依次与开奖的三个有序的数字分别相等，得奖金600元.只要有一个数字不符(大小与次序)，无奖金.求购买一张彩票的期望收益.解：中奖的概率为0.001，收益为599元；不中奖的概率为0.999，收益为-1元.期望收益第5页，共14页，编辑于2022年，星期三数学期望的性质(1)设是随机变量，c是任一实数，那么E(c)=cE.(2)设是随机变量，=1+2+n，i(i=1,2,n)都是存在数学期望的随机变量，那么E=E1+E2+En.(3
3、)常数C的数学期望是常数本身，即EC=C.第6页，共14页，编辑于2022年，星期三例题2.有一种叫做“天天奖”的彩票，每注售价2元，中奖的概率为1%，如果每注奖的奖金为50元，那么购买一注彩票的期望收益是多少元？解：期望收益（元）中奖的概率为0.01，收益为48元，不中奖的概率为0.99，收益为-2元.P(=48)=0.01；P(=-2)=0.99.所以购买一注彩票的期望收益是-1.5元，即损失1.5元.第7页，共14页，编辑于2022年，星期三例题2.有一种叫做“天天奖”的彩票，每注售价2元，中奖的概率为1%，如果每注奖的奖金为50元，那么购买5 5注彩票的期望收益是多少元？解：购买一注的
4、期望收益E=-1.5(元).因此购买5注的期望收益为(元)第8页，共14页，编辑于2022年，星期三例题3.已知的概率分布律如下表所示：(1)求E；(2)若=2-1，求E.x0123P(=x)0.250.30.150.3第9页，共14页，编辑于2022年，星期三随机变量的均值数学期望是随机变量取值的加权平均数，表示随机变量取值的平均水平，因此也叫做随机变量的均值均值.求下列表中随机变量1和2的数学期望.x123P(1=x)0.20.60.2x-0.534P(2=x)0.40.20.4第10页，共14页，编辑于2022年，星期三x123P(1=x)0.20.60.2 取值与均值差的平方的加权平均
5、数x-0.534P(2=x)0.40.20.4第11页，共14页，编辑于2022年，星期三定义一般地，如果随机变量 可以取x1,x2,xn中的任意一个值，对应的概率分布律为 p1,p2,pn，随机变量的数学期望为E，那么叫做随机变量的方差方差.方差的算术平方根叫做随机变量的标准差.随机变量的方差或标准差刻画了随机变量取值的离散程度离散程度.第12页，共14页，编辑于2022年，星期三练习1.如果随机变量的概率分布律由下表给出：求的数学期望与方差.2.设=cos，其中的概率分布律同第1题，求E，D.x0P(=x)第13页，共14页，编辑于2022年，星期三小结随机变量的数学期望（均值）；随机变量的方差与标准差.第14页，共14页，编辑于2022年，星期三