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1、 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用函数单调性的判别法函数单调性的判别法函数单调区间的求法函数单调区间的求法小结小结 思考题思考题 作业作业 6.4 函数的单调性与函数的单调性与 曲线的凹凸性曲线的凹凸性曲线凹凸性的判别法曲线凹凸性的判别法曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法第第6章章 微分中值定理与导数的应用微
2、分中值定理与导数的应用1 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用定理定理6.8单调增加单调增加;单调减少单调减少.一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法设函数设函数y=f(x)在在a,b上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导.那末函数那末函数y=f(x)在在a,b上上那末函数那末函数y=f(x)在在a,b上上
3、2 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用证证 拉氏定理拉氏定理(1)(2)此定理不论对于开、闭、有限或无穷此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确区间都正确.注注若在若在(a,b)内内,若在若在(a,b)内内,因为因为所以所以y=f(x)在在a,b上单调增加上单调增加;因为因为所以所以y=f(x)在在a,b上单调
4、减少上单调减少.3 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例解解 定义域为定义域为因为因为所以所以所以所以4 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或
5、者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用方法方法问题问题如上例如上例,函数在定义区间上不是单调的函数在定义区间上不是单调的,若函数在其定义域的某个区间内是单调的若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导然后判定区间内导数的符号数的符号.的的分界点分界点二、函数单调区间的求法二、函数单调区间的求法但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调.则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间可能是单调区间的点划分函数的点划分函数f(x)的定义区
6、间的定义区间,5 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例解解定义域定义域单调区间为单调区间为单调区间单调区间.6 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供
7、商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例解解单调减少区间为单调减少区间为定义域定义域单调增加区间为单调增加区间为导数不存在导数不存在.7 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用区间内有限个或无穷多个离散点处导数为零区间内有限个或无穷多
8、个离散点处导数为零,如如,注注不影响区间的单调性不影响区间的单调性.单调增加单调增加.又如又如,可导可导,且且等号只在等号只在(无穷多个离散点无穷多个离散点)处成立处成立,故故内内单调增加单调增加.8 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例证证因为因为因为因为9 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲
9、线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例证证 定不出符号定不出符号10 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买
10、商品的价款或接受服务的费用即即11 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用证证 若令若令则只须证明则只须证明g(x)单调增加单调增加.而而 拉氏定理拉氏定理 g(x)单调增加单调增加.从而从而12 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加
11、赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用考研数学考研数学(一一,二二)12分分证证 法一法一则则所以所以单调减少单调减少,从而从而单调增加单调增加.因此因此即即故故13 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增
12、加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用证证 法二法二 对函数对函数所以所以单调减少单调减少,从而从而在在a,b上应用拉氏定理上应用拉氏定理,得得设设则则即即即即考研数学考研数学(一一,二二)12分分14 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用考研数学考研数学(一一,二二)选择题选择题4分分设函数设函数 f
13、(x)连续连续,则存在则存在使得使得15 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(concave and convex)三、三、曲线曲线凹凸凹凸性的判别法性的判别法1.定义定义如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向16 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为
14、的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用定义定义6.1恒有恒有凹凹(凸凸)图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的下方位于所张弦的下方图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的上方位于所张弦的上方如果对如果对(a,b)内任意内任意两点两点x1,x2,那么称那么称f(x)在在(a,b)内的图形是内的图形是 的的.17 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，
15、应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用曲线弧上每一点的切线都在曲线的曲线弧上每一点的切线都在曲线的下下或或定义定义 (上上)方方,称为称为凹凹 弧弧.(凸凸)凹凹弧的曲线段弧的曲线段 f(x)的切线斜率是单增的的切线斜率是单增的,是单增的是单增的,弧的切线斜率是单减的弧的切线斜率是单减的,是单减的是单减的.而凸而凸利用利用二阶导数二阶导数判断曲线的判断曲线的凹凸性凹凸性从几何直观上从几何直观上,随着随着x的增大
16、的增大,18 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用定理定理6.96.9具有具有二阶导数二阶导数,凹凹(凸凸)2.凹凸性的判别法凹凸性的判别法如果如果 f(x)在在a,b上连续上连续,在在(a,b)内内在在(a,b)内内,在在a,b上的图形是上的图形是 的的.则则 f(x)19 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数
17、的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用证证即即这说明切线位于曲线的下方这说明切线位于曲线的下方,泰勒公式泰勒公式即即f(x)是凹的是凹的.20 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务
18、有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用即即例例证证 设设图形是图形是凹的凹的.利用函数图形的利用函数图形的凹凸性证明不等式凹凸性证明不等式:21 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例解解注注 凸凸变变凹凹的分界点的分界点.点点(0,0)是曲线
19、由是曲线由22 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用考研数学考研数学(一一,二二,三三,四四)填空填空4分分设函数设函数 y=f(x)具有二阶导数具有二阶导数,分别为分别为 f(x)在点在点x0处对应的增量与微分处对应的增量与微分,则则23 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品
20、或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1.定义定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的 拐点拐点.几何上几何上四、曲线的四、曲线的拐点拐点及其求法及其求法(inflection point)拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.24 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消
21、费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用拐点的充分条件拐点的充分条件2.拐点的求法拐点的求法 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处.拐点的必要条件拐点的必要条件若若f(x)具有二阶导数具有二阶导数,则点则点(1)(2)(x0,f(x0)是拐点的是拐点的必要条件为必要条件为(或或x0为二阶导数不存在的点为二阶导数不存在的点)设函数设函数f(x)在点在点x0邻域内邻域内二阶二阶可导可导,点点
22、(x0,f(x0)即为即为拐点拐点;点点(x0,f(x0)不是不是拐点拐点.25 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例解解不存在不存在定义域为定义域为(1)(2)(3)列表列表拐点拐点拐点拐点26 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要
23、求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例解解拐点的第二充分条件拐点的第二充分条件 设函数设函数f(x)在在x0的邻域内的邻域内是曲线是曲线 y=f(x)的的拐点拐点.三阶可导三阶可导,那末那末(x0,f(x0)27 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有
24、欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例解解函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性28 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用证证 法一法一 用单调性证用单调性证.法二法二 用凹凸性证用凹凸性证.例例设设则则即即函数的单调性与曲线的凹
25、凸性函数的单调性与曲线的凹凸性 所以所以f(x)的图形是凸的的图形是凸的.29 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性例例的单调区间、凹凸区间和拐点的单调区间、凹凸区间和拐点.解解不存在不存在,不存在不存在拐点拐点单调增加区间单调增加区间单调减少区间单调减少区间凸区
26、间凸区间凹区间凹区间30 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用考研数学考研数学(三三,四四)10分分设函数设函数 y=y(x)由方程由方程确定确定,试判断曲线试判断曲线 y=y(x)在点在点(1,1)附近的凹凸性附近的凹凸性.解解两边对两边对x求导得求导得解解得得两边对两边对x再求导得再求导得31 6.4 函数的单
27、调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用五、小结五、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要单调性的单调性的应用应用:改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点:凹凸性凹凸性;拐点拐点;利用函数的单调性可以确定某些方程实根利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式的个数和证明不等式.研究曲线的弯曲
28、方向研究曲线的弯曲方向:凹凸性凹凸性的的应用应用:利用利用凹凸性凹凸性证明不等式证明不等式.应用应用.33 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用证证 只要证只要证令令则则所以所以即即有有得得思考题思考题1也即也即34 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应
29、当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用思考题思考题2考研数学二考研数学二,8分分证明不等式证明不等式证证 先证右边不等式先证右边不等式.设设单调减少单调减少,故有故有即即35 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者
30、的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用思考题思考题2考研数学二考研数学二,8分分证明不等式证明不等式再证左边不等式再证左边不等式.方法一方法一设函数设函数由拉氏定理知由拉氏定理知,至少存在一点至少存在一点使使由于由于从而从而36 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用思考题思考题2考研数学二考研数学二,8分分证明不等式证明不等式再证左边不等式再证左边不等式.方法二方法二 设设因为因为单调增加单调增加,故有故有即即从而从而即即37 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用作业作业习题习题6.4(2196.4(219页页)38