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1、关于函数单调性与曲线的凹凸性关于函数单调性与曲线的凹凸性1现在学习的是第1页，共28页2xyo)(xfy xyo)(xfy abAB( )0fx( )0fx( ) , ( ,( , )( )( ) , ( ) , ( , )( )00.yf xa ba byf xaa bfbyf xaa bfxxb，设在上连续，在内可导.（1） 若在则在上；（2） 若内内在则在上单调增单调减少加abBA定理定理 1 1：一、单调性的判别法2现在学习的是第2页，共28页3证证1212, , .x xa bxx，且由由LagrangeLagrange中值定理可得中值定理可得)()()()(211212xxxxfx
2、fxf , 012 xx( , )( )0,a bfx若在内，( )0,f则).()(12xfxf ( ) , .yf xa b故，在上单调增加).()(12xfxf ( , )( )0,a bfx若在内，( )0,f则( ) , .yf xa b故，在上单调减少3现在学习的是第3页，共28页4sin0,2 .yxx例1 讨论在上的单调性解：1 cos0,(0,2 ),yxx sin0,2 .yxx在上单调增加注释注释 1 : 1 : 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数在这一区间上的符号来判定，而不能用
3、一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性符号来判别一个区间上的单调性8( )2xf xx如( )(, 2f x 在上单调增加. , a b注注释释2 2： 定理中的可换成其它区间(含无穷区间).28(, 2)( )20.xfx ，在内4现在学习的是第4页，共28页注释注释 3 3 ：函数在整个定义域上不一定是单调的，但在不同的区间上具有单调性.解解1.xyex例2讨论的单调性, 1xey(,0)0,y在内，函数在(- ,0上单调减少；(0,)0,y，在内(,).D 定义域0函数在 ,+上单调增加；5现在学习的是第5页，共28页6sin0,2 yx如在上不单调3322220, , , ,2 但在
4、上单调322( )()0.ff且00yxxx再如，在点不可导, 但两侧单调性改变.注释注释 3 3 ：划分函数单调性的点只可能是导数为零的点及导数不存在的点2 2326现在学习的是第6页，共28页总结：总结：讨论函数单调性的一般步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求函数导数为零的点及一阶导数不存在的点；(3) 这些点将定义域分成若干个小区间，列表讨论.(4) 区间内个别点导数为零，不影响区间的单调性.例如例如, , 003xyxy，(,). 但在上单调增加7现在学习的是第7页，共28页832( )29123.f xxxx例3 确定的单调区间解解: :2( )618126(1)(2)fxxx
5、xx令,0)( xf121,2xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21( )f x故，的单调增区间(,1,2,) 1, 2 (- ，)定义域为:( )f x 的单调减区间8现在学习的是第8页，共28页9解解32( ).f xx例4 确定的单调区间(,). 定义域:)0(,32)(3 xxxf0.x 当时，导数不存在0( )0 xfx ，当时( )0,)f x在上单调增加；0( )0,xfx ，当时( )(,0f x在上单调减少；单调区间为单调区间为(,0：单调减区间0,).单调增区间：32xy 9现在学习的是第9页，共28页10证证0ln(1).xxx例5 当时，证明
6、：( )ln(1),f xxx设( ).1xfxx则( )0,)(0,)( )0,f xfx在上连续，且可导，( )0,)f x在上单调增加；(0)0,f又0( )(0)0 xf xf，当时ln(1)0,xxln(1).xx即, 利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式10现在学习的是第10页，共28页112122(0, )sin1.xxexx 例6 当时，证明证2122( )sin(1)(0, )xf xexxx，令xxexffxcos)(0)0( )0fx( )fx单调减少，0)0()(fxf0)0()( fxf212sin(1)0 xexx，即证毕.1sin)(0)0( xexffx(
7、)f x 单调减少，11现在学习的是第11页，共28页123210.xxx 例7证明只有一个实根证:32( )1f xxxx令2212( )3213()033fxxxx ( )(,)f x 在上严格单增( )f x于是，至多有一个零点.(0)10f ，又051248)2(f( ) 2,0f x故，在上至少有一个零点.( )=0f x即，方程只有一个实根.( )f x综上，只有一个零点.12现在学习的是第12页，共28页13xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x“弧在弦下弧在弦下”二、曲线的凹凸性及拐点问题问题: : 如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?“弧在弦上弧在
8、弦上”13现在学习的是第13页，共28页141212()()(),22xxf xf xf(1)若恒有1212()()(),22xxf xf xf(2)若恒有( ).f xI则称的图形在间 上是凸区的拐点：拐点：函数图形上凹凸的分界点.12( ),f xIx xI定义 设在区间 上连续，1. 1. 曲线的凹凸与拐点的定义曲线的凹凸与拐点的定义( ).f xI则称的图形在间 上是凹区的14现在学习的是第14页，共28页15xyo)(xfy xyo)(xfy abAB( )fx递增abBA0y ( )fx递减0y定理定理 2 2( ) , ( , )( )( , )( )0( , , ()( )0)
9、 , .f xa ba bf xa bf xa bfxa bfxa b，若在上连续，在内具有二阶导数，则(1) 若在则在上的图形是的;(2) 若在则在上的图形内是的内凹凹凸凸2. 2. 曲线凹凸性的判定曲线凹凸性的判定15现在学习的是第15页，共28页16.2,2102121xxxxxbaxx，且记，不妨设证明：);,(),)()()(01110110 xxxxfxfxf),(2)()(0)(012xfxfxff 时，当1（）成立。2（ ）成立。),(2)()(0)(012xfxfxff 时，当值定理：上分别应用拉格朗日中和在区间,)(2001xxxxxf02101012012)()()(2)
10、()(xxxxxxffxfxfxf注意：，两式相减得：理：上应用拉格朗日中值定在区间,)(21xf );,(),)()()(211212 fff);,(),)()()(20202202xxxxfxfxf16现在学习的是第16页，共28页4.yx例8 判断曲线的凹凸性解解: :23124xyxy ，00,xy当时，00.xy，当时4(,)yx 故，在上是凹的.x注释注释 1 1：在个别二阶导数为0的点，若此点两侧二阶导数不变号，则不改变曲线的凹凸性.改变凹凸性的点二阶导为零及二阶只可能是导不存在的点。注注释释 2 2：17现在学习的是第17页，共28页183.yx例9 判断曲线的凹凸性解解,32
11、xy ,6xy 00,xy当时，(,0曲线在为凸的；0,)曲线在为凹的；点(0,0)是曲线的拐点.注意：注意：00,xy当时，18现在学习的是第18页，共28页193.yx例10 求曲线的拐点解解: :,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此点(0,0)为曲线3xy 的拐点.19现在学习的是第19页，共28页20总结：总结：判别曲线的凹凸性及拐点的方法步骤：( )( );afx求( )( )0( )bfxfx求出使的点及不存在的点；( )( )cfx检查在这些点左右两边的点符号，从而决定曲线的凹凸区间及其拐点.20现在学习的是第20页，共28页2143341.yxx例
12、11 求的凹凸区间及拐点解解: :,121223xxyxxy24362 0y ，令21230,xxy xy)0,(23(0, )23( ,)0230102711211327点 （0,1） 及( ,)均为拐点.) 1 , 0(),(2711322233(,0),( ,)(0, )故，该曲线在上是凹的，上是凸的;21现在学习的是第21页，共28页22注注释释 3 3：若函数在闭区间上为凹(凸)函数，则最大(小)值在边界达到.22现在学习的是第22页，共28页23220sin.xxx例12 证明：当时，有证： 22( )sin0F xxxx令2(0)0( )0FF，则2( )cos( )sin0Fx
13、xFxx ，又2(0, )( )F x，故，在内是凸函数，2( )min(0),( )0F xFF则22sin0.xxx从而23现在学习的是第23页，共28页24lnln()ln(0,0)2xyxxyyxyxy例13 证明:证：( )ln(0)f zzzz令( )ln1fzz)0(01)( zzzf( )f z，是凹函数1() ( )( )22xyff xf y则1( lnln )ln222xyxyxxyy即，lnln()ln2xyxxyyxy故，24现在学习的是第24页，共28页2515415243PP习题1, 3( 4, 6), 5( 2, 5), 6 8(3,4), 9(3,6), 10
14、(1,2), 13, 1425现在学习的是第25页，共28页26思考题思考题不能断定不能断定. .例例 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)( xxxxxf26现在学习的是第26页，共28页27112214(1, 2,)()10;(2)(2)1(1, 2,)()10;2kkkkxkfxkkxkfxk ，00;=0( )( )=0kkkxxxfxf xx 时，；因此，在的任何邻域内，的取值有正有负，在的任何邻域内都不单调。0,1cos21sin41)( xxxxxf27现在学习的是第27页，共28页感谢大家观看现在学习的是第28页，共28页