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1、关于函数单调性和曲线凹凸性第一张，PPT共五十页，创作于2022年6月定理定理1.(函数单调性的判别法).(1)若x(a,b)有 f(x)0.则y=f(x)在a,b上单调增加;(2)若x(a,b)有f(x)0.则y=f(x)在a,b上单调减少;设y=f(x)C(a,b),且在(a,b)内可导.证证:x1,x2 a,b 且x10,则f()0.故f(x2)f(x1)0,即 f(x2)f(x1).(2)若f(x)0,则f()0.故f(x2)f(x1)0,即 f(x2)f(x1).f(x2)f(x1)=f()(x2 x1)(x1 x2)根据Lagrange中值定理,得出由x1,x2 在a,b上的任意性
2、知f(x)在a,b上单调增加.于是f(x)在a,b上单调减少.第三张，PPT共五十页，创作于2022年6月例例1.讨论y=lnx在(0,+)上的单调性.解解:由定理1知 y=lnx在(0,+)内单调增加.oxyy=lnx第四张，PPT共五十页，创作于2022年6月例例2.讨论f(x)=x36x2+9x3的单调性.解解:f (x)=3x212x+9以x1=1,x2=3为界将f(x)的定义域(,+)分成三个部分区间(,1),(1,3),(3,+).当 x0,当1x3时:f(x)3 时:f(x)0,=3(x1)(x3)所以f(x)单调增加;所以f(x)单调减少;所以f(x)单调增加.第五张，PPT共
3、五十页，创作于2022年6月10331yx故 f(x)在(,1)(3,+)内单调增加，在(1,3)内单调减少.第六张，PPT共五十页，创作于2022年6月例例3.讨论f(x)=x3的单调性.解解:因为f(x)=3x20 (x 0)由定理1知 f(x)=x3在(,0)和(0,+)内均单调增加.这里 x=0 时 f(0)=0.但x0时有f(x)0时,有f(0)0 时 x ln(1+x)y=f(x)f(x)0思考思考问题问题第八张，PPT共五十页，创作于2022年6月二、二、二、二、曲线的凹凸性及其判定法曲线的凹凸性及其判定法曲线的凹凸性及其判定法曲线的凹凸性及其判定法oxyy=x2第九张，PPT共
4、五十页，创作于2022年6月oxyx1x2f(x1)f(x2)AB 在曲线 y=f(x)上任取两点 A(x1,y1)和 B(x2,y2)，固定 t(0,1)得(x1,x2)内一点t0,1则弦 AB 的参数方程为：第十张，PPT共五十页，创作于2022年6月oxyx1x2f(x1)f(x2)AB这时，弦上对应点纵坐标为而曲线弧上对应点纵坐标为有第十一张，PPT共五十页，创作于2022年6月x1x2f(x1)f(x2)oxyAB有第十二张，PPT共五十页，创作于2022年6月定义定义1:设f(x)C(a,b)，x1,x2 a,b(x1x2)和 t(0,1),若有则称曲线y=f(x)在a,b上是凹的
5、(凸的).()第十三张，PPT共五十页，创作于2022年6月oxyoxy定理定理2.设f(x)C a,b且在(a,b)内可导.则曲线 y=f(x)在a,b上为凹的(凸的)充分必要条件是 f(x)在(a,b)内单调增加(减少).第十四张，PPT共五十页，创作于2022年6月定理定理3.(曲线凹凸的判别法)设 f(x)C(a,b)且在(a,b)内具有二阶导数.(1)若x(a,b),有f(x)0.曲线y=f(x)在a,b上是凹的.(2)若x(a,b),有f(x)0.曲线y=f(x)在a,b上是凸的.第十五张，PPT共五十页，创作于2022年6月例例4.讨论曲线y=lnx在(0,+)内的凹凸性.解解:
6、由定理3知曲线 y=lnx在(0,+)内是凸的.oyx1y=lnx第十六张，PPT共五十页，创作于2022年6月例例5.讨论曲线 y=x3 的凹凸性.解解:y=6x当 x0时,y0时,y 0.这里点(0,0)称曲线 y=x3 的拐点.故 y=x3在(,0内是凸弧.故 y=x3 在 0,+)内是凹弧.0yxy=x3第十七张，PPT共五十页，创作于2022年6月 一般地，设f(x)C(U(x0),若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处左右两侧凹凸性相反，则称(x0,f(x0)为该曲线的拐点.第十八张，PPT共五十页，创作于2022年6月定义1中有 y=f(x)凹 f(t x1+(1t)x2)
7、0,y0 且 xy 时，有其中n1.证证：令 f(t)=tn.(t 0)f(t)=n(n1)t n2 0.(t 0)故t 0时 f(t)的曲线为凹的.取 x 0,y 0 得第二十张，PPT共五十页，创作于2022年6月y y=f(x)x0有 f(x)f(x0)定义定义1.设f(x)在U(x0)内有定义.若(极小值).(极小值点).点x0称为极大值点一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法第二十一张，PPT共五十页，创作于2022年6月定理定理1.(Fermat)若f(x)在x0可导,且在 x0 取得极值,则 f (x0)=0.使 f(x)为零的点称为f(x)的驻点.第二十二张，PPT共五十
8、页，创作于2022年6月(1)可导函数的极值点必是驻点.但其逆命题不成立.(2)连续函数在其导数不存在的点处,也有可能取得极值.0yxy=|x|0yxy=x3例如y=x3在x=0处不取极值.例如y=|x|在x=0处有极小值f(0)=0.第二十三张，PPT共五十页，创作于2022年6月0yxx00yxx0(1)当 x0,当 xx0时,f (x)0,则f(x)在 x0 处取极大值;(2)当 xx0 时,f (x)x0时,f (x)0,则f(x)在x0处取极小值.定理定理2.(判别条件I)设f(x)C(U(x0),在可导.第二十四张，PPT共五十页，创作于2022年6月证证：(1)在当 x0.故 f
9、(x)单调增加，有 f(x)x0时，f(x)0.故 f(x)单调减少，也有 f(x)f(x0).从而有f(x)f(x0).即 f(x0)为极大值.同理证(2).第二十五张，PPT共五十页，创作于2022年6月例例1.求f(x)=x33x29x+5的极值.解解:f(x)=3x2 6x 9=3(x+1)(x3)令f(x)=0 解得驻点 x1=1,x2=3x=1:x0.x1时 f(x)0 x=3:x3时 f(x)3时 f(x)0 极大值f(1)=10.极小值 f(3)=22.第二十六张，PPT共五十页，创作于2022年6月例例2.求f(x)=的极值解解:x 0时,f(x)0时,f(x)0故得 极小值
10、f(0)=0 xy0第二十七张，PPT共五十页，创作于2022年6月定定理理3.(判别条件II)设f(x)在U(x0)内二阶可导.且f(x0)=0.f(x0)0,则(1)当 f(x0)0 时,f(x)在 x0 取极小值.第二十八张，PPT共五十页，创作于2022年6月证证:(1)由 f(x0)0 时,按定义得根据极限保号性，在U(x0)内有又由于f(x0)=0 所以第二十九张，PPT共五十页，创作于2022年6月 当 x0,xx0时 f(x)0,同理可证(2).于是在U(x0)内,从而由定理2知 f(x)在 x0 取极大值.第三十张，PPT共五十页，创作于2022年6月例例3.求的极值.解解:
11、f(x)以2 为周期，故考虑区间0,2)令 f(x)=cosxsinx=0又有得驻点第三十一张，PPT共五十页，创作于2022年6月由定理3知 由周期性知分别为 f(x)的极大值点和极小值点.第三十二张，PPT共五十页，创作于2022年6月二、曲线的拐点二、曲线的拐点二、曲线的拐点二、曲线的拐点若 f(x)C(a,b),且在(a,b)内可导，则 y=f(x)凹(凸)f(x)()(x0,f(x0)是 y=f(x)拐点 x0是 f(x)极值点.定理定理4.若f(x0)存在，且点(x0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点，则 f(x0)=0第三十三张，PPT共五十页，创作于2022年6月0yx定理
12、定理5.(拐点的充分条件)设f(x)C(U(x0),且在内二阶可导，若 f(x)x0的两侧符号相反，则(x0,f(x0)是拐点.y0 y=x4第三十四张，PPT共五十页，创作于2022年6月例例4.确定曲线y=3x44x3+1的凹凸和拐点.解：解：由 x1=0,显然 x 0故曲线在(,0和上为凸的.xyy=3x44x3+1110第三十五张，PPT共五十页，创作于2022年6月例例5.确定曲线解：解：在 x=0 处 y 不存在.但 x 0 x 0:y 0 时因其唯一.故也是最小值点.于是当时，S最小.故所用材料能最省.此时思考问题思考问题第四十五张，PPT共五十页，创作于2022年6月例例7.某
13、企业开发出一种新产品.已知生产销售 x件产品所需成本费用C=25000+5x(元).若每件产品销售价为问生产销售多少件产品，能使企业的利润最大？这时每件产品的销售价定为多少？解解：目标函数:=x P C利润 L=收入成本第四十六张，PPT共五十页，创作于2022年6月亦即最大值点.故生产销售 x=2500 件产品可使企业的利润最大，此时求解：第四十七张，PPT共五十页，创作于2022年6月例例8.宽为2m的支渠道垂直地流向宽为3m 的主渠道，若在其中漂运原木，问能通过的原木的最大长度为多少？解解：假设原木直径不计建立坐标系如图32BxytOCL设OAC=t 目标函数第四十八张，PPT共五十页，创作于2022年6月求解：故能通过的原木最大长度为7.02m.第四十九张，PPT共五十页，创作于2022年6月感感谢谢大大家家观观看看16.10.2022第五十张，PPT共五十页，创作于2022年6月