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1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三三章 一阶导数和二阶导数在函数图像中的应用一阶导数和二阶导数在函数图像中的应用目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法定理定理 1. ( ) , ( , ).yf xa ba b 设设在在上上连连续续，在在内内可可导导1( , )( )0( ) , a bfxf xa b （ ） 若若在在内内，则则在在上上单单调调增增加加；(2)( , )( )0( ) , .a bfxf xa b 若若在在内内，则则
2、在在上上单单调调减减少少推论推论:( ),(),f x如如果果连连续续 且且除除有有限限个个 或或可可数数个个 点点外外( )0( )0),fxfx或或( )().f x则则函函数数单单调调递递增增 递递减减arctanyxx 判定函数的单调性. 例例1.1.x且且仅仅当当0 0时时，解：解：2221=1011.xyxx arctan(, )yxx 所以函数在上单调减少.0.y 目录 上页 下页 返回 结束 又如又如, ,sin(,)yxx 在内可导内可导,且且1cosyx 等号只在等号只在(21) (0,1,)xkk 处成立处成立,故故sin(,)yxx 在内单调增加内单调增加.402020
3、4040202040目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1 (12xOy12目录 上页 下页 返回 结束 yxO说明说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .例如,),(,3xxy
4、23xy 00 xyyOx3xy 目录 上页 下页 返回 结束 把函数的定义域区间分成若干个区间，把函数的定义域区间分成若干个区间，1写出函数的定义域，并求出函数的导数写出函数的定义域，并求出函数的导数2求出导函数的零点、和导数不存在的点求出导函数的零点、和导数不存在的点(不可导点不可导点)3以导数等于零的点、不可导点为分点，以导数等于零的点、不可导点为分点，并确定导函数在各个区间内的符号，并确定导函数在各个区间内的符号，从而确定函数在每个区间内的单调性。从而确定函数在每个区间内的单调性。总结求函数的单调区间的步骤总结求函数的单调区间的步骤: :目录 上页 下页 返回 结束 3210496yx
5、xx 确定函数的单调区间。解解:3221010496(496)yxxxxxx0000(, )( ,),D 定义域为3210()496yxxx 232260(231)(496 )xxxxx 32260(21)(1)(496 )xxxxx 练习练习1：P153 3(3)目录 上页 下页 返回 结束 1012yx 令令，得得驻驻点点为为，x( )fx ( )f x(,0)1(0, )21(,1)2(1,) 32260(21)(1) 1(496 ) 2xxyxxx 11(,0) (0,) (1,)(,1).22 该该函函数数的的单单调调减减区区间间为为，；单单调调增增区区间间0.x 且且为为不不可可导
6、导的的点点目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明20 x时, 成立不等式.2sinxx证证: 令,2sin)(xxxf,2,0()(上连续在则xf，上可导在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(内单调递减在因此xf从而2,0(,2sinxxx0)2()( fxf,2)(处左连续在又xf因此且证证证明 * 证明0tanxx令,tan)(xxx则xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()(2上递减在x从而0)0()(x即),0(,0tan2xxx目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明20 x时, 成立不等式.2si
7、nxx证证: 令,2sin)(xxxf,2,0()(上连续在则xf，上可导在)2,0(且2cossin( )xxxfxx ，( )cossin ,g xxxx令( )(0)0g xg所以，故 ( )0.fx ( )sin0, 02g xxxx 则,)2,0()(内单调递减在因此xf从而sin2,(0 ,.2xxx0)2()( fxf,2)(处左连续在又xf因此目录 上页 下页 返回 结束 利用单调性证明不等式的步骤：利用单调性证明不等式的步骤： 将要证的不等式作恒等变形（通常是移项）使将要证的不等式作恒等变形（通常是移项）使 一端为一端为0,另一端即为所作的辅助函数另一端即为所作的辅助函数f(
8、x). 求求( )fx ,验证验证f(x)在指定区间上的单调性在指定区间上的单调性. 与区间端点处的函数值作比较即得证与区间端点处的函数值作比较即得证.目录 上页 下页 返回 结束 练习练习2：P153 5(3) 证明证明: : 当当 时时 证明证明：sin x tan x 2x . 02x 设设 f(x) sin x tan x 2x 则则f(x)在在 内连续内连续 0, )2 f (x) cos x sec2x 2 ,从而从而f (x)在在 内单调增加内单调增加 因此当因此当 时时 f(x) f(0) 0 sin x tan x 2x 0 02x 也就是也就是 sin x tan x 2x
9、 0, )2 f (0) 0 ,2( )sin2sectanfxxxx 0 3sin (2sec1)xx 从而从而f(x)在在 内单调增加内单调增加 0, )2 所以所以f (x) f (0)=0 在上可导，(0,)2且目录 上页 下页 返回 结束 AB定义定义 . 设函数)(xf在区间 I 上连续 ,21Ixx(1) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf图形是凹凹的;(2) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf图形是凸凸的 .二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点yOx2x1x221xx yOx2x1x221xx 连续曲线上有切线的凹凸分界点
10、称为拐点拐点 .yOx拐点目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.(凹凸判定法)(xf(1) 在 I 内,0)( xf则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;(2) 在 I 内,0)( xf则 f (x) 在 I 内图形是凸的 .设函数在区间I 上有二阶导数xyO例例3. 判断曲线4xy 的凹凸性.解解:,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x, 0 y故曲线4xy 在),(上是向上凹的.目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线)(xfy ,0连续在点x0)(0 xf或不存在,但)(xf
11、 在 两侧异号异号,0 x则点)(,(00 xfx是曲线)(xfy 的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号,目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求曲线3xy 的拐点. 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线3xy 的拐点 .Oxy凹凸目录 上页 下页 返回 结束 xxy24362 )(3632xx对应271121,1yy例例5. 求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点.解解: 1) 求y ,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx3) 列表判别)0,(),0(32),(32y xy0
12、320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0(),(271132xyO目录 上页 下页 返回 结束 1写出函数的定义域，并求出函数的导数写出函数的定义域，并求出函数的导数2求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点 3判断或列表判断判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点确定出曲线凹凸区间和拐点 确定曲线确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤的凹凸区间和拐点的步骤 ( )yf x ,yy 目录 上页 下页 返回 结束 arctan211xye
13、x 求曲线的凸凹区间及拐点。arctanxye 解解:(,),D arctanarctan222212(1)(1)xxxyeexx 0,y 令1.2x 得arctan2212(1)xxex 练习练习2：P153 9(5)目录 上页 下页 返回 结束 x1(, )21(,)212( )fx ( )f x 0凹凹凸凸拐点拐点1arctan21(,)2e1arctan21( ,)2e1(, 2是拐点是拐点. .曲线在曲线在上是凹的上是凹的, ,上是凸的上是凸的. . 故点故点1 ,)2在在arctan2212,(1)xxyex 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 可导函数单调性判别I
14、xxf,0)()(xf在 I 上单调递增Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别Ixxf ,0)(上向上凹在曲线Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲线Ixfy)(拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P152 3 (1),(3) ; 5 (1), (3) ; 8 (1), (3) ; 9 (1),(2) ; 预习：第五节，第六节目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 1 ,0上,0)( xf则, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或) 1 ()0(ff的大小顺序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()
15、(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示: 利用)(0)(xfxf 单调增加 ,) 10()()0() 1 (fff及B1. 设在目录 上页 下页 返回 结束 .),(21)e1,(21212. 曲线2e1xy的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:)21 (e222xyx ),(2121),(21及及yOx)e1,(2121)e1,(2121 ; ;第五节 目录 上页 下页 返回 结束 112xxy有位于一直线的三个拐点.1. 求证曲线 证明：证明： y y222) 1(21xxx
16、3223) 1() 133(2xxxx32) 1()32)(32)(1(2xxxx备用题备用题xxx2) 1() 1(222) 1(x42) 1(x)22(x22) 1(x)21 (2xx ) 1(22xx2目录 上页 下页 返回 结束 令0 y得,11x, )1,1(从而三个拐点为因为32所以三个拐点共线.323x,322x, )34831,32()34831,32(3211348311134831112xxy32) 1()32)(32)(1(2 xxxxy41=目录 上页 下页 返回 结束 证明:20 x当时, 有.2sinxx 证明证明: 令xxxF2sin)(, 0)0(F, 则)(x
17、FxxFsin)( )(xF是凸凸函数)(xF即xx2sin)20( x2 .0)2(F2cosx0)2(),0(minFF0(自证)第五节 y)(xF2Ox目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4.解：解：ln(0).xax a 讨讨论论方方程程有有几几个个实实根根( )ln,f xxax设设1( ).fxax 则则当当时时，1(0,)( )0,xfxa 1(0, a在在上上单单调调增增加加；从从而而为为最最大大值值1( ),fa1( )0( )ff xa 所所以以若若，无无零零点点，定定义义域域为为(0,).1( )0.fxxa 由由，解解得得1(,)( )0,xfxa 当当时时，1 ,)
18、a在在上上单单调调减减少少；10.ae即即当当时时，方方程程有有两两个个实实根根1( )0( )ff xa 若若，有有两两个个零零点点；00lim( )lim(ln),xxf xxax lim( )lim(ln),xxf xxax 1ae 即即当当时时，方方程程无无实实根根，1( )0( )ff xa 若若，有有一一零零点点；1ae 即即当当时时，有有一一实实根根，目录 上页 下页 返回 结束 当当时时，方方程程无无实实根根，1ae 目录 上页 下页 返回 结束 时时，有有一一实实根根，1ae 目录 上页 下页 返回 结束 时时，方方程程有有两两个个实实根根10.ae 目录 上页 下页 返回
19、结束 证明证明: 例例6.6. 当当 时时 证明证明：sin x tan x 2x . 02x 设设 f(x) sin x tan x 2x 则则f(x)在在 内连续内连续 0, )2 f (x) cos x sec2x 2 22(cos1)(cos1)cos cosxxxx 因为在因为在 内内cos x 1 0 cos2x 1 0 cos x 0 (0, )2 所以所以f (x) 0 从而从而f(x)在在 内单调增加内单调增加 因此当因此当 时时 f(x) f(0) 0 sin x tan x 2x 0 02x 也就是也就是 sin x tan x 2x 0, )2 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明: 例例6.6. 当当 时时 证明证明：sin x tan x 2x . 02x 设设 f(x) sin x tan x 2x 则则f(x)在在 内连续内连续 0, )2 f (x) cos x sec2x 2 22(cos1)(cos1)cos cosxxxx 因为在因为在 内内cos x 1 0 cos2x 1 0 cos x 0 (0, )2 所以所以f (x) 0 从而从而f(x)在在 内单调增加内单调增加 因此当因此当 时时 f(x) f(0) 0 sin x tan x 2x 0 02x 也就是也就是 sin x tan x 2x 0, )2