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1、第三节、函数、函数单调性性、曲、曲线凹凸性凹凸性函数的单调性与 曲线凹凸性 第三三章、函数函数单调性的判定法性的判定法若定理定理3.3.1.设函数则 在 I 内单调递增(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明 在 I 内单调递增.在开区间 I 内可导,机动目录上页下页返回结束证毕例例例例3.3.1.3.3.1.确定函数确定函数的单调区间.解解:令得故的单调增增区间为的单调减减区间为机动目录上页下页返回结束说明说明说明说明:1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,例例例例3.3.2.3.3.2.证证明明时
2、,成立不等式证:令且证明目录上页下页返回结束有即从而定定义3.3.1.设函数在区间 I 上连续,(1)若恒有则称图形是凹凹的;(2)若恒有则称连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点拐点.图形是凸凸的.、曲、曲线凹凸性凹凸性机动目录上页下页返回结束定理定理定理定理3.3.2.3.3.2.(凹凸判定法凹凸判定法)(1)在 I 内则 在 I 内图形是凹的;(2)在 I 内则 在 I 内图形是凸的.证:两式相加，得两式相加，得说明(1)成立;(2)设函数在区间I 上有二阶导数证毕记例例例例3.3.3.3.3.3.判断曲判断曲线线的凹凸性.解解:故曲线在上是向上凹的.机动目录上页下页返回结束例例例例3.3
3、.4.3.3.4.求曲求曲线线的拐点.解解:不存在凹凸因此点(0,0)为曲线的拐点.小小结 判定函数凹凸性及求拐点的步判定函数凹凸性及求拐点的步骤1、求函数的二阶导数。2、求二阶导数为0或不存在的点。3、根据定理判断说明明:1)若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在 两侧异号异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,例例例例3.3.5.3.3.5.求曲求曲线线的凹凸区间及拐点.解解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及凹,凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸内容小内容小结1.可导函数单调性判别在 I 上单调递增在 I 上单调递减机动目录上页下页返回结束2.曲线凹凸与拐点的判别+拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点思考与思考与练习上则或的大小顺序是()提示提示:利用单调增加,及B1.设在机动目录上页下页返回结束 .2.2.曲曲线线的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:及及 作作业 P133 1(2),(5);3，4 (2)，5;证明:当时，有证明明:令,则是凸凸函数即 2.2.机动目录上页下页返回结束有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线 证明：明：备用用题机动目录上页下页返回结束令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.机动目录上页下页返回结束