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1、 本章学习目标 1、理解拉普拉变换的概念与性质；2、掌握拉普拉变换的逆变换；3、了解拉普拉斯变换的应用。8.1 拉普拉斯变换的概念与性质在 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为 定义定义8.18.1 设函数 当 有定义,而且积分是一个复参量）我们称上式为函数 的拉普拉斯变换式,记做 叫做的拉氏变换,象函数.叫做的拉氏逆变换,象原函数,=的增长速度不超过某一指数函数,亦即存在常数 若函数满足下列条件 在的任一有限区间上连续或分段连续,时,当时,及,使得成立,则函数 的拉氏变换在半平面 上一定存在.此时右端的积分绝对收敛而且一致收敛.并且在此半平面内 为解析函数【例例2 2】求单位阶
2、跃函数 的拉氏变换 解解 【例例1 1】求单位脉冲函数 的拉氏变换 解解 【例例3 3】求函数 的拉氏变换 解解 【例例4 4】求单位斜坡函数 的拉氏变换 解解 【例例5 5】求幂函数 的拉氏变换 解解 当为正整数时,【例例6 6】求正弦函数 的拉氏变换 解解 则所以 即同理可得如 是周期为当 在一个周期上连续或分段连续时,则有这是求周期函数拉氏变换公式 的周期函数,即可以证明:若 1 线性性质 设为常数，则 为非负实常数,则 【例7】求函数的拉氏变换解 因为 所以 若为实常数,则 若这个性质表明，象原函数乘以 ，等于其象函数做位移(为正整数).【例例8 8】求解 因为 所以 若 则 Ottf
3、(t)f(t-a)这个性质表明，时间延迟了 个单位，相当于象函数乘以指数因子则一般地,若特别地,当时,可以证明若则从而 n这个性质表明，一个函数求导后取拉普拉斯变换，等于这个函数的拉普拉斯变换乘以参数 再减去这个函数的初值【例9】求函数解 因为 同理,所以,若则（1）象原函数的积分性质 一般地且积分 收敛若则（2）象函数的积分性质 一般地或推论推论若则 且积分 收敛【例10】求 解解 因为 所以 亦可得若=则有兴趣者可以查阅相关书籍8.2 拉普拉斯变换的逆变换 求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、查表法等.查表法是一种简单、快速、有效的求拉普拉斯逆变换的基本方法,但是它局限于表中类
4、型.根据拉普拉斯变换的定义 右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函数的积分,但计算比较麻烦.在用拉普拉斯变换解决工程技术中的应用问题时，经常遇到的象原函数是有理分式，一般可将其分解为部分分式之和，然后再利用拉普拉斯变换表求出象原函数.【例1】求 的拉普拉斯逆变换.解 先将函数分解为部分分式之和 用待定系数法求得所以则有一些常用函数的拉氏变换 【例2】已知求解所以【例3】已知求解所以【例4】已知求解所以【例5】已知求解所以8.3 拉普拉斯变换的应用 利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下:（1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程;（2）从象函数的代数方程中解出象函数;（3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.【例例1 1】求微分方程满足初始条件的解 解解 设对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得解得所以【例8.2】在RLC电路中。串接直流电源E(如图).求回路电流 解 根据基尔霍夫定律，有 其中 即 而将它们代入上式可得两边取拉普拉斯变换，设 ，则有解出 ，得求 的拉普拉斯逆变换，得 特别地，若则查表得