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1、第9章 拉普拉斯变换第1页，共117页，编辑于2022年，星期二4.双边拉普拉斯变换的性质；双边拉普拉斯变换的性质；本章基本内容：本章基本内容：1.双边拉普拉斯变换；双边拉普拉斯变换；2.双边拉普拉斯变换的收敛域；双边拉普拉斯变换的收敛域；5.系统函数；系统函数；6.单边拉普拉斯变换；单边拉普拉斯变换；3.零极点图；零极点图；第2页，共117页，编辑于2022年，星期二9.0 引言引言 Introduction 傅里叶变换是以复指数函数的特例傅里叶变换是以复指数函数的特例 和和 为基本单元分解信号的。对更一般的复指数函数为基本单元分解信号的。对更一般的复指数函数 和和 ，也理应能以此为基底对信
2、号进行分解。，也理应能以此为基底对信号进行分解。将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。章要讨论的中心问题。第3页，共117页，编辑于2022年，星期二 通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和变换具有变换具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能解决解决用傅里用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统分析问题，而且还能叶分析方法可以解决的信号与系统分析问题，而且还能用于用于傅里叶分析方法不适用的问题，如系统稳定性分析。傅里叶分析方法不适用的问题，如系统稳定性
3、分析。拉普拉斯变换与拉普拉斯变换与变换的分析方法是傅里叶分析法的推变换的分析方法是傅里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。广，傅里叶分析是它们的特例。第4页，共117页，编辑于2022年，星期二9.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 复指数信号复指数信号 是一切是一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。如果如果LTI系统的单位冲激响应为系统的单位冲激响应为 ，则系统对，则系统对 产生的响应是产生的响应是:，其中，其中The Laplace Transform第5页，共117页，编辑于2022年，星期二一一.双边拉氏变换的定义：双边拉氏变换的定义：称为称为 的的双边拉氏变换双边拉氏变换，其中，其
4、中 。若若 ，则有则有:这就是这就是 的傅里叶变换。的傅里叶变换。表明：表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在 的特例。的特例。第6页，共117页，编辑于2022年，星期二由于由于 所以所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广拉氏变换是对傅里叶变换的推广，的的拉氏变换就是拉氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合适的傅里叶变换。只要有合适的的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入的信号在引入 后满足该条件。即有些信号的傅后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明氏变换不收敛而它的拉氏变
5、换存在。这表明拉氏变拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。换比傅里叶变换有更广泛的适用性。第7页，共117页，编辑于2022年，星期二例例1.某因果信号某因果信号在在 时，积分收敛：时，积分收敛：当当 时，时，的傅里叶变换存在的傅里叶变换存在显然，在显然，在 时，拉氏变换收敛时，拉氏变换收敛的区域为的区域为 ，包括了，包括了 （即（即 轴）轴），a 为实数为实数第8页，共117页，编辑于2022年，星期二比较比较 和和 ，显然有，显然有 当当 时，时，可知可知例例2.某反因果信号某反因果信号与例与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。比较，区别仅在于收敛域不同。第9页，共117页，编辑于2022年
6、，星期二由以上例子，可以看出由以上例子，可以看出:1.拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上的任何复数平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。都能使拉氏变换收敛。2.使拉氏变换积分收敛的那些复数使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称为拉的集合，称为拉氏变换的收敛域氏变换的收敛域。拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域 ROC（Region of Convergence）对拉氏变换）对拉氏变换是非常重要的概念。是非常重要的概念。第10页，共117页，编辑于2022年，星期二3.不同
7、的信号不同的信号可能会有完全可能会有完全相同的拉氏变换表达式，相同的拉氏变换表达式，只是它们的只是它们的收敛域收敛域不同。不同。5.如果拉氏变换的如果拉氏变换的ROC包含包含 轴，则有轴，则有4.只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才能只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系和信号建立一一对应的关系。如例如例1 1理解：傅立叶变换是理解：傅立叶变换是Res=0的拉氏变换，如果的拉氏变换，如果拉氏变换的收敛域不包含拉氏变换的收敛域不包含Res=0，理所当然其，理所当然其傅立叶变换不存在。傅立叶变换不存在。第11页，共117页，编辑于2022年，星期二二二.拉氏变换的拉
8、氏变换的ROC及零极点图：及零极点图：例例3.分子多项式的根称为分子多项式的根称为零点零点，分母多项式的根称为，分母多项式的根称为极点极点。表示零点，表示零点，表示极点表示极点第12页，共117页，编辑于2022年，星期二 将将 的全部零点和极点表示在的全部零点和极点表示在S平面上，平面上，就构成了就构成了零极点图零极点图。零极点图及其收敛域可以。零极点图及其收敛域可以表示一个表示一个 ，最多与真实的，最多与真实的 相差一个常相差一个常数因子数因子 。因此，因此，零极点图是拉氏变换的图示方法零极点图是拉氏变换的图示方法。若若 是有理函数是有理函数第13页，共117页，编辑于2022年，星期二
9、例例 ：解：极点：解：极点：（二阶）（二阶）（一阶）（一阶）（一阶）（一阶）零点：零点：（一阶）（一阶）（一阶）（一阶）（一阶）（一阶）（一阶）（一阶）从图中可看出从图中可看出 处的零极点情况处的零极点情况:显然为一阶零点显然为一阶零点 -10第14页，共117页，编辑于2022年，星期二9.2 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域结合前述内容，可以归纳出结合前述内容，可以归纳出ROC的以下性质：的以下性质：The Region of Convergence for Laplace Transforms4.右边信号右边信号的的ROC位于位于S平面平面内一条平行于内一条平行于 轴的直线的右边。轴的直
10、线的右边。3.时限信号时限信号的的ROC是整个是整个 S 平面。平面。2.在在ROC内无任何极点。内无任何极点。1.ROC是是 S 平面上平行于平面上平行于 轴的带形区域。轴的带形区域。证明如下：证明如下：第15页，共117页，编辑于2022年，星期二若若 ，则，则表明表明 也在收敛域内。也在收敛域内。若若 是右边信号是右边信号,在在ROC内内，则有则有 绝对可积，即：绝对可积，即：第16页，共117页，编辑于2022年，星期二5.左边信号左边信号的的ROC位于位于S平面内一条平行于平面内一条平行于 轴轴的直线的左边。的直线的左边。若若 是左边信号，定义于是左边信号，定义于 ,在在 ROC 内
11、，内，则，则表明表明 也在收敛域内。也在收敛域内。第17页，共117页，编辑于2022年，星期二6.双边信号双边信号的的ROC如果存在，一定是如果存在，一定是 S 平面内平面内平行于平行于 轴的带形区域。轴的带形区域。例例1.时限信号时限信号其它其它下面举例进行说明下面举例进行说明第18页，共117页，编辑于2022年，星期二考查零点，令考查零点，令例例2.双边信号双边信号有极点有极点 显然显然 在在 也有一阶零点，由于零极也有一阶零点，由于零极点相抵消，致使在整个点相抵消，致使在整个S平面上无极点。平面上无极点。得得（k为整数）为整数）即收敛域包括整个复平面。即收敛域包括整个复平面。第19页
12、，共117页，编辑于2022年，星期二当当 时，上述时，上述ROC有公共部分，有公共部分，当当 时，上述时，上述 ROC 无公共部分，表明无公共部分，表明 不不存在。存在。第20页，共117页，编辑于2022年，星期二 当当 是有理函数且具有多个极点时，其是有理函数且具有多个极点时，其ROC总是由其极点分割的，具有三种情形，即：总是由其极点分割的，具有三种情形，即：3.任意两相邻极点之间的带形区域，对应的是双边任意两相邻极点之间的带形区域，对应的是双边信号。信号。2.最左边极点的左边，对应的是反因果信号。最左边极点的左边，对应的是反因果信号。1.最右边极点的右边，对应的是因果信号。最右边极点的
13、右边，对应的是因果信号。p1p2p3第21页，共117页，编辑于2022年，星期二例例3.可以形成三种可以形成三种 ROC：1)ROC：2)ROC：3)ROC：此时此时 是是因果信号因果信号。此时此时 是是反因果信号反因果信号。此时此时 是是双边信号双边信号。第22页，共117页，编辑于2022年，星期二The Inverse Laplace Transform 一一.表达式推导表达式推导由由若若 在在ROC内，则有内，则有:9.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换第23页，共117页，编辑于2022年，星期二 当当 从从 时时,从从由由得得 拉氏反变换表明拉氏反变换表明:可以被分解成复振幅为可以
14、被分解成复振幅为 的复指数信号的复指数信号 的线性组合。的线性组合。的反变换的反变换第24页，共117页，编辑于2022年，星期二二二.拉氏反变换的求法拉氏反变换的求法:对有理函数形式的对有理函数形式的 求反变换一般有两种方求反变换一般有两种方法法,即即部分分式展开法部分分式展开法和和留数法留数法。1.将将 展开为部分分式。展开为部分分式。部分分式展开法：部分分式展开法：3.利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质,对每对每一项进行反变换。一项进行反变换。2.根据根据 的的ROC，确定每一项的，确定每一项的ROC。第25页，共117页，编辑于2022年，星期二常
15、见函数的拉普拉斯变换常见函数的拉普拉斯变换1.2.微分特性微分特性第26页，共117页，编辑于2022年，星期二4.3.第27页，共117页，编辑于2022年，星期二极点：极点：确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。例例1.因果信号因果信号反因果信号反因果信号双边信号双边信号第28页，共117页，编辑于2022年，星期二例例2.第29页，共117页，编辑于2022年，星期二部分分式分解法：更详细讨论部分分式分解法：更详细讨论若若mnmn（假分式）（假分式）,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数F(s)F(s)分解为有理多项式分解为有理多项式P(s)
16、P(s)与有理真分式之和。多项式与有理真分式之和。多项式P(s)P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数构成。例如各阶导数构成。例如因此下面仅讨论因此下面仅讨论有理真分式有理真分式的情形的情形第30页，共117页，编辑于2022年，星期二 X(s)极点为单极点，无重根极点为单极点，无重根显然显然 或或由于由于 故故第31页，共117页，编辑于2022年，星期二特例：特例：F(s)有复数单极点有复数单极点由于由于 B(s)和和A(s)均为实系数多项式，故均为实系数多项式，故因此因此 极点共轭，系数共轭第32页，共117页，编辑于2022年，星期二 F(s)有重
17、极点有重极点第33页，共117页，编辑于2022年，星期二可这样推导记忆：两边对参数 a 求导再对 a 求导即第34页，共117页，编辑于2022年，星期二例例：求下列：求下列因果信号因果信号的逆变换的逆变换 解：解：第35页，共117页，编辑于2022年，星期二 ,第36页，共117页，编辑于2022年，星期二 留数法留数法（当（当 是有理函数时）：是有理函数时）：（略）（略）第37页，共117页，编辑于2022年，星期二可以用零极点图表示可以用零极点图表示 的特征的特征。当。当ROC包括包括轴时，以轴时，以 代入代入 ，就可以得到，就可以得到 。以。以此为基础可以用几何分析的方法从零极点图
18、此为基础可以用几何分析的方法从零极点图求得求得 的特性。这在定性分析系统频率特性的特性。这在定性分析系统频率特性时有很大用处。时有很大用处。Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值由零极点图对傅里叶变换几何求值第38页，共117页，编辑于2022年，星期二1.单零点情况：单零点情况：矢量矢量 称为称为零点矢量零点矢量，它的长度，它的长度 表示表示 ,其幅角即为其幅角即为 。0 零点零点 ,要求出要求出 时的时的 ，可以，可以作两个矢量作两个矢量 和和 ，则，则
19、 。第39页，共117页，编辑于2022年，星期二极点极点 直接由极点向直接由极点向 点作矢量（称为点作矢量（称为极点矢量极点矢量），），其长度的倒数为其长度的倒数为 ,幅角的负值为幅角的负值为 。2.单极点情况：单极点情况：0第40页，共117页，编辑于2022年，星期二 因此有因此有:对有理函数形式的对有理函数形式的3.一般情况：一般情况：第41页，共117页，编辑于2022年，星期二 即：从所有零点向即：从所有零点向 点作点作零点矢量零点矢量，从所有极，从所有极点向点向 点作点作极点矢量极点矢量。所有零点矢量的长度之积。所有零点矢量的长度之积除以所有极点矢量的长度之积即为除以所有极点矢量
20、的长度之积即为 。所有。所有零点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之零点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之和即为和即为 。当当 取为取为 轴上的点时，即为傅里叶变换的轴上的点时，即为傅里叶变换的几何求值。几何求值。考查考查 在在 轴上移动时所有零、极轴上移动时所有零、极点矢量的长度和幅角的变化点矢量的长度和幅角的变化，即可得出，即可得出 的的幅频特性和相频特性。称为幅频特性和相频特性。称为S S平面几何分析。平面几何分析。第42页，共117页，编辑于2022年，星期二情形一：极点位于实轴情形一：极点位于实轴一阶系统一阶系统i)只含有一个储能元件（或将几个同类储能元件简化等只含有一个储能元
21、件（或将几个同类储能元件简化等效为一个储能元件）。效为一个储能元件）。ii)系统函数（电压比或电流比）仅一个极点，且位于实轴上。系统函数（电压比或电流比）仅一个极点，且位于实轴上。iii)系统函数的三种形式为系统函数的三种形式为由系统函数零极点分布决定频域特性由系统函数零极点分布决定频域特性第43页，共117页，编辑于2022年，星期二 例例 研究图所示研究图所示RC高通高通滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性解：写出网络转移函数解：写出网络转移函数它有一个零点在坐标原点，而极点位于它有一个零点在坐标原点，而极点位于 处。将处。将 以矢量因子以矢量因子 ，表示为表示为其中其中第44页，共117
22、页，编辑于2022年，星期二现在分析当现在分析当 从从 沿虚轴向沿虚轴向 增长时，增长时，如何随之改变。如何随之改变。当当当当 当当 按照上述分析绘出幅频特性和相频特性曲线如下图所示。按照上述分析绘出幅频特性和相频特性曲线如下图所示。截止频率位于截止频率位于 处。处。第45页，共117页，编辑于2022年，星期二例例 研究下图所示研究下图所示 低通低通滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性解：写出网络转移函数表示式解：写出网络转移函数表示式极点位于极点位于 处。处。表示式写作表示式写作式中：式中：第46页，共117页，编辑于2022年，星期二容易得出频响曲线如下图所示，这是一个低通网络，截止频率
23、容易得出频响曲线如下图所示，这是一个低通网络，截止频率位于位于 处。处。第47页，共117页，编辑于2022年，星期二继续讨论，情形一：极点位于实轴。继续讨论，情形一：极点位于实轴。由同一类型储能元件构成的二阶系统。由同一类型储能元件构成的二阶系统。i)含有两个电容或者两个电感含有两个电容或者两个电感ii)它们的两个极点都落在实轴上，即不出现共轭复数极点，是它们的两个极点都落在实轴上，即不出现共轭复数极点，是非谐振系统。非谐振系统。iii)系统转移函数（电压比或电流比）的一般形式为，系统转移函数（电压比或电流比）的一般形式为，也可出现也可出现 或或 等形式。等形式。第48页，共117页，编辑于
24、2022年，星期二iv)由于零点数目以及零点、极点位置不同，它们可以分别构成低通、由于零点数目以及零点、极点位置不同，它们可以分别构成低通、高通、带通、带阻等滤波特性。高通、带通、带阻等滤波特性。高通高通带通带通低通低通带阻带阻第49页，共117页，编辑于2022年，星期二例例 由由 平面几何研究如下所示二阶平面几何研究如下所示二阶 系统的频响系统的频响特性特性 。注意，图中。注意，图中 是受控电压源。且是受控电压源。且 解：转移函数为解：转移函数为它的极点位于它的极点位于 ，只有一个零点，只有一个零点 在原点。在原点。第50页，共117页，编辑于2022年，星期二注意到给定的条件注意到给定的
25、条件 ，故，故 靠近原点，靠近原点，而而 则离开较远。则离开较远。标示如下图标示如下图第51页，共117页，编辑于2022年，星期二当当 较低时，较低时，这时这时 起作用（即极起作用（即极点点 与零点与零点 ），类似一阶），类似一阶 高通系统，构成低端高通特高通系统，构成低端高通特性。性。当当 较高时，较高时，这时这时 起作用（即极点起作用（即极点 ），），类似一阶类似一阶 低通系统，构成高端低通特性。低通系统，构成高端低通特性。当当 位于中间频率，同时满足位于中间频率，同时满足 ，这时的频响特性近于常数。，这时的频响特性近于常数。第52页，共117页，编辑于2022年，星期二n从物理概念上讲
26、，低频端，从物理概念上讲，低频端，主要是主要是 的高通特性起作的高通特性起作用；在高频端，则是用；在高频端，则是 的的低通特性起作用；在中频段，低通特性起作用；在中频段，相当于开路、相当于开路、相当于短路，相当于短路，它们都不起作用，信号它们都不起作用，信号 经受控源的经受控源的 倍相乘而送往倍相乘而送往输出端，给出输出端，给出 。相当于。相当于低、高连构的带通系统。低、高连构的带通系统。第53页，共117页，编辑于2022年，星期二 情形二：共轭极点（二阶谐振系统）情形二：共轭极点（二阶谐振系统）n含有电容、电感两类储能元件的二阶系统可以具有谐振特性，在无线含有电容、电感两类储能元件的二阶系
27、统可以具有谐振特性，在无线电技术中，常利用它们的这一性能构成带通、带阻滤波网络。电技术中，常利用它们的这一性能构成带通、带阻滤波网络。零点位于实轴上零点位于实轴上R极点极点M1M2N1p1p2s sjw ww w0第54页，共117页，编辑于2022年，星期二R幅频特性和相频特性曲线如下图所示。幅频特性和相频特性曲线如下图所示。第55页，共117页，编辑于2022年，星期二 情形二：共轭极点（二阶谐振系统）情形二：共轭极点（二阶谐振系统）虚轴上或靠近虚轴的零极点分布虚轴上或靠近虚轴的零极点分布 例例 38 38 分析下图所示系统的阻抗函数频率特性分析下图所示系统的阻抗函数频率特性首先写出首先写
28、出 的表示式的表示式第56页，共117页，编辑于2022年，星期二它有一对共轭极点它有一对共轭极点 和一对共轭零点和一对共轭零点 ，此外，在坐，此外，在坐标原点也有一个极点。标原点也有一个极点。第57页，共117页，编辑于2022年，星期二例例3.全通系统：全通系统：考查零极点对称分布的系统考查零极点对称分布的系统（一阶全通系统（一阶全通系统）该系统的该系统的 在任何时候都等于在任何时候都等于1 1，所以，所以 称为称为全通系统全通系统。第58页，共117页，编辑于2022年，星期二 其相位特性其相位特性二阶全通系统的零极点分布呈四角对称特征二阶全通系统的零极点分布呈四角对称特征。三阶全通系统
29、三阶全通系统全通系统被广泛用于对系统进行相位均衡。全通系统被广泛用于对系统进行相位均衡。二阶全通系统二阶全通系统第59页，共117页，编辑于2022年，星期二例例4.最小相位系统：最小相位系统：考察两个系统，它们的极点相同，零点分布关考察两个系统，它们的极点相同，零点分布关于于 轴对称。其中一个系统的零点均在左半平轴对称。其中一个系统的零点均在左半平面，另一个系统的零点均在右半平面。面，另一个系统的零点均在右半平面。第60页，共117页，编辑于2022年，星期二 显然这两个系统的幅频特性是相同的。但零点在左显然这两个系统的幅频特性是相同的。但零点在左半平面的系统其相位总小于零点在右半平面的系统
30、。因半平面的系统其相位总小于零点在右半平面的系统。因此将此将零极点均位于左半平面的系统称为最小相位系零极点均位于左半平面的系统称为最小相位系统。统。工程应用中设计的各种频率选择性滤波器，如：工程应用中设计的各种频率选择性滤波器，如：Butterworth、Chebyshev、Cauer滤波器都是最小滤波器都是最小相位系统。相位系统。为什么在左半平面？系统因果稳定性要求极点必须在左半平面第61页，共117页，编辑于2022年，星期二 当工程应用中要求实现一个非最小相位系统时，通常当工程应用中要求实现一个非最小相位系统时，通常采用将一个最小相位系统和一个全通系统级联来实现。采用将一个最小相位系统和
31、一个全通系统级联来实现。从本质上讲，从本质上讲，系统的特性是由系统的零、极点系统的特性是由系统的零、极点分布决定的分布决定的。对系统进行优化设计，实质上就是优化。对系统进行优化设计，实质上就是优化其零、极点的位置。其零、极点的位置。最小相位系统最小相位系统全通系统全通系统第62页，共117页，编辑于2022年，星期二最小相位系统最小相位系统非最小相移函数非最小相移函数最小相移函数最小相移函数全通函数全通函数显然显然非最小相位系统非最小相位系统(a)全通系统全通系统(c)(b)第63页，共117页，编辑于2022年，星期二Properties of the Laplace Transform则则
32、ROC至少是至少是9.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质 拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。这里只着重于这里只着重于ROC的讨论。的讨论。1.线性（线性（Linearity）：）：若若第64页，共117页，编辑于2022年，星期二而而ROC扩大为整个扩大为整个S平面。平面。当当 与与 无交集时，表明无交集时，表明 不存在。不存在。例例.（原因是出现了零（原因是出现了零极点相抵消的现象）极点相抵消的现象）第65页，共117页，编辑于2022年，星期二2.时移性质（时移性质（Time Shifting）:若若ROC不变不变则则3.S域平移（域平移（S
33、hifting in the s-Domain）:若若则则 表明表明 的的ROC是将是将 的的ROC平移了一平移了一个个 。这里是指。这里是指ROC的边界的边界平移平移。第66页，共117页，编辑于2022年，星期二例例.显然显然第67页，共117页，编辑于2022年，星期二 4.时域尺度变换（时域尺度变换（Time Scaling）:若若则则例例.求求 的拉氏变换及的拉氏变换及ROC当当 时时 收敛，收敛，时时 收敛收敛第68页，共117页，编辑于2022年，星期二特例特例5.共轭对称共轭对称性性（Conjugation）：）：若若则则第69页，共117页，编辑于2022年，星期二 如果如果
34、 是实信号，且是实信号，且 在在 有极点（或零有极点（或零点），则点），则 一定在一定在 也有极点（或零点）。这也有极点（或零点）。这表明：表明：实信号的拉氏变换其复数零、极点必共轭实信号的拉氏变换其复数零、极点必共轭成对出现。成对出现。当当 为实信号时，有：为实信号时，有：由此可得以下重要由此可得以下重要结论结论：或或则则若若第70页，共117页，编辑于2022年，星期二包括包括 6.卷积性质卷积性质:（Convolution Property）若若则则显然有显然有:例例.第71页，共117页，编辑于2022年，星期二ROC扩大扩大 原因是原因是 与与 相乘时，发生了零相乘时，发生了零极点相
35、抵消的现象。当被抵消的极点恰好在极点相抵消的现象。当被抵消的极点恰好在ROC的边界上时，就会使收敛域扩大。的边界上时，就会使收敛域扩大。频域卷积频域卷积第72页，共117页，编辑于2022年，星期二7.时域微分时域微分:（Differentiation in theTime Domain）ROC包括包括,有可能扩大。有可能扩大。若若则则第73页，共117页，编辑于2022年，星期二8.S域微分域微分:（Differentiation in the s-Domain）若若则则例例.求求第74页，共117页，编辑于2022年，星期二 9.时域积分时域积分:（Integration in the T
36、ime Domain）若若包括包括则则包括包括（时域积分特性）（时域积分特性）第75页，共117页，编辑于2022年，星期二s域积分域积分 (对比对比：)证明证明：例例：求：求 的拉氏变换的拉氏变换解解：第76页，共117页，编辑于2022年，星期二 如果如果 是是因果信号因果信号，且在，且在 不包含奇异函不包含奇异函数，则数，则初值定理初值定理时时 ，且在，且在 不包含奇异函数。不包含奇异函数。Proof:将将 在在 展开为展开为Taylor级数有：级数有：10.初值与终值定理初值与终值定理:（The Initial-and Final-Value Theorems)第77页，共117页，编
37、辑于2022年，星期二对上式两边做拉氏变换：对上式两边做拉氏变换：第78页，共117页，编辑于2022年，星期二 如果如果 是是因果信号因果信号，且在，且在 不包含奇异不包含奇异函数，函数，除了在除了在 可以有单阶极点外，其可以有单阶极点外，其余极点均在余极点均在S平面的左半边，则平面的左半边，则终值定理终值定理是因果信号，且在是因果信号，且在 无奇异函数无奇异函数,证证:第79页，共117页，编辑于2022年，星期二的实部的实部 可以大于零，因此可以大于零，因此 除了在除了在 可以有一阶极点外，其它可以有一阶极点外，其它极点均在极点均在S平面平面的左半平面（即的左半平面（即保证保证 终值收终
38、值收敛敛），），故故 的的ROC中必包含中必包含 轴。表明：轴。表明：当当 时，时，第80页，共117页，编辑于2022年，星期二因果信号因果信号一阶极点在一阶极点在S平面的分布与信号波形的关系平面的分布与信号波形的关系第81页，共117页，编辑于2022年，星期二Some Laplace Transform Pairs9.6 常用拉氏变换对常用拉氏变换对 第82页，共117页，编辑于2022年，星期二Analysis and Characterized of LTI Systems Using the Laplace Transform一一.系统函数的概念：系统函数的概念：以卷积特性为基础，
39、可以建立以卷积特性为基础，可以建立LTI系统的拉氏变换系统的拉氏变换分析方法，即分析方法，即 其中其中 是是 的拉氏变换，称为的拉氏变换，称为系统函数系统函数或或转移函数、传递函数转移函数、传递函数。9.7 用拉氏变换分析与表征用拉氏变换分析与表征LTI系统系统第83页，共117页，编辑于2022年，星期二 这就是这就是LTI系统的傅里叶分析。系统的傅里叶分析。即是系统的即是系统的频率响应频率响应。如果如果 的的ROC包括包括 轴，则轴，则 和和 的的ROC必定包括必定包括 轴，以轴，以 代入，即有代入，即有第84页，共117页，编辑于2022年，星期二 这些方法之所以成立的本质原因在于这些方
40、法之所以成立的本质原因在于复指数函复指数函数是一切数是一切LTI系统的特征函数系统的特征函数。当以。当以 为基底分为基底分解信号时，解信号时，LTI系统系统对输入信号的响应就是对输入信号的响应就是 连同相应的连同相应的ROC也能完全描述一个也能完全描述一个LTI系系统。系统的许多重要特性在统。系统的许多重要特性在 及其及其ROC中一定有中一定有具体的体现。具体的体现。而以而以 为基底分解信号时，系统的输出响应就为基底分解信号时，系统的输出响应就是是 。第85页，共117页，编辑于2022年，星期二1.稳定性：稳定性：如果系统稳定，则有如果系统稳定，则有 。因此。因此 必存在。意味着必存在。意味
41、着 的的ROC必然包括必然包括 轴。轴。即系统稳定的即系统稳定的充要条件充要条件：ROC包括虚轴包括虚轴二二.用系统函数分析用系统函数分析LTI系统：系统：第86页，共117页，编辑于2022年，星期二2.因果性：因果性：如果如果 时时 ，则，则系统是因果的系统是因果的。因此，因此，因果系统因果系统的的 是右边信号，其是右边信号，其 的的ROC必是最右边极点的右边必是最右边极点的右边。由于。由于反因果系统反因果系统的的 是左边信号，是左边信号，的的ROC必是最左边极必是最左边极点的左边。点的左边。应该强调指出，由应该强调指出，由ROC的特征，反过来并不能判的特征，反过来并不能判定系统是否因果。
42、定系统是否因果。ROC是最右边极点的右边并不一定是最右边极点的右边并不一定系统因果。系统因果。只有只有当当 是是有理有理函数时，逆命题才成立。函数时，逆命题才成立。举例第87页，共117页，编辑于2022年，星期二例例1.若有若有 的的ROC是最右边极点的右边，但是最右边极点的右边，但 是是非有理函数，非有理函数，系统是非因果，系统是非因果的。的。由于由于ROC包括包括 轴，该系统仍是稳定的。轴，该系统仍是稳定的。而对系统而对系统 仍是非有理函数，仍是非有理函数，ROC是最右边极点的右边，是最右边极点的右边，但由于但由于 ，系统是因果的。，系统是因果的。第88页，共117页，编辑于2022年，
43、星期二例例2.某系统的某系统的 显然该系统是因果的，确定系统的稳定性。显然该系统是因果的，确定系统的稳定性。显然，显然，ROC是最右边极点的右边。是最右边极点的右边。ROC包括包括 轴轴系统也是稳定的。系统也是稳定的。的全部极点都在的全部极点都在S平面的左半边。平面的左半边。第89页，共117页，编辑于2022年，星期二结结 论：论：1.如果如果LTI系统的系统的系统函数是有理函数系统函数是有理函数，且全部极点，且全部极点位于位于S平面的左半平面，则系统是因果、稳定的。否平面的左半平面，则系统是因果、稳定的。否则，系统是反因果的则，系统是反因果的。2.如果如果LTI系统是稳定的，则系统函数的系
44、统是稳定的，则系统函数的ROC必必然包括然包括 轴。轴。第90页，共117页，编辑于2022年，星期二三三.由由LCCDE描述的描述的LTI系统的系统函数：系统的系统函数：对对做拉氏变换，可得做拉氏变换，可得是一个有理函数是一个有理函数第91页，共117页，编辑于2022年，星期二的的ROC需要由系统的相关特性来确定。需要由系统的相关特性来确定。1）如果）如果LCCDE具有一组全部为零的初始条件，具有一组全部为零的初始条件，则则 的的ROC必是最右边极点的右边。必是最右边极点的右边。2）如果已知）如果已知LCCDE描述的系统是因果的，则描述的系统是因果的，则 的的ROC必是最右边极点的右边。必
45、是最右边极点的右边。3）如果已知）如果已知LCCDE描述的系统是稳定的，则描述的系统是稳定的，则 的的ROC 必包括必包括 轴。轴。第92页，共117页，编辑于2022年，星期二四四.系统特性与系统函数的关系举例系统特性与系统函数的关系举例:自学。请关注例自学。请关注例9.25、9.26、9.27 五五.Butterworth滤波器滤波器:通常通常Butterworth滤波器的特性由频率响应的模平方滤波器的特性由频率响应的模平方函数给出。对函数给出。对N阶阶 Butterworth低通滤波器有：低通滤波器有：（N为滤波器的阶数）为滤波器的阶数）第93页，共117页，编辑于2022年，星期二由于
46、由于Butterworth滤波器的冲激响应应该是实信号，滤波器的冲激响应应该是实信号，将将 函数拓展到整个函数拓展到整个S平面有：平面有：共有共有2N个极点个极点周期为周期为2N看教材看教材p508图图9.28第94页，共117页，编辑于2022年，星期二 表明表明N阶阶Butterworth低通滤波器低通滤波器 的的全部全部2N个个极点均匀分布在半径为极点均匀分布在半径为 的圆周上的圆周上。极点分布的特征：极点分布的特征：极点分布总是关于原点对称的。极点分布总是关于原点对称的。sk 和和-sk成对出现成对出现 轴上不会有极点。当轴上不会有极点。当N为奇数时在实轴上为奇数时在实轴上 有极点，有
47、极点，N为偶数时实轴上无极点。为偶数时实轴上无极点。2N个极点等间隔均匀分布在半径为个极点等间隔均匀分布在半径为 的圆的圆周上。周上。第95页，共117页，编辑于2022年，星期二 要实现的滤波器应该是因果稳定系统，因此要实现的滤波器应该是因果稳定系统，因此令左半平面的令左半平面的N个极点是属于个极点是属于 的。的。据此，确定出据此，确定出 后，也就可以综合出一个后，也就可以综合出一个Butterworth 滤波器。滤波器。第96页，共117页，编辑于2022年，星期二9.8 系统函数的代数属性与方框图表示系统函数的代数属性与方框图表示System Function Algebra and B
48、lock Diagram Representations一一.系统互联时的系统函数：系统互联时的系统函数：1.级联：级联：包括包括第97页，共117页，编辑于2022年，星期二3.反馈联结：反馈联结：2.并联：并联：包括包括包括包括第98页，共117页，编辑于2022年，星期二二二.LTI系统的级联和并联型结构系统的级联和并联型结构：LTI系统可以由一个系统可以由一个LCCDE来描述。设为来描述。设为对其进行拉氏变换有：对其进行拉氏变换有：是一个有理函数是一个有理函数第99页，共117页，编辑于2022年，星期二1.级联结构：级联结构：将将 的分子和分母多项式因式分解的分子和分母多项式因式分解
49、 这表明：这表明：一个一个N阶的阶的LTI系统可以分解为若干个二阶系统可以分解为若干个二阶系统和一阶系统的级联。在系统和一阶系统的级联。在N为偶数时，可以全部组为偶数时，可以全部组合成二阶系统的级联形式。合成二阶系统的级联形式。第100页，共117页，编辑于2022年，星期二其中其中如果如果N为奇数，则有一个一阶系统出现。为奇数，则有一个一阶系统出现。如果如果N为偶数为偶数 由每个由每个 可得子系统的微分方程和时域框图。可得子系统的微分方程和时域框图。第101页，共117页，编辑于2022年，星期二2.并联结构：并联结构：将将 展开为部分分式展开为部分分式 (假定假定 的分子阶的分子阶数不高于
50、分母阶数，所有极点都是单阶的），数不高于分母阶数，所有极点都是单阶的），则有：则有：将共轭成对的复数极点所对应的两项合并将共轭成对的复数极点所对应的两项合并:每项代表一个子系统的系统函数，可得到其微分方程每项代表一个子系统的系统函数，可得到其微分方程和时域框图。并联可得整个系统的框图。和时域框图。并联可得整个系统的框图。第102页，共117页，编辑于2022年，星期二 N为偶数时又可将任意两个一阶项合并为二阶项，为偶数时又可将任意两个一阶项合并为二阶项，由此可得出系统的并联结构：由此可得出系统的并联结构：第103页，共117页，编辑于2022年，星期二The Unilateral Laplac