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1、第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 拉普拉斯变换理论拉普拉斯变换理论（又称为运算微积分，或称为算子微积分）（又称为运算微积分，或称为算子微积分）是在是在19世纪末发展起来的首先是英国工程师亥维赛德世纪末发展起来的首先是英国工程师亥维赛德(O.Heaviside)发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证后来由法国数学家拉普拉斯密的数学论证后来由法国数学家拉普拉斯()给出了严密给出了严密的数学定义，称之为的数学定义，称之为拉普拉斯变换方法拉普拉斯变换方法 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）变换在电学、光学
2、、力学等工程技术）变换在电学、光学、力学等工程技术与科学领域中有着广泛的应用由于它的像原函数与科学领域中有着广泛的应用由于它的像原函数 要求要求 的条件比傅里叶变换的条件要弱，因此在某些问题上，它比傅里的条件比傅里叶变换的条件要弱，因此在某些问题上，它比傅里叶变换的适用面要广叶变换的适用面要广本部分首先从傅里叶变换的定义出发，导本部分首先从傅里叶变换的定义出发，导出拉普拉斯变换的定义，并研究它的一些基本性质，然后给出其出拉普拉斯变换的定义，并研究它的一些基本性质，然后给出其逆变换的积分表达式逆变换的积分表达式复反演积分公式，并得出像原函数的求复反演积分公式，并得出像原函数的求法，最后介绍拉普拉
3、斯变换的应用法，最后介绍拉普拉斯变换的应用8.1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念 本节介绍拉普拉斯变换的定义、拉普拉斯变换的存在定理、本节介绍拉普拉斯变换的定义、拉普拉斯变换的存在定理、常用函数的拉普拉斯变换，以及拉普拉斯变换的性质常用函数的拉普拉斯变换，以及拉普拉斯变换的性质8.1.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 傅里叶变换要求进行变换的函数在无穷区间傅里叶变换要求进行变换的函数在无穷区间 有定义，在任一有限区间上满足狄利克雷条件，并要求有定义，在任一有限区间上满足狄利克雷条件，并要求 存在这是一个比较苛刻的要求，一些常用的存在这是一个比较苛刻的要求，一些常用的函数，如阶跃函
4、数函数，如阶跃函数，以及，以及 些要求另外，些要求另外，等均不满足这等均不满足这为自变量的函数，往往当为自变量的函数，往往当 在物理、线性控制等实际应用中，许多以时间在物理、线性控制等实际应用中，许多以时间时没有意义，或者不需要知道时没有意义，或者不需要知道 就限制了傅里叶变换应用的范围就限制了傅里叶变换应用的范围的情况因此傅里叶变换要求的函数条件比较强，这的情况因此傅里叶变换要求的函数条件比较强，这 为了解决上述问题而拓宽应用范围，人们发现对于任意一为了解决上述问题而拓宽应用范围，人们发现对于任意一个实函数个实函数，可以经过适当地改造以满足傅氏变换的基本，可以经过适当地改造以满足傅氏变换的基
5、本条件条件首先将函数首先将函数 乘以乘以单位阶跃函数单位阶跃函数：得到得到，则根据傅氏变换理论有，则根据傅氏变换理论有很显然通过这样的处理，当很显然通过这样的处理，当 时，时，在没有定在没有定 义的情况下问题得到了解决但是仍然不能回避义的情况下问题得到了解决但是仍然不能回避 在在 上绝对可积的限制为此，我们考虑到当上绝对可积的限制为此，我们考虑到当 时，衰减速度很快的函数，那就是指数函数时，衰减速度很快的函数，那就是指数函数 于是有于是有 上式即可简写为上式即可简写为这是由实函数这是由实函数 通过一种新的变换得到的复变函数，通过一种新的变换得到的复变函数，这种变换就是我们要定义的这种变换就是我
6、们要定义的拉普拉斯变换拉普拉斯变换定义定义 设设 实函数实函数 在在上有定上有定义义，且，且积积分分（为复参变量）为复参变量）上某一范围上某一范围 对复平面对复平面收敛，则由这个积分所确定的函数收敛，则由这个积分所确定的函数 （）（）称为函数称为函数 的的拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为像函数），记为像函数），记为（说明：有的书籍记：说明：有的书籍记：，即，即 为函数为函数 的拉氏变换）的拉氏变换）综合傅氏变换和拉氏变换可见，傅氏变换的像函数是一个综合傅氏变换和拉氏变换可见，傅氏变换的像函数是一个实自变量为实自变量为 的复值函数，而的复值函数，而拉氏变换的像
7、函数拉氏变换的像函数则是一个复则是一个复变数变数 的复值函数，由式（）式可以看出，的复值函数，由式（）式可以看出，的拉氏变换实际上就是的拉氏变换实际上就是 的傅氏变换的傅氏变换（其中（其中 为单位阶跃函数），因此拉氏变换实质上就是为单位阶跃函数），因此拉氏变换实质上就是 一种单边的广义傅氏变换一种单边的广义傅氏变换，单边是指积分区间从，单边是指积分区间从0到到 广义是指函数广义是指函数 要乘上要乘上 之后再之后再 作傅氏变换作傅氏变换 例例 求拉氏变换求拉氏变换【解解】在在,(按照假按照假设设)即即为为的半平面，的半平面，例例 求拉氏变换求拉氏变换【解】【解】在在 的半平面的半平面,同理有同理
8、有例例 求单位阶跃函数求单位阶跃函数 的拉氏变换的拉氏变换【解】【解】由拉氏变换的定义，有由拉氏变换的定义，有设设，由于，由于，所以，当且仅当，所以，当且仅当 时，时，从而有，从而有 求拉氏变换求拉氏变换 为常数为常数.【解】解】在在 的半平面上的半平面上请记住这个积分以后会经常用到请记住这个积分以后会经常用到例例8.1.5 若若 或或 拉氏变换拉氏变换 为实数），求为实数），求【解】同理同理 例例 求拉氏变换求拉氏变换 为常数为常数.【解】【解】在在 的半平面上，的半平面上，同理同理 例例8.1.7 若若（为为复数），求拉氏复数），求拉氏变换变换【解】解】8.1.2 拉氏变换的存在定理拉氏变
9、换的存在定理定理定理 8.1.1 拉氏变换存在定理拉氏变换存在定理若函数若函数 满足下述条件：满足下述条件：（1）当）当 时时，=0；当；当时时，在任一有限区在任一有限区间间上分段上分段连续连续；（2）当）当 时，时，的增长速度不超过某一的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数指数函数，即存在常数及及，使得，使得 则则 在半平面在半平面 上存上存在且解析在且解析【证明】证明】：证明：证明 存在由存在由所以上述积分绝对收敛，且所以上述积分绝对收敛，且 在右半平面在右半平面 存在存在 然后证明然后证明 解析为此，在积分号内对解析为此，在积分号内对 导数，并取导数，并取 求偏求偏为任意实常数），则有
10、为任意实常数），则有故积分故积分 在半平面在半平面 上一致收敛，可上一致收敛，可交换积分与微商的次序交换积分与微商的次序，即，即 故故的的导导数在数在且有限，可且有限，可见见在半平面在半平面内解析内解析上处处存在上处处存在8.2 拉普拉斯逆变换概念拉普拉斯逆变换概念定义定义8.2.1 拉氏逆变换拉氏逆变换若满足式：若满足式：，我们称，我们称 为为的的拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换，简简称称拉氏逆变换拉氏逆变换（或称（或称为为原函数），记为原函数），记为 为了计算拉氏逆为了计算拉氏逆 变换的方便，下面给出变换的方便，下面给出拉氏逆变换的具体表达式拉氏逆变换的具体表达式实际实际上上的拉氏的拉氏变换变
11、换，就是，就是 的傅氏变换的傅氏变换.因此，当因此，当 满足傅氏满足傅氏 积分定理的条件时，根据傅里叶积分公式，积分定理的条件时，根据傅里叶积分公式，在连续点处在连续点处等式两端同乘等式两端同乘，并注意到这个因子与积分变量，并注意到这个因子与积分变量 无关，无关，故故 时时 令令，则有，则有（）（）上式为上式为 的的拉普拉斯逆变换式，称为拉氏逆变换式拉普拉斯逆变换式，称为拉氏逆变换式记为记为 并且并且 称为称为 的拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换（或称为像原函拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换（或称为像原函数或原函数）数或原函数）称为黎曼梅林反演公式，这就是从像函数求原函数）称为黎曼梅林反演公式，这
12、就是从像函数求原函数上式右端的积分称为拉氏反演积分公式上式右端的积分称为拉氏反演积分公式 的一般公式的一般公式 注意：公式注意：公式 和公式和公式 构成一对互逆的构成一对互逆的积分变换公式，积分变换公式，也称也称 和和构成一组拉氏变换对。构成一组拉氏变换对。8.3 拉氏变换的性质拉氏变换的性质 虽然，由拉氏变换的定义式可以求出一些常用函数的拉氏变虽然，由拉氏变换的定义式可以求出一些常用函数的拉氏变换但在实际应用中我们总结出一些规律：即换但在实际应用中我们总结出一些规律：即拉氏变换的一些基拉氏变换的一些基本性质本性质通过这些性质使得许多复杂计算简单化通过这些性质使得许多复杂计算简单化 我们约定需
13、要取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换存在定理的我们约定需要取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换存在定理的条件条件性质性质1 线性定理线性定理 若若为为任意常数，且任意常数，且，则，则(8.3.1)【证明】【证明】根据逆变换的定义，不难证明第二式具体留给读者去证明根据逆变换的定义，不难证明第二式具体留给读者去证明 求求 函数函数 的拉氏变换的拉氏变换.【解】【解】例例 求函数求函数 的拉氏逆变换的拉氏逆变换【解】【解】因为因为 例例求求【解】【解】性质性质2 延迟定理延迟定理若若设设为为非非负实负实数，数，又当，又当 时，时，则，则(8.3.2)或或 【证明】由定义出发，随后令【证明】由定义出发，随后
14、令，可得，可得 利用利用0时时，=0，积积分下限可改分下限可改为为零，故得零，故得例例 已知已知，求，求【解】用阶跃函数表示【解】用阶跃函数表示 再利用线性定理及延迟定理，有再利用线性定理及延迟定理，有性质性质3 位移定理位移定理 若若，则有，则有 (8.3.3)其中其中是是的增的增长长指数指数证明证明 根据定义根据定义例例 求求【解】令【解】令=，则则由由 得得=利用位移定理利用位移定理，即有，即有 性质性质4 相似定理相似定理 设设，则对于大于零，则对于大于零的常数的常数，有，有（）（）【证明】【证明】由定义出发，随后作变量代换由定义出发，随后作变量代换，则，则性质性质5 微分定理微分定理
15、 设设 存在且分段连续，则存在且分段连续，则）【证明】【证明】由定义出发，随后用分部积分，可得由定义出发，随后用分部积分，可得同理，用同理，用取代上述的取代上述的，可得，可得继续作下去，即得所证继续作下去，即得所证特别地，当特别地，当 则则 性质性质6 像函数的微分定理像函数的微分定理 (8.3.6)【证明】在拉氏变换定义式两边对【证明】在拉氏变换定义式两边对 求导求导继续作下去，即得所证继续作下去，即得所证 性质性质7 积分定理积分定理 设设，则，则 (8.3.7)【证明】设【证明】设，则，则 由微分定理，有由微分定理，有 即即 由由可得可得一般地对应一般地对应n重积分，我们有重积分，我们有
16、 性质性质8 像函数的积分定理像函数的积分定理 (8.3.8)【证明】由拉氏变换的定义式出发，随后交换积分次序【证明】由拉氏变换的定义式出发，随后交换积分次序上面交换积分次序的根据是上面交换积分次序的根据是 在满足在满足 条件下是一致收敛的条件下是一致收敛的 性质性质9 拉氏变换的卷积定理拉氏变换的卷积定理(1)定义定义 8.3.1 拉氏变换的卷积拉氏变换的卷积前一章我们学习了傅氏变换的卷积概念和性质，当前一章我们学习了傅氏变换的卷积概念和性质，当是是 上绝对可积函数时，上绝对可积函数时，它们的卷积是它们的卷积是 如果当如果当时时，有，有，则则上式可写上式可写为为因为在拉氏变换中总认为因为在拉
17、氏变换中总认为 时，像函数时，像函数 因此把上式（）定义为因此把上式（）定义为拉氏变换的卷积拉氏变换的卷积恒为零，恒为零，（2）拉氏变换的卷积定理）拉氏变换的卷积定理 (8.3.10)【证明】【证明】首先由卷积定义及拉氏变换定义出发，随后交换积分首先由卷积定义及拉氏变换定义出发，随后交换积分 次序，并作变量代换：次序，并作变量代换：由于当由于当时时=0，第二个积分下限可写成，第二个积分下限可写成零，再将零，再将 提出第二个积分号外，便有提出第二个积分号外，便有 应用拉普拉斯变换法时经常要求应用拉普拉斯变换法时经常要求，若，若 能分解为能分解为，对上式作逆变换，即有，对上式作逆变换，即有(8.3
18、.11)8.4 拉普拉斯变换的反演拉普拉斯变换的反演 求拉普拉斯变换的反演即为在已知像函数情况下求原函数求拉普拉斯变换的反演即为在已知像函数情况下求原函数（即为求反演积分）我们分不同情况按下述方法来求：（即为求反演积分）我们分不同情况按下述方法来求：1 有理分式反演法有理分式反演法 若像函数是有理分式，只要把有理分式分若像函数是有理分式，只要把有理分式分解为分项分式之和，然后利用拉氏变换的基本公式，就能得到相解为分项分式之和，然后利用拉氏变换的基本公式，就能得到相应的原函数应的原函数.例例 求求 的原函数的原函数【解】即为求【解】即为求，先将这个有理分式分解为分项，先将这个有理分式分解为分项分式分式 利用例题利用例题8.1.4 和的结论，和的结论，即得到即得到