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1、第六章 拉普拉斯变换6.0 引言回顾:如何引入傅里叶变换1.很多信号可以用周期复指数信号的线性组合来表示。2.复指数信号是LTI系统的特征函数复指数信号:时傅立叶变换 推广为任意s值拉普拉斯变换除具有傅氏变化的优点外,还能应用于不稳定系统的分析缺点:物理意义不如傅立叶变换清晰 6.1 拉普拉斯变换 6.1.1 定义已知:LTI系统对 的响应为:其中对任意信号x(t),拉普拉斯变换(L)定义为:s为复数:当实部为0,为傅立叶变换另有:即:例 1:,为实数,求其傅立叶变换和拉氏变换 解:拉普拉斯变换的收敛域 只有 时,才能令 而求得X(jw)例2:求拉氏变换 解:可见,不同的x(t)可能有相同的X
2、(s),关键在于收敛域不同。收敛域(简称ROC):使拉普拉斯变换收敛的S值的范围。ROC的图示复平面(S平面)。注意:求拉氏变换,必须同时给出收敛域。例3 求X(s)解:Res-2 Res-1 Res-1 6.1.2 零极点图上述各X(s)称为有理的,只要x(t)是实指数或复指数的线性组合,X(s)就一定是有理的对有理拉普拉斯变换,可用零极点图来形象地表示:分子多项式的根零点 分母多项式的根极点除常数因子外,零极点图+ROC就是有理拉普拉斯变换的S平面表示。若分母的阶次高于分子的阶次k次,则 X(s)在无限远处有k阶零点。若分子的阶次高于分母的阶次k次,则 X(s)在无限远处有k阶极点。例4?
3、X(s)s为任意值 Res-1 Res2 Res2因为ROC不包括 jw的轴(即 Res=0)所以x(t)无傅立叶变化6.2 拉普拉斯变换收敛域l极点和ROC的关系;l极点、ROC与信号时域性质的关系l性质1:X(S)的ROC在S平面内由平行于jw 轴的带状区域组成。由狄里赫利条件(绝对可积+2.3条件),要求 ,仅与s的实部 有关有物理意义的常用信号/系统满足条件2.3,所以绝对可积 F收敛 性质2:对有理拉普拉斯变换,ROC内不包含极点。(极点处X(s)无限大,不收敛)性质3:如果x(t)是有限持续期,且绝对可积,那么ROC为整个S平面。证明:拉氏变换收敛 绝对可积,欲证对所有S,有(1)
4、当 上式化为 在ROC内(2)当(3)当对所有s,成立即ROC为整个S平面 性质4:如果x(t)是右边信号,且如果Res=位于ROC内,那么Res 的全部s值都一定在ROC内。右边信号:指 时,x(t)=0证明:因为x(t)的拉氏变换对 收敛,x(t)是右边信号,对于 ,有 即右边信号 对应 右半平面的ROC 性质5:如果x(t)是左边信号,且若 位于ROC内,则 的全部S值都位于ROC内。左边信号:时x(t)=0,对应 左半平面的ROC 性质6:如果x(t)是双边信号,且若 位于ROC内,则ROC一定是S平面上包括 的一条带状区域。双边信号:对时间轴左、右都是无限范围的例 求X(s)解:Re
5、s-b Res0时有公共收敛域:-bResb当b=0时,X(s)不存在如果信号x(t)的拉氏变换存在,一定是属于性质3性质6中的一种 性质7:如果 x(t)的拉氏变换 X(s)是有理的,那么它的ROC是被极点所界定的或延伸到无限远。且ROC内不包含 X(s)的任何极点。性质8:若x(t)的拉氏变换X(s)是有理的,对右边信号,则其ROC位于最右边极点的右边;对于左边信号,则其ROC在S平面上最左边极点的左边。6.3 拉普拉斯反变换 定义式:对于一般的X(s),上述积分的求值要利用复平面的围线积分-不做讨论重点掌握:有理变换,利用部分分式展开法例:求x(t)?解:展开为 a.对右半平面的ROC存
6、在傅立叶变换 b.对左半平面的ROC 无傅立叶变换c.对带状的ROC 6.4 拉普拉斯变换的性质 1、线性 ROC为 ROC为 ROC包括(1)若 为空,则 X(s)无收敛域,x(t)不存在拉普拉斯变换。如前节例 b-1,Res-1 求X(s)?解:ROC为:Res-2 为:Res-1,但仅在s=-2有极点,所以ROC向左延伸至s=-2原因:s=-1处零、极点抵消确定 的ROC方法:(1)求(2)将其向左、或右延伸,直至最近的极点 2、时移若 ROC=R则 ROC=R3、S域平移 ROC=R ROC如上表示是一种符号(边界变化)若X(s)有极点或零点在 s=a,那么 一定有极点或零点在 ,即
7、4、时域尺度变换(a为实)ROC=R ROC=aR ROC=aR 表示“边界的变化”la为负值时,ROC要增加关于 jw轴的反转。特例:ROC=-R5、共轭 ROC=R ROC=R推论:若 x(t)为实函数,有X(s)=X*(s*)因此若X(s)有零极点位于必有一共轭的零极点位于6、卷积性质 ROC=R1 ROC=R2 ROC包括7、时域微分 ROC=R ROC包括R,s=0处的零极点有变化 8、S域微分 ROC=R ROC=R例:求 的拉氏变换 解:由 Res-a 得 所以 Res-a 一般式:(当x(s)有多重极点时有用)例:Res-1的反变换解:由于ROC在极点s=-1 s=-2 的右边
8、,所以对应右边信号 9、时域积分 ROC=R ROC包括R Res0证明:Res0 所以ROC包括R Res0 10、初值和终值定理条件:t0时,x(t)=0初值定理:初值定理条件:t=0时,x(t)不含冲激或高阶奇异函数,X(s)必须为真分式分子阶次分母阶次否则,X(s)=X0(s)整式+X1(s)真分式原因:整式X0(s)的L反变换为冲激及其导数(即高阶奇异函数),在0+时刻值为零 例:所以 终值定理条件:必须存在。对应S域的条件:X(s)的极点必须位于S平面的左半平面,虚轴上仅在 s=0处有一阶极点 例:在虚轴上有共轭极点所以,x(t)的终值不存在 关于性质应用求解:6.5 单边周期信号
9、和单边抽样信号的拉氏变换1.单边周期冲激串的拉氏变换 ROC:将极点、零点概念扩展:使拉氏变换为无穷大或0的s值。上式无零点,极点分析:即极点恰是周期冲激串的傅里叶变换冲激的位置-2/T-4/T2/T4/T2.单边周期信号的拉氏变换 为第1个周期内的信号则 或 ROC含特点:(1)是有限长信号的拉氏变换,如果存在,则无极点(收敛域为整个s平面)(2)不能说X(s)的极点仅由第二项决定 因为X1(s)的零点可能抵消第二项的极点3.单边抽样信号的拉氏变换例:,为单边周期矩形信号求:和解:(1)极点分析:a.无极点-零极点抵消b.原有极点 但由于分母中的 项被 中的相同项所抵消,故 k取偶数时不是极
10、点;同时 成为极点 亦可由表达式直接分析:(2)极点:(3)若 求 解:极点:6.5 用L变换分析与表征LTI系统LTI系统的单位冲激响应的拉普拉斯变换称为系统函数/转移函数由卷积性质得:对LTI系统,y(t)=h(t)*x(t)Y(s)=H(s)X(s)s=ejw时 H(s)变为频率响应H(jw)。上式变为 Y(jw)=H(jw)X(jw)6.5.1 因果性因果性质:系统的输出只决定于现在和过去的输入值 因果的LTI系统应满足:t0时,h(t)=0,系统函数的ROC为左半平面 6.5.2 稳定性 LTI系统的稳定性等效于h(t)绝对可积,等效于傅氏变换收敛(狄.条件2、3满足)H(s)当sj
11、w时,即为H(jw)结论1:系统函数H(s)的ROC包括 jw轴,等效于LTI系统是稳定的 例:已知LTI系统的系统函数为对以下各种情况,求其ROC及h(t)(1)系统为因果的;(2)系统是稳定的;(3)ROC如(3)解:系统的零极点图:(1)有理H(s)、因果性,故ROC为右半平面:Res2,所以由于ROC不包括jw轴,所以非稳定(2)系统是稳定的,ROC包含jw轴:-1Res2 这是非因果的(3)对如(3)所示的ROC,即Res-3 h(t)=e-3tu(t)若反因果系统,Res-1 故系统是因果的;因H(s)的两个极点均有负实部,故系统是稳定的 可得微分方程:例:已知LTI系统满足(1)
12、系统是因果的,且原点不含冲激或高阶奇异函数;(2)系统是有理的,且有两个极点:s=-2,s=4;(3)若x(t)=1,则y(t)=0;(4)t=0+时,h(t)=4 试确定H(s),分析稳定性解:由1,2有理H(s)的因果系统,且有实部不为0的极点,所以为不稳定系统 设 ,p(s)是s的多项式 由3,时,即 有一根在s=0,所以可设由初值定理,必为常数=4 例:一稳定的因果系统 是有理的,有一个极点位于s=-2,原点没有零点,其余的零极点不知,试判断(a)(g)的对错,或不确定解:(a)收敛 相当于H(s)在Res=-3时的值。H(s)有极点s=-2,且因果,故ROC至少应位于s=-2的右边,
13、但Res=-3不满足此要求 错误 (b)原点无零点,错误(c)是一稳定因果系统的单位冲击响应 由s域微分性质:即两者有相同的收敛域,所以系统也是因果稳定的,正确(d)的拉式变换至少有一个极点 无法消除H(S)位于S=-2的极点,所以正确(e)h(t)是有限持续期的 由稳定性得h(t)绝对可积,若h(t)还是有限持续期的,则ROC为整个S平面,但已有s=-2的极点,所以错误(f)H(S)=H(-S)若有H(S)=H(-S),则H(S)在S=2也应有一极点,但对稳定的因果系统,所有极点都有负实部,所以错误(g)只有当分子与分母同阶时,才可能有上式但没有足够的条件,所以无法确定 6.6 系统函数的代
14、数属性与方框图表示 利用拉氏变换,时域的微分、卷积、时移复频域的代数运算,也可用于LTI系统的互联中6.6.1 LTI系统互联的系统函数 1、并联 y(t)x(t)h1(t)/H1(s)h2(t)/H2(s)+-2、级联(串联)h(t)=h1(t)*h2(t)H(s)=H1(s)H2(s)3、反馈由于Y(s)=H1(s)E(s),E(s)=X(s)-Z(s)=X(s)-H2(s)Y(s),所以Y(s)=H1(s)X(s)-H2(s)Y(s),H(s)Y(s)X(s)y(t)x(t)h1(t)/H1(s)h2(t)/H2(s)6.6.2 由微分方程和有理系统函数描述的(因果)LTI系统的方框图表
15、示 微分 s;积分1/s例1:一因果LTI系统的系统函数 ,试画出其方框图解:系统对应的微分方程为:对应的S域方框图为 或:例2:s,涉及微分运算,不好改画上图:从A至C至B:先积分,再微分,故A=B所以上图可化为:不含微分运算,好例3:(因果)二阶系统解:(1)直接型,由H(s)可得微分方程:框图中尽量避免微分运算,而采用积分运算 原式化为:(2)级联型:(3)并联型:同一H(s),可以有多种实现方式,对应不同的框图 例4:6.7单边拉普拉斯变换 应用:非零初始条件下,由线性常系数微分方程所描述的因果系统的求解定义:积分下限为0-,表明在积分区间内包括了集中于t0的冲激或高阶奇异函数t0时为
16、零的信号-因果信号,双边和单边拉氏变换相等单边拉氏变换的ROC一定是某右半平面 6.7.1 单边拉普拉斯变换举例 例1:求解:因为t-a 例2:解:Res-a 而 Res-a 例3:x(t)=g(t)+2u(t)+etu(t),求解:t1例4:解:因为ROC一定为右半平面,所以ROC为:Res-2 所以单边拉普拉斯反变换仅能得到t0-时的信号表达式 6.7.2 单边拉普拉斯变换的性质 1、时域微分-与双边变换明显不同2、卷积性质:单边变换增加的条件-若t0时,6.7.3 利用单边拉普拉斯变换求解微分方程重要应用:非零初始条件的线性常系数微分方程例:下列微分方程描述的因果LTI系统(1)求系统函数 (2)当x(t)=u(t)时,求零状态响应(3)初始条件为:y(0-)=,x(t)=u(t),求y(t)解:(1)依题,系统函数为:(2)(3)由微分方程求单边拉氏变换得前两项的反变换,为输入为0时的响应-零输入响应后一项的反变换,为初始状态为0的响应-零状态响应 作业6.1(2)(3)6.26.3(1)(4)6.8(1)(2)6.11(1)(3)(5)(7)6.166.196.216.23奥本海姆:9.289.40