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1、1第 6 练计数原理 明晰考情 1.命题角度：考查两个计数原理的简单应用；二项式定理主要考查特定项、系数和系数和.2.题目难度：中低档难度考点一两个计数原理要点重组(1)分类加法计数原理中分类方法中的每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的(2)分步乘法计数原理中每步中的某一方法只能完成这件事的一部分，步与步之间是相关联的1在100,101,102，999 这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是()A120 B204 C168 D216 答案B 解析由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0 时，从 9个数字中选三个
2、，则这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数，共有 2C39 168(个)，当三个数字中含有0 时，从 9 个数字中选2 个数，它们只有递减一种结果，共有C29 36(个)，根据分类加法计数原理知共有16836204(个)，故选 B.2.如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有()A30 种B27 种C24 种D21 种答案A 解析由题意知本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3 种情况如果A的两个相邻点颜色相同，有2 种情况；这时最后两个点也有2 种情况；2如果A的两个相邻点颜色不同，有2
3、种情况；这时最后两个点有3 种情况所以共有3(2223)30(种)方法3在 1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式共有()A576 种B720 种C864 种D1152 种答案C 解析由题意可知，2,4,6不能相邻，且6 与 3 也不能相邻，所以先排1,3,5,7四个数字，有 A44种排法；再插入 6，由于 1,3,5,7四个数字产生5 个空位，所以 6 只有 3 个空位可以插，2 和 4 则是从其余4 个空位中选择2 个空位插入，所以共有A44A13A2424312 864(种)排法，故选C.4某校开设5 门不同的数学选修课
4、，每位同学可以从中任选1 门或 2 门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有()A330 种 B420 种 C510 种 D 600种答案A 解析由题意知，就甲、乙、丙三位同学总共所选课程数进行分类计数：第一类，甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为3时，满足题意的方法共有C35A3360(种)；第二类，甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为4时，满足题意的方法有C45C24A33180(种)；第三类，甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为5 时，满足题意的方法有C25C23A22A33 90(种)因此满足题意的方法共有6018090330(种)考点二排列组合问题方法技巧(1
5、)解排列组合问题的三大原则：先特殊后一般，先取后排，先分类后分步(2)排列组合问题的常用解法：特殊元素(特殊位置)优先安排法相邻问题捆绑法不相邻问题插空法定序问题缩倍法53 名医生和6名护士被分配到3 所学校为学生体检，每所学校分配1 名医生和2 名护士，则不同的分配方法共有()A90 种B180 种C270 种D540 种答案D 3解析不同的分配方法共有C13C26C12C24540(种)，故选 D.6张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人的入园顺序排法种数为()A12B24C36D48 答案B
6、解析将两位爸爸排在两端，有 2 种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上，有2A33种排法，故总的排法有22A3324(种)7 红海行动 是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事 撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有()A240 种B188 种C156 种D120 种答案D 解析当E，F排在前三位时有(A22A22)A3324(种)方法；当E，F排在后三位时，有(A22C13A22)A3372(种)方法；当E，F排
7、 3,4 位时有(C13A22)A22A2224(种)方法，共有 2472 24120(种)方案8为促进城乡一体化进程，某单位选取了6 户家庭到4 个村庄体验农村生活，要求将6 户家庭分成4 组，其中 2 组各有 2 户家庭，另外 2 组各有 1 户家庭，则不同的分配方案的种数是()A216B420C720D1080 答案D 解析先分组，每组含有2 户家庭的有2 组，则有C26C24A22种分组方法，剩下的2 户家庭可以直接看成 2 组，然后将分成的4 组进行全排列，故有C26C24A22A441080(种)考点三二项式定理的应用方法技巧(1)求二项展开式的特定项的实质是通项公式Tk 1Ckn
8、ankbk的应用，可通过确定k的值再代入求解(2)二项展开式各项系数和可利用赋值法解决(3)求二项展开式系数最大的项，一般采用不等式组法：设展开式各项系数分别为A1，A2，An1，则最大的系数Ak满足AkAk 1，AkAk 1.49(2018全国)x22x5的展开式中x4的系数为()A10B20C40D80 答案C 解析x22x5的展开式的通项公式为Tk1Ck5(x2)5k2xkCk52kx10 3k，令 103k4，得k2.故展开式中x4的系数为C252240.10使3x1xxn(nN*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A4B5C 6D7 答案B 解析Tk1 Ckn(3x)nk1xxk
9、Ckn3nk52nkx，当Tk1是常数项时，n52k0，当k2，n5时满足题意11已知(1x)10a0a1(1x)a2(1 x)2a10(1 x)10，则a8等于()A 5B5C90D180 答案D 解析(1x)10 2 (1 x)10a0a1(1 x)a2(1 x)2a10(1 x)10，a8C81022(1)8180.12(1 x2)2x 16的展开式中1x项的系数为()A 12B12C 172D 172 答案C 解析因为2x16的通项公式为Ck62x6k(1)k26kCk6(1)kxk6.故展开式中1x项的系数为2C56(1)523C36(1)3 172.故选 C.1在航天员进行的一项太
10、空实验中，要先后实施6 个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有()A34 种B48 种5C96 种D144 种答案C 解析由题意知，程序A只能出现在第一步或最后一步，所以有A222(种)结果因为程序B和C在实施时必须相邻，所以把B和C看作一个元素，有A44A2248(种)结果，根据分步乘法计数原理可知，共有248 96(种)结果，故选C.2某公司有五个不同的部门，现有4 名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为()A60B40C120D240 答案A 解析由题意得，先将4
11、 名大学生平均分为两组，共有C24C22A223(种)不同的分法再将两组安排在其中的两个部门，共有3A2560(种)不同的安排方法，故选A.3若(1 y3)x1x2yn(nN*)的展开式中存在常数项，则常数项为_答案84 解析x1x2yn展开式的通项为Cknxnk1x2ykCkn(1)kxn3ky k，(1y3)x1x2yn展开式的通项为Ckn(1)kxn3kyk和y3Ckn(1)kxn3kykCkn(1)kxn3ky3k，若存在常数项则有n3k0，k0(舍)或n3k0，3k0，解得k 3，n9，常数项为C39(1)3 84.解题秘籍(1)解有限制条件的排列组合问题，要按照元素(或位置)的性质
12、进行分类，按事件发生的顺序进行分步(2)平均分组问题中，平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况(3)求各项系数和要根据式子整体结构，灵活赋值；对复杂的展开式的指定项，可利用转化思想，通过二项展开式的项解决1安排 3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有()A12 种 B 18 种 C 24 种 D36 种答案D 6解析由题意可得，其中 1 人必须完成2 项工作，其他 2 人各完成1项工作，可得安排方式为 C13C24A2236(种)，或列式为C13C24C1234322 36(种)故选 D.2某大型花展期间，安排6 位志愿者到4 个展区
13、提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，则不同的安排方案共有()A168 种 B156 种 C172 种 D 180种答案B 解析小李和小王分别去甲、乙展区有A22C24C2212(种)方案；小王、小李中有一人去甲、乙展区，有C12C12C14C24C22 96(种)方案；小王、小李都不去甲、乙展区，有A22A4448(种)方案，共有 1296 48156(种)方案3将 18 个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3 所学校，要求每所学校至少有1 个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为()A96B114C128D136 答案B
14、 解析由题意可得每所学校至少有1 个名额的分配方法种数为C217136，分配名额相等有22种(可以逐个数)，则满足题意的方法有13622114(种)4.11x2(1 x)6的展开式中x2的系数为()A15B20C30D35 答案C 解析因为(1 x)6的通项为Ck6xk，所以 11x2(1x)6的展开式中含x2的项为 1C26x2和1x2C46x4.因为 C26C462C262652130，所以 11x2(1x)6的展开式中x2的系数为30.故选 C.5从 5 位男实习教师和4 位女实习教师中选出3 位教师派到3 个班实习班主任工作，每班派一名，要求这3 位实习教师中男女都要有，则不同的选派方
15、案共有()A210 种 B420 种 C630 种 D 840种答案B 解析(用间接法)9 人中选 3 人到 3 个班实习班主任工作共A39种结果，其中均为男教师的有7A35种，均为女教师的有A34种满足条件的方案有A39A35A34420(种)6已知(1ax)(1 x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于()A 4B 3C 2D 1 答案D 解析因为(1 x)5的二项展开式的通项为Ck5xk(0k5，kZ)，则含x2的项为 C25x2axC15x(10 5a)x2，所以 105a5，a 1.7(2x1)10a0a1xa2x2a9x9a10 x10，则a2a3a9a10的值为()A 20B0C
16、1D20 答案D 解析令x1，得a0a1a2a9a101，再令x 0，得a01，所以a1a2a9a100，又因为a1C91021(1)9 20，所以a2a3a9a10 20.8登山运动员10 人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4 人，每组都需要2 人，那么不同的分配方法种数是()A30B60C120D240 答案B 解析先将 4 个熟悉道路的人平均分成两组，有C24C22A22种，再将余下的6 人平均分成两组，有C36C33A22种，然后这四个组自由搭配还有A22种，故最终分配方法有C24C36A2260(种)9(2018浙江)从 1,3,5,7,9中任取 2 个数字，从0,2,4,6中任取
17、2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答)答案1260 解析不含有 0 的四位数有C25C23A44720(个)含有 0 的四位数有C25C13C13A33540(个)综上，四位数的个数为7205401260.10(2018浙江)二项式3x12x8的展开式的常数项是_答案7 解析由题意，得Tk1Ck8(3x)8k12xkCk812k83kxxkCk812k8 43kx.8令84k30，得k2.因此T3C28122872147.11设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若 13a7b，则m _.答案6 解析由题意可知，aCm2m，bCm2m1，又13a7b，132m！m！m！72m1！m！m1！，即1372m1m1，解得m6.12公安部新修订的机动车登记规定正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排某人欲选由A，B，C，D，E中的两个不同的字母和1,2,3,4,5中的三个不同数字(三个数字都相邻)组成一个号牌，则他选择号牌的方法种数为_答案3600 解析三个数字相邻，则共有A35种情况，在A，B，C，D，E中选两个不同的字母，共有A25种不同的情况，这两个字母形成三个空，将数字整体插空，共C13种情况，综上所述，此人选择号牌的方法种数为A35A25C1360203 3600.