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1、第6练计数原理明晰考情1.命题角度：考查两个计数原理的简单应用；二项式定理主要考查特定项、系数和系数和.2.题目难度：中低档难度考点一两个计数原理要点重组(1)分类加法计数原理中分类方法中的每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的(2)分步乘法计数原理中每步中的某一方法只能完成这件事的一部分，步与步之间是相关联的1在100,101,102，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是()A120B204C168D216答案B解析由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0时，从9个数字中选三个，则这三个数字递增或递减的
2、顺序可以确定两个三位数，共有2C168(个)，当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有C36(个)，根据分类加法计数原理知共有16836204(个)，故选B.2.如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有()A30种B27种C24种D21种答案A解析由题意知本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况如果A的两个相邻点颜色相同，有2种情况；这时最后两个点也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，有2种情况；这时最后两个点有3种情况所以共有3(2223)30(种)方法3
3、在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式共有()A576种B720种C864种D1152种答案C解析由题意可知，2,4,6不能相邻，且6与3也不能相邻，所以先排1,3,5,7四个数字，有A种排法；再插入6，由于1,3,5,7四个数字产生5个空位，所以6只有3个空位可以插，2和4则是从其余4个空位中选择2个空位插入，所以共有AAA24312864(种)排法，故选C.4某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有()A330种B420种C510种D
4、600种答案A解析由题意知，就甲、乙、丙三位同学总共所选课程数进行分类计数：第一类，甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为3时，满足题意的方法共有CA60(种)；第二类，甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为4时，满足题意的方法有CCA180(种)；第三类，甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为5时，满足题意的方法有A90(种)因此满足题意的方法共有6018090330(种)考点二排列组合问题方法技巧(1)解排列组合问题的三大原则：先特殊后一般，先取后排，先分类后分步(2)排列组合问题的常用解法：特殊元素(特殊位置)优先安排法相邻问题捆绑法不相邻问题插空法定序问题缩倍法53名医生和6名护士被分配到3所学校
5、为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有()A90种B180种C270种D540种答案D解析不同的分配方法共有CCCC540(种)，故选D.6张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人的入园顺序排法种数为()A12B24C36D48答案B解析将两位爸爸排在两端，有2种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上，有2A种排法，故总的排法有22A24(种)7红海行动是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事撤侨过程中，海军舰长要求队
6、员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有()A240种B188种C156种D120种答案D解析当E，F排在前三位时有(AA)A24(种)方法；当E，F排在后三位时，有(ACA)A72(种)方法；当E，F排3,4位时有(CA)AA24(种)方法，共有247224120(种)方案8为促进城乡一体化进程，某单位选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的种数是()A216B420C720D1080答案D解析先分组，每组含有2户家
7、庭的有2组，则有种分组方法，剩下的2户家庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有A1080(种)考点三二项式定理的应用方法技巧(1)求二项展开式的特定项的实质是通项公式Tk1Cankbk的应用，可通过确定k的值再代入求解(2)二项展开式各项系数和可利用赋值法解决(3)求二项展开式系数最大的项，一般采用不等式组法：设展开式各项系数分别为A1，A2，An1，则最大的系数Ak满足9(2018全国)5的展开式中x4的系数为()A10B20C40D80答案C解析5的展开式的通项公式为Tk1C(x2)5kkC2kx103k，令103k4，得k2.故展开式中x4的系数为C2240.10使n(nN
8、*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A4B5C6D7答案B解析Tk1C(3x)nkkC3nk，当Tk1是常数项时，nk0，当k2，n5时满足题意11已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a8等于()A5B5C90D180答案D解析(1x)102(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，a8C22(1)8180.12(1x2)6的展开式中项的系数为()A12B12C172D172答案C解析因为6的通项公式为C6k(1)k26kC(1)kxk6.故展开式中项的系数为2C(1)523C(1)3172.故选C.1在航天员进行的一项太空实验中，要先后
9、实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有()A34种B48种C96种D144种答案C解析由题意知，程序A只能出现在第一步或最后一步，所以有A2(种)结果因为程序B和C在实施时必须相邻，所以把B和C看作一个元素，有AA48(种)结果，根据分步乘法计数原理可知，共有24896(种)结果，故选C.2某公司有五个不同的部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为()A60B40C120D240答案A解析由题意得，先将4名大学生平均分为两组，共有3(种)不同的分法再将两
10、组安排在其中的两个部门，共有3A60(种)不同的安排方法，故选A.3若(1y3)n (nN*)的展开式中存在常数项，则常数项为_答案84解析n展开式的通项为CxnkkC(1)kxn3kyk，(1y3)n展开式的通项为C(1)kxn3kyk和y3C(1)kxn3kykC(1)kxn3ky3k，若存在常数项则有(舍)或解得k3，n9，常数项为C(1)384.解题秘籍(1)解有限制条件的排列组合问题，要按照元素(或位置)的性质进行分类，按事件发生的顺序进行分步(2)平均分组问题中，平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况(3)求各项系数和要根据式子整体结构，灵活赋值；对复杂的展开式的指定项，可
11、利用转化思想，通过二项展开式的项解决1安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A12种B18种C24种D36种答案D解析由题意可得，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为CCA36(种)，或列式为CCC3236(种)故选D.2某大型花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，则不同的安排方案共有()A168种B156种C172种D180种答案B解析小李和小王分别去甲、乙展区有ACC12(种)方案；小王、小李中有一人去甲、乙展区，有CCC
12、CC96(种)方案；小王、小李都不去甲、乙展区，有AA48(种)方案，共有129648156(种)方案3将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校，要求每所学校至少有1个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为()A96B114C128D136答案B解析由题意可得每所学校至少有1个名额的分配方法种数为C136，分配名额相等有22种(可以逐个数)，则满足题意的方法有13622114(种)4.(1x)6的展开式中x2的系数为()A15B20C30D35答案C解析因为(1x)6的通项为Cxk，所以(1x)6的展开式中含x2的项为1Cx2和Cx4.因为CC2C230，所以(1x)6
13、的展开式中x2的系数为30.故选C.5从5位男实习教师和4位女实习教师中选出3位教师派到3个班实习班主任工作，每班派一名，要求这3位实习教师中男女都要有，则不同的选派方案共有()A210种B420种C630种D840种答案B解析(用间接法)9人中选3人到3个班实习班主任工作共A种结果，其中均为男教师的有A种，均为女教师的有A种满足条件的方案有AAA420(种)6已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于()A4B3C2D1答案D解析因为(1x)5的二项展开式的通项为Cxk(0k5，kZ)，则含x2的项为Cx2axCx(105a)x2，所以105a5，a1.7(2x1)10a0a
14、1xa2x2a9x9a10x10，则a2a3a9a10的值为()A20B0C1D20答案D解析令x1，得a0a1a2a9a101，再令x0，得a01，所以a1a2a9a100，又因为a1C21(1)920，所以a2a3a9a1020.8登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是()A30B60C120D240答案B解析先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有种，再将余下的6人平均分成两组，有种，然后这四个组自由搭配还有A种，故最终分配方法有60(种)9(2018浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成
15、_个没有重复数字的四位数(用数字作答)答案1260解析不含有0的四位数有CCA720(个)含有0的四位数有CCCA540(个)综上，四位数的个数为7205401260.10(2018浙江)二项式8的展开式的常数项是_答案7解析由题意，得Tk1C()8kkCkxkCk.令0，得k2.因此T3C27.11设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m_.答案6解析由题意可知，aC，bC，又13a7b，137，即，解得m6.12公安部新修订的机动车登记规定正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排某人欲选由A，B，C，D，E中的两个不同的字母和1,2,3,4,5中的三个不同数字(三个数字都相邻)组成一个号牌，则他选择号牌的方法种数为_答案3600解析三个数字相邻，则共有A种情况，在A，B，C，D，E中选两个不同的字母，共有A种不同的情况，这两个字母形成三个空，将数字整体插空，共C种情况，综上所述，此人选择号牌的方法种数为AAC602033600.