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1、1第 7 练概率 明晰考情 1.命题角度：概率是高考的必考知识点，古典概型和离散型随机变量的期望、方差是选择题、填空题考查的热点.2.题目难度：中低档难度考点一随机事件的概率要点重组(1)对立事件是互斥事件的特殊情况，互斥事件不一定是对立事件(2)若事件A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)；若事件A，B对立，则P(A)1P(B)1从 10 个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.2，是不可能事件的概率为 0.3，则这 10 个事件中随机事件的个数是()A3B4C 5D6 答案C 解析这 10 个事件中，必然事件的个数为100.2 2，不可能事件的个数为100.3 3.而必然事
2、件、不可能事件、随机事件是彼此互斥的事件，且它们的个数和为10.故随机事件的个数为1023 5.故选 C.2一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A至多有一次中靶B两次都中靶C只有一次中靶D两次都不中靶答案D 解析射击两次有四种可能，就是(中，不中)、(不中，中)、(中，中)、(不中，不中)，其中“至少有一次中靶”含有前三种情况，选项A、B、C中都有与其重叠的部分，只有选项D为其互斥事件，也是对立事件3抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，则P(AB)_.答案23解析事
3、件AB可以分成事件C：“朝上一面的数为1,2,3”与事件D：“朝上一面的数为5”这两件事，则事件C和事件D互斥，故P(AB)P(CD)P(C)P(D)36164623.4.某学校成立了数学、英语、音乐3 个课外兴趣小组，3 个小组分别有39,32,33个成员，2一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是_，他属于不超过2 个小组的概率是_答案351315解析“至少 2 个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2 个小组的概率为P1110 7867881010 1135.“不超过2 个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立
4、事件是“3个小组”故他属于不超过2 个小组的概率是P1867881010111315.考点二古典概型方法技巧求解古典概型的概率的两种常用方法(1)直接法：将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率(2)间接法：若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件，需要分类太多，而其对立面的分类较少时，可考虑利用对立事件的概率公式进行求解，即“正难则反”它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率5(2018全国)从2 名男同学和3 名女同学中任选2 人参加社区服务，则选中的2 人都是女同学的概率为()A0.6B 0.5C0.4D0.3 答案D 解析设 2 名男同学为a，b，3
5、名女同学为A，B，C，从中选出两人的情形有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共 10 种，而都是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共 3 种，故所求概率为3100.3.6有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这5 支彩笔中任取2 支不同颜色的彩笔，则取出的2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45B.35C.25D.15答案C 3解析从 5 支彩笔中任取2 支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10 种，其中取出的2 支
6、彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4 种，所以所求概率P41025.故选 C.7有两张卡片，一张的正反面分别画着老鼠和小鸡，另一张的正反面分别画着老鹰和蛇现在有个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上，不考虑顺序，则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是()A.12B.13C.14D.15答案C 解析向上的图案为鼠鹰、鼠蛇、鸡鹰、鸡蛇四种情况，其中向上的图案是鸡鹰的概率为14.故选 C.8.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA，OB，OC，OD的中点，在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F，设G为满足OGOEOF
7、的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为 _答案34解析基本事件的总数是44 16，在OGOEOF中，当OGOPOQ，OGOPON，OGONOM，OGOMOQ时，点G分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G在平行四边形的边界上，而其余情况的点G都在平行四边形外，故所求的概率是141634.考点三离散型随机变量的期望和方差要点重组(1)相互独立事件同时发生的概率P(AB)P(A)P(B)(2)独立重复试验、二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为4Pn(k)Cknpk(1 p)nk，k0,1,2，n.一
8、般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cknpkqn k，其中 0p1，pq1，k0,1,2，n，称X服从参数为n，p的二项分布，记作XB(n，p)，且E(X)np，D(X)np(1 p)方法技巧离散型随机变量期望与方差的解题思路(1)理解随机变量X的意义，写出X的所有可能取值，确定分布列的类型(2)求X取每个值的概率(3)写出X的分布列(4)求出E(X)，D(X)9(2017浙江)已知随机变量i满足P(i1)pi，P(i0)1pi，i1,2.若 0p1p212，则()AE(1)E(2)，D(1)D(2)BE(1)E(2)，D(1)
9、D(2)CE(1)E(2)，D(1)D(2)DE(1)E(2)，D(1)D(2)答案A 解析由题意可知i(i 1,2)服从两点分布，E(1)p1，E(2)p2，D(1)p1(1 p1)，D(2)p2(1 p2)，又0p1p212，E(1)E(2)，把方差看作函数yx(1 x)，根据 0p1p212知，D(1)D(2)故选 A.10(2018浙江)设 0p1，随机变量 的分布列是012 P 1p212p2则当p在(0,1)内增大时，()AD()减小BD()增大CD()先减小后增大DD()先增大后减小答案D 5解析由题意知E()01p21122p2p12，D()0p1221p2 1p12212 2
10、p122p2p1221p2p1221232p2p212p12212p122p2p122p232p2122p212p2p122p322p214p(2p 1)p2p14p12212，D()在 0，12上单调递增，在12，1 上单调递减，即当p在(0,1)内增大时，D()先增大后减小故选 D.11(2018全国)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立 设X为该群体的10 位成员中使用移动支付的人数，D(X)2.4，P(X4)P(X6)，则p等于()A0.7B 0.6C0.4D0.3 答案B 解析由题意可知，10 位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即XB(10，p
11、)，所以D(X)10p(1 p)2.4，所以p0.4 或 0.6.又因为P(X4)P(X6)，所以 C410p4(1 p)6C610p6(1p)4，所以p0.5，所以p 0.6.12甲、乙两人被随机分配到A，B，C三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位)记分配到A 岗位的人数为随机变量X，则随机变量X的期望E(X)_，方差D(X)_.答案2349解析由题意可知X的可能取值有0,1,2，P(X0)223349，P(X1)C1223349，6P(X2)13319，则期望E(X)04914921923，方差D(X)023249 123249 22321949.1甲袋中装有3 个白球和5 个黑球，乙
12、袋中装有4 个白球和6 个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为()A.944B.2544C.3544D.3744答案C 解析白球没有减少的情况有：取出黑球，放入任意球，概率是58；取出白球，放入白球，概率是385111588，故所求事件的概率为5815883544.2体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3 次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3 次为止设学生一次发球成功的概率为p(p0)，发球次数为X，若X的期望E(X)1.75，则p的取值范围是()A.0，712B.712，1C.0，12D
13、.12，1答案C 解析发球次数X的分布列如下表：X 123 P p(1 p)p(1 p)27所以期望E(X)p2(1 p)p3(1 p)2 1.75，解得p52或p12，又 0p2，E(1)E(2)Bp1E(2)Cp1p2，E(1)E(2)Dp1p2，E(1)0，即有p1p2.此时，2的取值为1,2,3，P(21)C2nC2mn，P(22)C1mC1nC2m n，P(23)C2mC2m n，则E(2)1C2nC2mn2C1mC1nC2m n3C2mC2m nC2n2C1mC1n3C2mC2m n3p2n3mnm，则有E(1)p2，E(1)E(2)故选 A.9在等差数列an 中，a42，a7 4
14、，现从 an 的前 10 项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3 次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为11两个正数和一个负数的概率为_答案625解析由已知可求得通项公式为an102n(n1,2,3，)，其中a1，a2，a3，a4为正数，a50，a6，a7，a8，a9，a10为负数，从中取一个数为正数的概率为41025，为负数的概率为12.取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C23252121625.10(2018浙江省余姚中学模拟)若随机变量 的分布列如表所示，则E()_，D(2 1)_.101 P a 14a2答案14114解析由题意可知，a14a21
15、，解得a32(舍去)或a12，E()11201411414，由方差的性质，得D(2 1)4D()4114212 014214 114214114.11某央企申请在雄安新区建立分公司若规定每家央企只能在雄县、容城、安新3 个片区中的一个片区建立分公司，且申请在其中任一个片区建立是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司，若向雄安新区申请建立分公司的有4 家央企，则恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率为_答案827解析方法一依题意，每家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为13，去另外两个片区建立分公司的概率为23，这 4 家央企恰有2 家央企在“雄县”
16、片区建立分公司的概率为PC241321132827.方法二所有可能的申请方式有34种，恰有2 家央企申请在“雄县”片区建立分公司的方式有 C2422种，从而恰有2 家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为PC242234827.1212(2018浙江省“七彩阳光”联盟联考)某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏，根据他的游戏经验，每次开启一个新的游戏，这三个关卡他能够通关的概率分别为12，13，14(这个游戏的游戏规则是：如果玩者没有通过上一个关卡，他照样可以玩下一个关卡，但玩该游戏的得分会有影响)，则此人在开启一个这种新的游戏时，他能够通过两个关卡的概率为_，设X表示他能够通过此游戏的关卡的个数，则随机变量X的期望为 _答案141312解析随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.又P(X 2)112131412 113141213 11414.P(X0)112 113 11414，P(X1)12 113 114 11213 114 112 113141124，P(X3)121314124.所以，随机变量X的分布列为X 0123 P 14112414124随机变量X的期望E(X)0141112421431241312.