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1、1第 3 练复数与数学文化 明晰考情 1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；数学文化的考查内容不拘一格，古今中外文化兼有.2.题目难度：复数的考查难度为低档难度，数学文化的考查难度为中档难度考点一复数的概念要点重组(1)复数：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，i 为虚数单位 若b0，则abi 为实数；若b0，则abi 为虚数；若a 0 且b0，则abi 为纯虚数(2)复数相等：abi cdi?ac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi 与cdi 共轭?ac，bd(a，b，c，dR)(4)复数的模：向量OZ的模r叫做复数zabi(a，bR)的模，记作
2、|z|或|abi|，即|z|abi|ra2b2(r0，rR)方法技巧复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数1(2018全国)设z1i1i 2i，则|z|等于()A0 B.12C1 D.2 答案C 解析z1i1i2i 1i21i1 i 2i 2i22i i，|z|1.故选 C.2(2018全国)12i12i等于()A4535i B4535i C3545i D3545i 答案D 2解析12i12i1 2i212i1 2i14 4i1 2i234i53545i.故选 D.3已知a，bR，i 是虚数单位若ai 与 2bi 互为共轭复数，则(abi)2等于()
3、A54iB 54i C34iD34i 答案D 解析由已知得a2，b1，即abi 2i，(abi)2(2 i)23 4i.故选 D.4(2018杭州模拟)设aR，若(1 3i)(1ai)R(i是虚数单位)，则a等于()A3B 3C.13D13答案B 解析(1 3i)(1ai)1ai 3i 3a，(1 3i)(1ai)R，虚部为0，则a30，a 3.5(2018浙江省杭州市第二中学月考)若复数z满足(1 2i)z3i(i为虚数单位)，则z_；|z|_.答案17i52 解析由题设有z3i12i3i12i12i12i17i5，故|z|2.6(2017浙江)已知a，bR，(abi)234i(i是虚数单位
4、)，则a2b2_，ab_.答案5 2 解析(abi)2a2b22abi.由(abi)23 4i，得a2b23，ab2，解得a24，b21.所以a2b25，ab2.考点二复数的几何意义要点重组(1)复数zabi一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR)一一对应平面向量OZ.7 已知z(m3)(m1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3,1)B(1,3)C(1，)D(，3)答案A 3解析由复数z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，得m30，m10，解得 3m1，故选 A.8已知复数2ai1 i(i 为虚数单位)在复平面上对应的
5、点在虚轴上，则实数a_.答案2 解析因为2ai1i2ai1i22a2a22i，又因为2ai1i对应的点在虚轴上，所以2a20，a2.9如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则z2z1_.答案1 2i 解析由题意，根据复数的表示可知z1i，z22i，所以z2z12ii2i ii i 12i.10设复数z满足(2 i)z|3i，i 为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在第_象限答案四解析由(2i)z|3i|132，得z|3 i|2i2 2i2i2i4525i，复数z在复平面内对应的点的坐标为45，25，在第四象限11已知复数zi i2i3 i
6、20171i，则复数z在复平面内对应的点位于第_象限答案一解析因为 i4nk ik(nZ)，且 i i2i3i40，所以 i i2i3 i2017i，4所以zi1ii 1i1i1i1i2，对应的点为12，12，在第一象限考点三几何中的数学文化方法技巧从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题12我国古代数学名著九章算术在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和 15 步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是()A3 步 B6 步 C4 步 D8 步答案B
7、 解析由于该直角三角形的两直角边长分别是8和 15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r，则有8r215r217r212815(等积法)，解得r 3，故其直径为6 步13如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为，则 tan 等于()A.34B.38C5D.15答案A 解析由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为2，2 10cos10sin，cossin 15，又 为锐角，易求得tan 34.14(2018全国)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫
8、头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()5答案A 解析由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.15我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()A42B843C8D82答案C 解析由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱V正方体23
9、8，V半圆柱12(12)2 ，三视图对应几何体的体积V8.根据祖暅原理，不规则几何体的体积VV 8.16我国古代数学名著张邱建算经中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：现在有粟米250 斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5 丈 4 尺，则谷堆的高为多少？(注：1 斛1.62 立方尺，3)若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约为()A5 尺B9 尺C10.6 尺D21.2 尺6答案D 解析设谷堆的高为h尺，底面半径为r尺，则 2r54，r9.粟米 250 斛，则体积为2501.621392h，h5.谷堆内接于一
10、个球状的外罩，设球的半径为R尺则R2(hR)2r2，解得R10.6(尺)2R21.2(尺)17卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用2c1和 2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；c1a1a1c2.其中正确的式子的序号是()ABCD答案D 解析由题图知2a12a2，2c12c2，即a1a2，c1c2，a1c1a2c2，不正确a1c1|PF|，a2c2|PF|，a1c1a2c2，正确a
11、1a20，c1c20，a21a22，c21c22.又a1c1a2c2，即a1c2a2c1，即a21c222a1c2a22c212a2c1，a21c21c22a222a1c22a2c1，即(a1c1)(a1c1)(a2c2)(a2c2)2a1c22a2c1，整理得(a1c1)(a1a2c1c2)2a1c22a2c1.a1c1，a1a2，c1c2，2a1c2a1c2，正确c1a2a1c2，a10，a20，7c1a2a1a2a1c2a1a2，即c1a1c2a2，不正确故选D.考点四其他数学问题中的数学文化方法技巧数学文化中蕴含的数列问题，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型；其他数学问题与数学
12、文化的结合，关键是构造数学模型18 张邱建算经 是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5 尺布，现一月(按 30 天计)共织390 尺布”，则从第2 天起每天比前一天多织布的尺数为()A.12B.1629C.1631D.815答案B 解析依题意设每天多织d尺，依题意得S3030530292d390，解得d1629.19(2018北京)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展作出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一
13、个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()A.32fB.322fC.1225fD.1227f答案D 解析由题意知，这十三个单音的频率构成首项为f、公比为122的等比数列，则第八个单音的频率为(122)7f1227f.20 九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”如甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位，递减的比例为40%.今共有粮m(m0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80 石，乙、丁衰分所得的和为164 石，则“衰分比”与m的值
14、分别为()A20%,369 B80%,369 C40%,360 D60%,365 答案A 解析设“衰分比”为a，甲衰分得b石，8由题意，得b1a280，b1ab1a3 164，b80164m，解得b 125，a20%，m369.21数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读数学中有回文数，如343、12521 等，两位数的回文数有11,22,33，99 共 9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是()A.19B.49C.110D.910答案B 解析三位数的回文数为ABA，A共有 1 到 9 共 9 种可能，即1B1,2B2,3B3，B共有 0 到 9 共
15、 10 种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，共有 910 90(个)；其中偶数为A是偶数，共4 种可能，即2B2,4B4,6B6,8B8，B共有 0 到 9 共 10 种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，其有 410 40(个)，三位数的回文数中，偶数的概率P409049.22(2017浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把 的值计算到任意精度祖冲之继承并发展了“割圆术”，将 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6_.答案332解析作出单位圆的内接正六边形，如图，则OAOBAB 1，S6
16、6SOAB612132332.923(2018浙江)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则xyz100，5x3y13z100，当z81 时，x_，y_.答案8 11 解析方法一由题意，得xy81100，5x3y1381 100，即xy19，5x3y73，解得x8，y11.方法二1008119(只)，813 27(元)，1002773(元)假设剩余的19 只鸡全是鸡翁，则519 95(元)因为 957322(元)，所以鸡母：22(5 3)11(只)，鸡翁：1
17、9118(只)1若复数lg(m2 2m7)(m25m6)i为纯虚数，则实数m的值为()A2B4 C6D8 答案B 解析复数 lg(m22m 7)(m25m6)i为纯虚数，lgm22m7 0，m25m60，解得m 4.2若复数za23i(a R，且a0)，且|z|2，则z(1 2i)的实部为()A43(21)B.23(421)C.23(1 42)D.43(2 1)10答案A 解析因为复数za23i(aR，且a0)，所以|z|a2492，解得a423，可得z(1 2i)42323i(1 2i)43(21)23823i，所以z(1 2i)的实部为43(21)，故选 A.3复数z1，z2在复平面内对应
18、的点关于直线yx对称，且z132i，则z1z2等于()A1213i B1312i C 13i D13i 答案D 解析点(a，b)关于直线yx的对称点坐标为(b，a)，且z132i 在复平面内对应的点的坐标为(3,2)，据此结合题意可知z2在复平面内对应的点的坐标为(2,3)，即z223i，据此可得z1z2(3 2i)(23i)13i.解题秘籍(1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要把握准确(2)复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化(分子分母同乘分母的共轭复数)，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到1下列各式的运算结果为2i 的是()Ai i2i3i4B|3 i|i
19、Ci(2 i)1 D.1i 3i 答案D 解析i i2i3 i4 i 1i 10；|3 i|i10i；i(2 i)12i i212i 2；1i3i ii23i i 3i 2i.2在复平面内，复数z47i23i(i是虚数单位)，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限11C第三象限D第四象限答案B 解析z47i23i47i23i23i23i1326i13 12i，z 12i,则z在复平面内对应的点的坐标为(1,2)，位于第二象限，故选B.3设z为复数z12i 的共轭复数，则(zz)2016等于()A22016B 22016C22016iD i 答案A 解析z12 i，共轭复
20、数z12 i，则(zz)201612i 12i2016(2i)201622016.4南北朝时期的数学古籍张邱建算经有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给问：每等人比下等人多得几斤？”()A.439B.778C.776D.581答案B 解析设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列an构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得a1a2a3a43，a8a9a104，即4a16d3，3a124d4，解得d778，每一等人比下一等人多得
21、778斤金5朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64 人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7 人，修筑堤坝的每人每天分发大米3 升，共发出大米40392 升，问修筑堤坝多少天”，在该问题中前5 天共分发了多少升大米？()12A1170 B1380 C3090 D3300 答案D 解析设第n天派出的人数为an，则 an是以 64 为首项，7 为公差的等差数列，则第n天修
22、筑堤坝的人数为Sna1a2an64nn n 127，所以前5 天共分发的大米数为3(S1S2S3S4S5)3(1 2345)64(1 3610)7 3300(升)6我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是()(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)A1 寸B2 寸C3 寸D4 寸答案C 解析如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14 寸，下底面半径为6 寸，高为18 寸积水深9 寸，水面半径为12(14 6)10(寸)，则盆中水的体积为139(6
23、2 102610)588(立方寸)平地降雨量等于5881423(寸)故选 C.7 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7 尺和 5 尺，高为 8 尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A128 平方尺B138 平方尺C140 平方尺D142 平方尺答案B 解析设四棱锥的外接球半径为r尺，13则(2r)2725282138，这个四棱锥的外接球的表面积为4r2138(平方尺)故选 B.8我国古代数学典籍九章算术“盈不足
24、”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第_天相逢答案4 解析由题意可知，大鼠每天打洞的距离是以1 为首项，以 2 为公比的等比数列，前n天打洞之和为2n121 2n1；同理，小鼠前n天打洞的距离为112n112212n1，2n1212n110，解得n(3,4)，取n4.即两鼠在第4 天相逢9已知z是纯虚数，若(m2i)z23i，则实数m_.答案3 解析设zai(aR且a0)，由(m2i)z23i，得(m2i)ai 2amai 23i，2a2，ma 3，解得m3.10(2018浙江省杭州市学军中学模拟)若复数z3
25、i1 i2(i为虚数单位)，则z的虚部为_，|z|_.答案4 5 解析由题意得z3i1i1i1i224i22(1 2i)2 34i.所以复数z的虚部为 4，|z|32425.11已知 i 为虚数单位，复数z(1 i)23i，则z的虚部为 _答案52解析由z(1 i)23i，得z23i1i2 3i1i1i1i15i21252i，则z的虚部为52.1412如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到4095 个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小正方形的边长为_答案164解析依题意，正方形的边长构成以22为首项，公比为22的等比数列因为共有4095 个正方形，则 1222 2n14095，所以n12.所以最小正方形的边长为22221212212164.