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1、角的平分线的性质角的平分线的性质知识回顾：什么叫角的平分线？知识回顾：什么叫角的平分线？从角的顶点出发引一条射线把角分成两个相等的角，从角的顶点出发引一条射线把角分成两个相等的角，这条射线叫做角的平分线这条射线叫做角的平分线AOBP 如图如图,是一个平分角的仪器是一个平分角的仪器,其中其中AB=AD,BC=DC.将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画一条射线画一条射线AE,AE就是角平分线就是角平分线.你能说明它的道你能说明它的道理吗理吗?经过上面的探索，你能得经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方到作已知角的平分线的方法吗？小组内互
2、相交流一法吗？小组内互相交流一下吧！下吧！探究探究1-想一想想一想A A作法作法:以以O为圆心为圆心,任意长为半径作任意长为半径作弧弧,交交OA于于M,交交OB于于N.分别以分别以M,N为圆心为圆心,大于大于 的长为半径画弧的长为半径画弧,两弧在两弧在AOB的内部交于点的内部交于点C.作射线作射线OC,射线射线OC即为所求即为所求.O温馨提示温馨提示:作角平分线是最基本的作角平分线是最基本的尺规作图尺规作图,大家一定要掌握噢大家一定要掌握噢!试一试试一试由上面的探究可以得出作已知角的由上面的探究可以得出作已知角的平分线的平分线的方法方法已知已知:AOB.求作求作:AOB的平分线的平分线.请同学
3、们拿出准备好的折纸与剪刀，请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手：自己动手：1.剪一个角剪一个角.2.把剪好的角对折，使角的两边叠合把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什在一起，再把纸片展开，你看到了什么？么？3.把对折的纸片再任意折一次，然后把对折的纸片再任意折一次，然后 把纸片展开，又看到了什么？把纸片展开，又看到了什么？探究探究2-做一做做一做(1)将 AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?OABAOBED探究探究2-做一做做一做(2)已已知知:如如图图,OC,OC是是AOBAOB的的平平
4、分分线线,P,P是是OCOC上上任任意意一一点点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E.D,E.求证求证:PD=PE:PD=PE.CB1A2PDEO角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等 证明：证明：OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线 1=21=2 PDOA,PEOB PDOA,PEOB PDO=PEO PDO=PEO=90=900 0 在在OPDOPD和和OPEOPE中中 1=21=2 PDO=PEOPDO=PEO OP=OPOP=OP OPDOPE(AAS).OPDOPE(AAS).PD=PE PD=PECB1A2PDEO如
5、何证明一个几何命题？如何证明一个几何命题？步骤：步骤：1、明确命题中的已知和求证；、明确命题中的已知和求证；2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示、根据题意，画出图形，并用数学符号表示 已知和求证；已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，、经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。写出证明过程。角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等你能用文字语言叙述一下发现的结论你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？吗？说一说说一说AOBPEDPD OA，PE OB OP平分平分AOB PD=PE.用符号表示为：用符号表示为：如图如图:若想在两条公
6、路围成的若想在两条公路围成的A区域内建一个化区域内建一个化工厂，为了减少环境污染工厂，为了减少环境污染,要求化工厂到桥头的要求化工厂到桥头的距离是距离是500米，同时为了交通方便米，同时为了交通方便,要求化工厂要求化工厂到两条公路的距离相等，假如你是工程师，你到两条公路的距离相等，假如你是工程师，你能在图上找到化工厂的位置吗能在图上找到化工厂的位置吗?桥头桥头焦寺焦寺旁堤刘旁堤刘（比例尺为：（比例尺为：2）A区域区域思思考考分分析析 “角平分线上的点到这个角角平分线上的点到这个角的两边距离相等的两边距离相等”，反过来反过来“到角的两边距离相等的点在这到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上个角
7、的平分线上”吗？吗？在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离相等的且到角的两边距离相等的点点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.请你证明请你证明它是不是真命题它是不是真命题?已知已知:如图如图 所示所示,PD=PE,PD=PE,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂垂足分别是足分别是D,E.D,E.求证求证:点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上.BADEOP证明：作射线证明：作射线OP,PDOA PEOB PDO=PEO=900 在在RtPOD和和RtPOE中中 OP=OP PD=PE,RtPOD RtPOE(HL)POD=POE OP是是AOB的平分线的平分线BADE
8、OP2.2.如图如图,ABC,ABC的角平分线的角平分线BM,CNBM,CN相交于点相交于点P,P,求证：点求证：点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等BMBM是是ABCABC的角平分线的角平分线,点点P P在在BMBM上上,ABCPMNDEFPD=PEPD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等).).同理同理,PE=PF.,PE=PF.PDPDPE=PF.PE=PF.即点即点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等证明：过点证明：过点P作作PD AB于于D，PE BC于于E，PF AC于于F 结
9、论结论:三角形的三条角平分线相交于三角形的三条角平分线相交于一点一点,并且这一点到三边的距离并且这一点到三边的距离相等相等.3.3.如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平分线相交于点的平分线相交于点F F，求证：点求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上 证明：证明：过点过点F作作FG AE于于G，FH AD于于H，FM BC于于MGHM点点F F在在BCEBCE的平分线上，的平分线上，FGAEFGAE，FMBCFMBCFGFGFMFM又又点点F F在在CBDCBD的平分线上，的平分线上，FHADFHAD，FMBCFMBCFMFMFHFHFGFG
10、FHFH点点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上利用结论，解决问题利用结论，解决问题练一练练一练 1.1.如图，为了促进当如图，为了促进当地旅游发展，某地要在地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平三条公路围成的一块平地上修建一个度假村地上修建一个度假村.要要使这个度假村到三条公使这个度假村到三条公路的距离相等路的距离相等,应在何处应在何处修建修建?想一想想一想 在确定度假村的位置时在确定度假村的位置时,一定要画一定要画出三个角的平分线吗出三个角的平分线吗?你是怎样思考你是怎样思考的的?你是如何证明的你是如何证明的?拓展与延伸2.2.直线表示三条相互交叉的公路直线表示三条相互交叉的公路,
11、现要建现要建一个货物中转站一个货物中转站,要求它到三条公路的距要求它到三条公路的距离相等离相等,则可供选择的地址有则可供选择的地址有().A.A.一处一处 B.B.两处两处 C.C.三处三处 D.D.四处四处分析分析:由于没有限制在何处选址由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。故要求的地址共有四处。拓展与延伸3.已知:BDAM于D,CEAN于E,BD,CE相交于点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.A A A A A A ADNE BFMCA思考：如图，B=C=90,E是BC中点，DE平分 ADC。求证：AE是 DAB的平分线。ABCDvE 1.角平分线的性质定理：角平分线的性质
12、定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定角平分线的判定定理定理:到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。4.角平分线的性质定理角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等是证明角相等、线段相等的新途径的新途径.角平分线的角平分线的判定判定定理是证明定理是证明角的平分线角的平分线的的另一种另一种方法，（有两种：方法，（有两种：1、定义；、定义；2、判定判定定理定理）3.性质定理和性质定理和判定判定定理的关系定理的关系点在角平分线上点在角平分线上 点到角两边的距离相等点到角两边的距离相等总结归纳总结归纳5.遇到角平分线的问题遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一点可以通过角平分线上的一点向角的向角的两边引垂线两边引垂线,以便充分运用以便充分运用角平分线定理角平分线定理证明两角相等的方法：同角（或等角）的余角（补角）相等同角（或等角）的余角（补角）相等平行线的性质平行线的性质对顶角相等对顶角相等全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等等边对等角等边对等角角平分线的性质定理及其逆定理角平分线的性质定理及其逆定理证明线段相等的方法：全等三角形的对应边相等角平分线的性质定理等角对等边等腰三角形的三线合一.垂直平分线的性质定理