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1、P到到OA的距离的距离P到到OB的距离的距离角平分线上的点角平分线上的点几何语言：几何语言：OC平分AOB，且PDOA，PEOB PD=PE角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线的性质：角平分线的性质：不必再证全等不必再证全等ODEPACB 反过来，到一个角的两边的距离相等的点反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上证明证明:QD OA，QE OB（已知），（已知），QDOQEO90（垂直的定义）（垂直的定义）
2、在在Rt QDO和和Rt QEO中中 QOQO（公共边）（公共边）QD=QE Rt QDO Rt QEO（HL）QODQOE 点Q在AOB的平分线上已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上判定：到角的两边的距离相判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。等的点在角的平分线上。QDOA，QEOB，QDQE 点Q在AOB的平分线上用数学语言表示为：性质：角的平分线上的点到角的两边的距离性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等相等.QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE用数学语言表示为：用数学语言表示为：角的平分线的角的平分线的性质性质
3、图形图形已知已知条件条件结论结论PCPCOP平分平分AOBPD OA于于DPE OB于于EPD=PEOP平分平分AOBPD=PEPD OA于于DPE OB于于E角的平分线的角的平分线的判定判定如图,ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等BMBM是是ABC的角平分线的角平分线,点点P P在在BMBM上上,ABCPMNDEFPD=PEPD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等).).同理同理,PE=PF.,PE=PF.PDPDPE=PF.PE=PF.即点即点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的
4、距离相等证明：过点证明：过点P作作PD AB于于D，PE BC于于E，PF AC于于F如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平分线相交于点的平分线相交于点F F，求证：点求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBCFGFM又点F在CBD的平分线上，FHAD，FMBCFMFHFGFH点F在DAE的平分线上如图，在如图，在ABCABC中，中，D D是是BCBC的中点，的中点，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足分别是，垂足分别是E E，F F，且，且
5、BEBECFCF。求证：求证：ADAD是是ABCABC的角平分线。的角平分线。ABCEFD利用结论，解决问题练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()A.一处 B.两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。拓展与延伸3、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,
6、CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.A A A A A A ADNE BFMCA如如图图，BEAC于于E，CFAB于于F，BE、CF相交于相交于D，BD=CD。求求证证：AD平分平分BACABCFED课堂练习课堂练习 如如图图,D,E,F分分别别是是ABC三三边边上上的的点点,CE=BF,DCE和和DBF的的面面积积相等相等,DHAB于于H,DGAC于于G.求求证证:AD平分平分BAC.课堂练习课堂练习 如如图，O是三条角平分是三条角平分线的交点，的交点，ODBC于于D，OD=3，ABC的的周周长为15，求，求SABC ABCOMNGD课堂练习课堂练习 如如图，在四，在四边形形ABCD中，中，B=C=90，M是是BC的中的中点，点，DM平分平分 ADC。求求证：AM平分平分DABDABCM课堂练习课堂练习 1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定角平分线的判定定理定理:到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。分线上。3.角平分线的性质定理和角平分线的判角平分线的性质定理和角平分线的判定定定理是证明角相等、线段相等的新途径定理是证明角相等、线段相等的新途径.